文档内容
§6.1 数列的概念
课标要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
项与项间的大小关系 递减数列 a ＜a 其中n∈N
n＋1 n ＋
常数列 a ＝a
n＋1 n
3.数列的通项公式
如果数列{a}的第n项a 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a ＝ f ( n )，那么这个式
n n n
子就叫作这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个
数列的递推公式．
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N )；若a 最小，则(n≥2，n∈N )．
n n ＋ n ＋
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．( √ )
(2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是a＝.( × )
n
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( √ )
2．已知数列{a}的通项公式为a＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a}的项的是( )
n n n
A．21 B．33 C．152 D．153
答案 C
解析 由数列的通项公式得，a＝21，a＝33，a ＝153.
1 2 12
3．已知数列{a}的前n项和S＝n2＋n，那么它的通项公式a 等于( )
n n n
A．n B．2n
C．2n＋1 D．n＋1
答案 B
解析 ∵a＝S＝1＋1＝2，
1 1
a＝S－S ＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，
n n n－1
当n＝1时，2n＝2＝a，
1
∴a＝2n.
n
4．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数 1,5,12,22，…
称为五边形数，则第8个五边形数是________．
答案 92
解析 ∵5－1＝4,12－5＝7,22－12＝10，
∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，
∴第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19
＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1 (1)设S 为数列{a}的前n项和，若2S＝3a－3，则a 等于( )
n n n n 4
A．27 B．81 C．93 D．243
答案 B
解析 根据2S＝3a－3，可得2S ＝3a －3，两式相减得2a ＝3a －3a，
n n n＋1 n＋1 n＋1 n＋1 n
即a ＝3a，
n＋1 n当n＝1时，2S＝2a＝3a－3，解得a＝3，
1 1 1 1
所以数列{a}是以3为首项，3为公比的等比数列，
n
所以a＝aq3＝34＝81.
4 1
(2)已知数列{a}满足a＋2a＋3a＋…＋na＝2n，则a＝________.
n 1 2 3 n n
答案
解析 由已知，可得当n＝1时，a＝21＝2，
1
∵a＋2a＋3a＋…＋na＝2n，①
1 2 3 n
故a＋2a＋3a＋…＋(n－1)a ＝2n－1(n≥2)，②
1 2 3 n－1
由①－②，得na＝2n－2n－1＝2n－1，
n
∴a＝(n≥2)，当n＝1时，不满足上式，
n
∴a＝
n
思维升华 a 与S 的关系问题的求解思路
n n
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
跟踪训练1 (1)(2023·潍坊统考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足S ＋S ＝S ，若a ＝
n n m n m＋n 1
2，则a 等于( )
20
A．2 B．4 C．20 D．40
答案 A
解析 方法一 a ＝S －S ＝S ＋S－(S ＋S)＝S－S＝S＝a＝2.
20 20 19 18 2 18 1 2 1 1 1
方法二 令m＝1，∴S＋S＝S ，∴S －S＝S＝2，∴a ＝2，∴a ＝2.
n 1 n＋1 n＋1 n 1 n＋1 20
(2)(2023·深圳模拟)设数列{a}的前n项和为S ，若a ＝3且当n≥2时，2a ＝S·S ，则{a}
n n 1 n n n－1 n
的通项公式a＝________________.
n
答案
解析 当n≥2时，由2a＝S·S 可得
n n n－1
2S－2S ＝S·S ，化为－＝－，
n n－1 n n－1
因为＝＝，
所以是首项为，公差为－的等差数列，
所以＝－(n－1)＝－n＋，
所以S＝，
n
当n≥2时，a＝S－S ＝，
n n n－1
又因为a＝3，不符合上式，
1
故a＝
n
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法例2 若数列{a}满足a －a＝lg，且a＝1，则数列{a}的第100项为( )
n n＋1 n 1 n
A．2 B．3
C．1＋lg 99 D．2＋lg 99
答案 B
解析 因为a －a＝lg＝lg ＝lg(n＋1)－lg n，
n＋1 n
所以a －a ＝lg 100－lg 99，
100 99
…
a－a＝lg 3－lg 2，
3 2
a－a＝lg 2－lg 1，
2 1
以上99个式子累加得a －a＝lg 100，
100 1
所以a ＝lg 100＋1＝3.
100
命题点2 累乘法
例3 设在数列{a}中，a＝2，a ＝a，则a＝________.
n 1 n＋1 n n
答案
解析 ∵a ＝a，a＝2，
n＋1 n 1
∴a≠0，∴＝，
n
∴a＝···…···a＝···…··2＝(n≥2)．
n 1
当n＝1时，a＝2满足上式．
1
思维升华 (1)形如a －a＝f(n)的数列，利用累加法，即可求数列{a}的通项公式．
n＋1 n n
(2)形如＝f(n)的数列，利用累乘法即可求数列{a}的通项公式．
n
跟踪训练2 (1)设数列{a}满足a ＝1，且a －a ＝n＋1(n∈N ，则数列{a}的通项公式为
n 1 n＋1 n ＋ n
______．
答案 a＝
n
解析 由题意得a－a＝2，a－a＝3，…，a－a ＝n(n≥2)，
2 1 3 2 n n－1
以上各式相加，得
a－a＝2＋3＋…＋n＝＝.
n 1
∵a＝1，
1
∴a＝(n≥2)．
n
∵当n＝1时，a＝1也满足此式，
1
∴a＝.
n
(2)已知数列{a}满足a＝2，(n＋1)a ＝2(n＋2)a，则数列{a}的通项公式为____________．
n 1 n＋1 n n
答案 a＝(n＋1)·2n－1(n∈N )
n ＋
解析 ∵(n＋1)a ＝2(n＋2)a，
n＋1 n
∴＝，则a＝a····…·＝2n－1·a·＝(n＋1)·2n－1(n≥2)．
n 1 1
当n＝1时，a＝2满足上式，
1
∴a＝(n＋1)·2n－1(n∈N )．
n ＋
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知数列{a}的通项公式为a ＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的(
n n n
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若数列{a}为递增数列，
n
则a －a＝[(n＋1)2－3λ(n＋1)]－(n2－3λn)
n＋1 n
＝(n2＋2n＋1－3λn－3λ)－(n2－3λn)
＝2n＋1－3λ>0，
即3λ<2n＋1，
由于n∈N ，
＋
所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1，
反之，当λ<1时，a －a>0，
n＋1 n
则数列{a}为递增数列，
n
所以“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的充要条件．
n
命题点2 数列的周期性
例5 若数列{a}满足a＝2，a ＝，则a 的值为( )
n 1 n＋1 2 024
A．2 B．－3 C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，a ＝2，a ＝＝－3，a ＝＝－，a ＝＝，a ＝＝2，a ＝＝－3，…，因此数
1 2 3 4 5 6
列{a}是周期为4的周期数列，所以a ＝a ＝a＝.
n 2 024 506×4 4
命题点3 数列的最值
例6 数列{b}满足b＝，则当n＝________时，b 取最大值为________．
n n n
答案 4
解析 方法一 b－b ＝－＝，
n n－1
∴当n≤4时，b>b ，∴{b}单调递增，
n n－1 n
当n≥5时，bS >S B．S >S >S
23 21 22 21 22 23
C．S >S >S D．S >S >S
21 23 22 23 22 21
答案 B
解析 因为a＋a ＝0，所以a ＝－a，
n n＋4 n＋4 n
所以a ＝－a ＝a，
n＋8 n＋4 n
所以{a}是以8为周期的周期数列，
n
又a＝a＝1，a＝a＝2，
1 2 3 4
所以a＝－a＝－1，a＝－a＝－2，
6 2 7 3
所以S －S ＝a ＝a＝－1<0，S －S ＝a ＝a＝－2<0，
22 21 22 6 23 22 23 7
所以S S >S .
22 21 23 22 21 22 23
(2)已知数列{a}的通项a ＝，n∈N ，则数列{a}前20项中的最大项与最小项的值分别为
n n ＋ n
________．
答案 3，－1
解析 a＝＝＝1＋，
n
当n≥11时，>0，且单调递减；
当1≤n≤10时，<0，且单调递减．
因此数列{a}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，
n
则a ＝3，a ＝－1.
11 10
课时精练
一、单项选择题
1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为( )
A. B.C. D.
答案 A
解析 由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的
绝对值等于，故此数列的一个通项公式为.
2．(2023·北京模拟)已知数列{a}的前n项和为S，若S＝n2－1，则a 等于( )
n n n 3
A．－5 B．5 C．7 D．8
答案 B
解析 因为S＝n2－1，
n
所以a＝S－S＝(32－1)－(22－1)＝5.
3 3 2
3．已知数列{a}的首项为3，a －a＝2n－8(n∈N )，则a 等于( )
n n＋1 n ＋ 8
A．0 B．3 C．8 D．11
答案 B
解析 由a －a＝2n－8，
n＋1 n
得a－a＝－6，a－a＝－4，…，a－a＝6，
2 1 3 2 8 7
由累加法得a－a＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，
8 1
所以a＝a＝3.
8 1
4．若数列{a}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a 等于( )
n n
A．2n－1 B．n2
C. D.
答案 D
解析 设数列{a}的前n项积为T，则T＝n2，
n n n
当n≥2时，a＝＝.
n
5．已知在数列{a}中，a＝1，a＝2，且a·a ＝a (n∈N )，则a 的值为( )
n 1 2 n n＋2 n＋1 ＋ 2 024
A．2 B．1 C. D.
答案 A
解析 因为a·a ＝a (n∈N )，
n n＋2 n＋1 ＋
由a＝1，a＝2，得a＝2，
1 2 3
由a＝2，a＝2，得a＝1，
2 3 4
由a＝2，a＝1，得a＝，
3 4 5
由a＝1，a＝，得a＝，
4 5 6
由a＝，a＝，得a＝1，
5 6 7
由a＝，a＝1，得a＝2，
6 7 8
由此推理可得数列{a}是周期为6的数列，
n
所以a ＝a＝2.
2 024 26．已知数列{a}的通项a＝，则数列{a}中的最大项的值是( )
n n n
A．3 B．19 C. D.
答案 C
解析 令f(x)＝x＋(x>0)，
运用基本不等式得f(x)≥6，
当且仅当x＝3时，等号成立．
因为a＝，n∈N ，
n ＋
所以≤，
所以当n＝9或n＝10时，a＝最大．
n
二、多项选择题
7．已知数列{a}的通项公式为a＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是( )
n n
A．a 是数列{a}的最小项
1 n
B．a 是数列{a}的最大项
4 n
C．a 是数列{a}的最大项
5 n
D．当n≥5时，数列{a}是递减数列
n
答案 BCD
解析 假设第n项为{a}的最大项，则即
n
所以
又n∈N ，所以n＝4或n＝5，
＋
故在数列{a}中a 与a 均为最大项，且a＝a＝，当n≥5时，数列{a}是递减数列．
n 4 5 4 5 n
8．(2023·扬州仪征中学模拟)已知数列{a}满足a＝1，a ＝，则下列说法正确的是( )
n 1 n＋1
A．a >a
2 023 2 022
B．4a－1＝4a a
n＋1 n
C.＋的最小值为8＋
D．a≥1
n
答案 ABD
解析 因为a －a ＝－a ＝>0，即a >a ，所以a≥a ＝1，故D正确；因为a >a ，所
n＋1 n n n＋1 n n 1 n＋1 n
以数列{a}为递增数列，可得a >a ，故A正确；对于选项B，因为a ＝，则2a －
n 2 023 2 022 n＋1 n＋1
a ＝，两边平方整理得4a－1＝4a a ，故B正确；对于选项C，因为数列{a}为递增数列
n n＋1 n n
且a≥1>0，则为递减数列，所以为递减数列，不存在最小值，故C错误．
n
三、填空题
9．若a＝－2n2＋29n＋3，则数列{a}的最大项是第________项．
n n
答案 7
解析 由题意得，a＝－2n2＋29n＋3，其对应的二次函数为y＝－2x2＋29x＋3，
n
函数y＝－2x2＋29x＋3的图象开口向下，对称轴为x＝，因为n为正整数，
所以当n＝7时，a 取得最大值．
n
10．已知数列{a}的前n项和S＝a＋，则{a}的通项公式a＝________.
n n n n n
答案 n－1
解析 当n＝1时，a＝S＝a＋，
1 1 1
所以a＝1；
1
当n≥2时，a＝S－S ＝a－a ，
n n n－1 n n－1
所以＝－，
所以数列{a}是以1为首项，－为公比的等比数列，
n
故a＝n－1.
n
11．已知数列{a}满足a ＝1，(n－1)a ＝n·2na (n∈N ，n≥2)，则数列{a}的通项公式为
n 1 n n－1 ＋ n
________．
答案 a＝
n
解析 当n≥2时，有(n－1)a＝n·2na ，
n n－1
故＝·2n，
则有＝·2n－1，＝·2n－2，…，＝×22.
上述n－1个式子累乘，得＝···…·＝n·2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＝ .
因为a＝1，
1
所以a＝ ，
n
而当n＝1时，a＝1×20＝1，也满足上式，
1
故数列{a}的通项公式为a＝ .
n n
12．(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，
以解开为胜，趣味无穷．现假设有n个圆环，用a 表示按照某种规则解下n个圆环所需的最
n
少移动次数，且数列{a}满足a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋2n－1(n≥3，n∈N )，则解开九连环
n 1 2 n n－2 ＋
最少需要移动________次．
答案 341
解析 由题意，a＝a ＋2n－1，
n n－2
故a－a＝22，
3 1
a－a＝24，
5 3
…
a －a ＝22n－2，
2n－1 2n－3
以上各式相加，可得a －a＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1，
2n－1 1
即a ＝1＋41＋42＋…＋4n－1＝＝，
2n－1
所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a＝＝341.
9
四、解答题
13．已知数列{a}的各项均为正数，其前n项和为S，且满足a＝1，a ＝2＋1.
n n 1 n＋1
(1)求a 的值；
2
(2)求数列{a}的通项公式．
n
解 (1)∵a＝1，a ＝2＋1，
1 n＋1
∴a＝2＋1＝2＋1＝3.
2
(2)方法一 由a ＝2＋1，
n＋1
得S －S＝2＋1，
n＋1 n
故S ＝(＋1)2.
n＋1
∵a>0，∴S>0，
n n
∴＝＋1，
即－＝1，
则－＝1(n≥2)，
由累加法可得＝1＋(n－1)＝n，
∴S＝n2(n≥2)，
n
又S＝a＝1，满足上式，∴S＝n2.
1 1 n
当n≥2时，a＝S－S ＝n2－(n－1)2＝2n－1，
n n n－1
又a＝1适合上式，∴a＝2n－1.
1 n
方法二 由a ＝2＋1，
n＋1
得(a －1)2＝4S，
n＋1 n
当n≥2时，(a－1)2＝4S ，
n n－1
∴(a －1)2－(a－1)2＝4(S－S )＝4a.
n＋1 n n n－1 n
∴a－a－2a －2a＝0，
n＋1 n
即(a ＋a)(a －a－2)＝0.
n＋1 n n＋1 n
∵a>0，∴a －a＝2(n≥2)．
n n＋1 n
a－a＝2，
2 1
∴{a}为等差数列，且公差为2，
n
∴a＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
n
14．已知在数列{a}中，a＝1，其前n项和为S，且满足2S＝(n＋1)a(n∈N )．
n 1 n n n ＋
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)记b＝3n－λa，若数列{b}为递增数列，求λ的取值范围．
n n解 (1)∵2S＝(n＋1)a，
n n
∴2S ＝(n＋2)a ，
n＋1 n＋1
∴2a ＝(n＋2)a －(n＋1)a，
n＋1 n＋1 n
即na ＝(n＋1)a，
n＋1 n
∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴a＝n(n∈N )．
n ＋
(2)∵b＝3n－λn2，
n
∴b －b＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．
n＋1 n
∵数列{b}为递增数列，
n
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<.
令c＝，
n
则＝·＝>1，
∴{c}为递增数列，∴λ0，
n n－1
所以a－a ＝1(n≥2)，
n n－1
所以a＝1＋n－1＝n.
n
又a＝1适合上式，所以a＝n.
1 n
