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§6.3 等比数列
课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列
前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发
现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的比都等于______
(不为零)，那么这个数列叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的______，通常用字母q表
示，定义的表达式为______ (n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成______数列，那么______叫作
a与b的等比中项，此时，G2＝______.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a}的首项为a，公比为q，则其通项公式为a＝____________.
n 1 n
(2)等比数列通项公式的推广：a＝a qn－m.
n m
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝________________＝
n 1 n
____________.
3．等比数列的常用性质
(1)若m＋n＝p＋q，则__________________，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，
则____________，其中m，n，w∈N*.
(2)a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为________(k，m∈N*)．
k k＋m k＋2m
(3)若数列{a}，{b}是两个项数相同的等比数列，则数列{ba}，{pa·qb}和也是等比数列
n n n n n
(b，p，q≠0)．
(4)若或则等比数列{a}递________．
n
若或则等比数列{a}递_________________________________．
n
4．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{a}的公比q≠－1，前n项和为S ，则S ，____________，____________仍成等
n n n
比数列，其公比为qn.
常用结论
1．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
2．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
3．设数列{a}是等比数列，S 是其前n项和．
n n(1)S ＝S＋qnS ＝S ＋qmS.
m＋n n m m n
(2)若a·a·…·a＝T，则T，，，…成等比数列．
1 2 n n n
(3)若数列{a}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
n
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)数列{a}为等比数列，则S，S－S，S －S 成等比数列．( )
n 4 8 4 12 8
(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( )
2．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在等比数列{a}中，若a＝，S＝，则a 的值为( )
n 3 3 2
A. B．－3
C．－ D．－3或
4．数列{a}的通项公式是a＝an(a≠0)，则其前n项和为S＝____________________.
n n n
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a}的各项均为正数，前n项和为S ，若a ＝1，S ＝5S
n n 1 5 3
－4，则S 等于( )
4
A. B. C．15 D．40
(2)记S 为等比数列{a}的前n项和．若a－a＝12，a－a＝24，则等于( )
n n 5 3 6 4
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
跟踪训练1 (1)(2023·天津)已知{a}为等比数列，S 为数列{a}的前n项和，a ＝2S ＋2，
n n n n＋1 n
则a 的值为( )
4
A．3 B．18 C．54 D．152
(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某
处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1 016个“浮雕
像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构
成数列{a}，则log (aa)的值为( )
n 2 3 5
A．8 B．10 C．12 D．16题型二 等比数列的判定与证明
例2 (2023·长沙模拟)记S 为数列{a}的前n项和，已知a ＝2，a ＝－1，且a ＋a －6a
n n 1 2 n＋2 n＋1 n
＝0(n∈N*)．
(1)证明：{a ＋3a}为等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式a 及前n项和S.
n n n
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 等比数列的四种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数列．
n
(2)等比中项法：若在数列{a}中，a≠0且a＝aa (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)通项公式法：若数列{a}的通项公式可写成a ＝cqn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则
n n
{a}是等比数列．
n
(4)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S ＝kqn－k(k为常数，且k≠0，q≠0,1)，则{a}
n n n
是等比数列．
跟踪训练2 (2024·潍坊模拟)已知数列{a}和{b}满足a ＝3，b ＝2，a ＝a ＋2b ，b ＝
n n 1 1 n＋1 n n n＋1
2a＋b.
n n
(1)证明：{a＋b}和{a－b}都是等比数列；
n n n n
(2)求{ab}的前n项和S.
n n n
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
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题型三 等比数列的性质
命题点1 项的性质
例3 (1)(2023·全国乙卷)已知{a}为等比数列，aaa＝aa，aa ＝－8，则a＝________.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
下标和相等的等差(比)性质的推广
(1) 若 数 列 {a} 为 等 比 数 列 ， 且 m ＋ m ＋ … ＋ m ＝ k ＋ k ＋ … ＋ k ， 则
n 1 2 n 1 2 n
.(2) 若 数 列 {a} 为 等 差 数 列 ， 且 m ＋ m ＋ … ＋ m ＝ k ＋ k ＋ … ＋ k ， 则
n 1 2 n 1 2 n
典例 已知等差数列{a}，S 为前n项和，且a＝5，S＝16，则S ＝________.
n n 9 8 11
(2)已知数列{a}满足log a ＝1＋log a(n∈N*)，且a ＋a ＋a ＋…＋a ＝1，则log (a ＋
n 2 n＋1 2 n 1 2 3 10 2 101
a ＋…＋a )＝________.
102 110
命题点2 和的性质
例4 (1)已知等比数列{a}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则
n
公比q＝________.
(2)已知 S 是正项等比数列{a}的前 n 项和，S ＝20，则 S －2S ＋S 的最小值为
n n 10 30 20 10
________________________________________________________________________．
跟踪训练3 (1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a}满足a ＋a ＋a ＋a ＝20，aa ＝2，则＋＋
n 2 4 6 8 2 8
＋＝________.
(2)(2023·长春统考)在等比数列{a}中，q＝，S ＝150，则a ＋a ＋a ＋…＋a 的值是
n 100 2 4 6 100
________．
