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目录
物理................................................................................ 2
第一章
力学基础................................................................... 1
第二章
受力分析.................................................................. 10
第三章
运动学.................................................................. 20
第四章功和机械能.................................................................. 27
第五章
光现象.................................................................. 34
第六章
声现象.................................................................. 41
第七章
热现象.................................................................. 44
第八章
电学基础.................................................................. 48
第九章
电与磁.................................................................. 56
化学............................................................................... 61
第一节：化学基础概念...............................................................61
第二节：空气.......................................................................62
第三节：碳和碳的化合物.............................................................63
第四节：固体溶解度.................................................................64
第五节：金属.......................................................................65
数学运算........................................................................... 68
第一章
解题方法.................................................................. 68
第二章等差数列....................................................................73
第三章
工程问题.................................................................. 74
第四章经济利润问题.................................................................75
第五章
容斥原理.................................................................. 77
第六章
最值问题.................................................................. 78
第七章
几何问题.................................................................. 79
第八章
排列组合.................................................................. 82
第九章
概率问题.................................................................. 84
第十章
行程问题.................................................................. 86
资料分析........................................................................... 90
第一章
速算技巧.................................................................. 90
第二章
材料阅读.................................................................. 93
第三章基期现期问题.................................................................97
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第四章增长率增长量................................................................104
第五章
倍数................................................................. 113
第六章
比重................................................................. 116
第七章
平均数................................................................. 122
第八章
其他................................................................. 127
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1
物理
第一章
力学基础
第一节：力的概念
【例1】游泳运动员用手和脚向后推水，于是人就前进，下列说法正确的是：
A.水是受力物体，不是施力物体
B.运动员是施力物体，不是受力物体
C.手和脚对水的推力一定与水对手和脚的力相互抵消
D.手和脚对水有一个方向向后的推力，则水对手和脚有一个方向向前的推力
第二节：重力
【例1】人们在乘坐小船时，应尽量坐下，站立会降低小船的稳定性，其根本原因是（）。
A.人和船的整体重量增加
B.人和船的整体重心变高
C.船的行驶速度增加
D.水流波动幅度变大
【例2】下列有关重力与重心的说法正确的是（）。
A.质量分布均匀的物体受到的重力只作用在物体的重心上
B.质量分布均匀的物体，重心一定在物体上
C.高大建筑物“下大上小”的建筑形式，是为了降低重心
D.重力的方向总是垂直地面向下的
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第三节：弹力
【例1】如图所示，质量均匀的钢管，一端放置在光滑水平地面上，另一端被竖直细绳拉着，钢
管处于静止状态，则地面和细绳对钢管的作用力方向分别为（）。
A.均竖直向上
B.均垂直于钢管向上
C.垂直于钢管向上、竖直向上
D.竖直向上、垂直于钢管向上
【例2】如图所示，一个质量为�的小球与两根相同的轻质弹簧相连（劲度系数为�），处于静止
状态。弹簧P 固定在天花板上且处于拉伸状态，弹簧Q 固定在地面上且处于压缩状态，已知两根弹簧
的形变量相同，则弹簧的形变量为（）
A.��
B.2���
C.
��
�
D.
��
2�
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第四节：摩擦力
【例1】“后驱”是指发动机的动力通过传动轴传递给后轮，从而推动车辆前进的一种驱动形式。
当后驱车在水平公路上匀速前进时，下列说法正确的是（）。
A.前轮和后轮受到的摩擦力均向前
B.前轮和后轮受到的摩擦力均向后
C.前轮受到的摩擦力向前，后轮受到的摩擦力向后
D.前轮受到的摩擦力向后，后轮受到的摩擦力向前
【例2】一个水平传送带装置如下图所示，传送带的速度保持不变，物体被轻轻地放在传送带上
A 端。开始时物体在传送带上滑动，当它运动到C 点时就不再相对滑动，而是随传送带一起匀速运动，
直至传送到B 端，在传送过程中，物体受到的摩擦力：
A.在AC 段受水平向左的滑动摩擦力
B.在CB 段受水平向左的静摩擦力
C.在AC 段受水平向右的滑动摩擦力
D.在CB 段受水平向右的静摩擦力
【例3】如图所示，物块在力�1、�2的作用下静止在粗糙程度均匀的竖直墙壁上，力�2的大小刚
好等于重力。若将力�2逐渐减小到0，物块始终保持静止状态，则在该过程中，下列说法正确的是：
A.物块受到的摩擦力先增大后减小
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B.物块受到的摩擦力一直增大
C.物块受到的摩擦力先向下后向上
D.物块始终受力平衡，不受摩擦力的作用
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第五节：压强
【例1】在日常生活中，我们经常根据不同的需求去增大或减小压强，下列哪种做法压强的改变
与其他三项不同？（）
A.挖掘机上装有履带
B.沙发设计得很柔软
C.破窗锤锤头被设计成锥形
D.滑雪板比较宽大
【例2】如图1 所示，将一个质量分布均匀的长方体木块静止在水平桌面上，记木块对桌面的压
力为�1，压强为�1；若将木块向外推出一段距离后，依然保持静止状态（如图2 所示），记此时木块
对桌面的压力为�2，压强为�2。则下列关于压力和压强的分析正确的是：
A.�1 = �2,�1 = �2
B.�1 = �2,�1 < �2
C.�1 > �2,�1 = �2
D.�1 > �2,�1 < �2
【例3】如图所示，有甲、乙两桶煤油，底面积
乙=3
甲。甲、乙两桶煤油对桶底面的压强分
别为
甲、
乙，两桶煤油对桶底面的压力分别为
甲、
乙，则下列关于
甲、
乙和
甲、
乙
关系的说法中，正确的是（）。
A.
甲＞
乙
B.
甲=
乙
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C.
甲=
乙
D.
甲＞
乙
【例4】如图所示的容器内，液体的深度为10ℎ，A 点距离水面2ℎ，B 点距离容器底部2ℎ，液
体在A 点和B 点向右产生的压强分别为��、��，则二者之比为：
A.1:1
B.2:
3
C.1:5
D.1:4
【例5】如图所示，关于液体中a、b、c 三点压强的说法正确的是（）
A.a 点向下压强比向上压强大
B.b 点压强比c 点压强小
C.a、b 两点的压强相等
D.b、c 两点的压强相等
【例6】如图所示，甲、乙两容器中装有同种液体，当甲、乙两容器之间的T 型阀门打开后，两
个容器内的液体连通，待液体稳定时，下列说法中正确的是（）
A.A 点液体压强等于B 点液体压强
B.A 点液体压强大于B 点液体压强
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C.A 点液体压强小于B 点液体压强
D.无法判断
【例7】民间常用“拔火罐”来治疗某些疾病，方法是将点燃的纸片放入一个小罐内，当纸片燃
烧完时，迅速将火罐开口端紧压在皮肤上，火罐就会紧紧地被“吸”在皮肤上。其原因是，当火罐内
的气体________。
A.温度不变时，体积减小，压强增大
B.体积不变时，温度降低，压强减小
C.压强不变时，温度降低，体积减小
D.质量不变时，压强增大，体积减小
【例8】如图所示，一阵大风吹来，伞面可能被“吸”，严重变形。则下列说法错误的是（）
A.伞面严重变形说明力可以改变物体的形状
B.伞只受到空气对其向上的力
C.伞上方的空气流速大于下方
D.伞受到向上的力大于其受到向下的力
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第六节：浮力
【例1】如图所示，一个装有水的杯子中悬浮着一个小球，杯子放在斜面上，该小球受到的浮力
方向是（）。
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
【例2】如图所示，三个体积相同的物体浸没在水中且处于静止状态，其中A 为实心木块、B 为
空心铝块、C 为实心铁球，它们受到的浮力分别为��、��、��，则三者所受浮力的大小关系为（）
A.��> ��> ��
B.��= ��= ��
C.��< ��< ��
D.��> ��= ��
【例3】如下图所示，质量均匀分布的实心物块A、B 均通过轻绳连接到装有水的烧杯底部，且均处于
静止状态，若��= �水> ��，下列判断正确的是（）
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A.只有物块A 受到轻绳的拉力作用
B.只有物块B 受到轻绳的拉力作用
C.两物块均受到轻绳的拉力作用
D.两物块均不受到轻绳的拉力作用
【例4】如图，甲、乙两个相同的容器中盛着不同的液体，当相同的小球漂浮在容器中并保持静
止时，容器中液面的高度相同，则下列说法准确的是（）。
A.小球在甲容器中受到浮力比在乙容器中的小
B.小球在甲容器中受到浮力比在乙容器中的大
C.甲容器中液体的密度比乙容器中液体的小
D.甲容器中液体的密度比乙容器中液体的大
【例5】如下图所示，将一个实心小球先后放入装有甲、乙、丙、丁四种不同液体的相同容器中，
小球在四种液体中静止时分别处于漂浮、漂浮、悬浮、沉底状态，则下列判断正确的是（）。
A.小球在丁液体中所受浮力最大
B.小球在丙液体中受到的浮力大于在乙液体中受到的浮力
C.甲液体的密度最大
D.丙液体的密度最小
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第二章
受力分析
第一节：受力平衡
【例1】一本物理书静止在水平桌面上，下列各对力中属于平衡力的是（）。
A.书对地球的引力和地球对书的引力
B.书受到的重力和桌面对书的支持力
C.书对桌面的压力和书受到的重力
D.书对桌面的压力和桌面对书的支持力
【例2】如图所示，小明在做家务的过程中，对桌子施加了一个水平向左的恒定推力F，但是桌
子没有被推动，则下列说法正确的是（）。
A.小明对桌子的推力小于桌子受到的摩擦力
B.桌子的重力与地面对桌子的支持力是一对平衡力
C.桌子对地面的压力与桌子的重力是一对相互作用力
D.若桌子的质量变大，则桌子受到的摩擦力会变大
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第二节：受力分析
【例1】如图，斜面体M 置于水平面上，粗糙的斜面上有一个质量m 为的滑块，水平力F 作用在
M 上，使M 与m 一起向左做匀速直线运动，两者始终相对静止，则m 受力的个数为（）。
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
【例2】如下图所示，小球P 静止在A、B 两个墙壁之间，若所有接触面均光滑，则小球P 的受力
个数为（）。
A.3 个
B.4 个
C.2 个
D.无法判断
【例3】如下图所示，物块A 在水中静止，斜面体B 固定于墙壁上且表面粗糙，此时物块A 受到
的力共有（）。
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A.3 个
B.4 个
C.3 个或4 个
D.2 个或4 个
【例4】如图，物块受两外力F1、F2 作用紧贴着墙壁保持静止，下列说法正确的是：
A.F2 的大小一定等于该物块的重力的大小
B.物块一定受4 个力作用
C.无论F1、F2 怎么变化，只要物块保持静止，墙壁对物块的力始终不变
D.撤掉F1、F2，物块一定下滑
【例5】如图，用绳子分别将两颗不同的磁力球M1 和M2 系在上、下两个平面上，M1、M2 互相吸
引，此时上平面对M1 的作用力为F1，下平面对M2 的作用力为F2，则以下关于F1、F2 说法准确的是：
A.F1 大于F2
B.F1 等于F2
C.F1 小于F2
D.无法判断
【例6】如图，甲、乙叠放在一起，静置于地面上。此时，乙受到一个水平向右的拉力F，但甲、
乙仍然保持静止状态，在此过程中，以下说法准确的是（）。
A.甲和乙之间至少有2 对相互作用力
B.乙对甲的支持力比甲受到的重力大
C.如果拉力F 方向向左，甲、乙将不再保持静止
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D.乙受到的地面摩擦力等于拉力F
【例7】如图所示，A.B 两个箱子叠放在一起，爸爸和小明分别用大小为F 的恒力用力拉，使两
个箱子沿水平做匀速直线运动：爸爸个子高，着力点在A 箱子上，小明个子矮，着力点在B 箱子上。
下列说法中，正确的是（）。
A.无论是爸爸还是小明拉箱子，箱子A 所受的摩擦力大小都为F
B.无论是爸爸还是小明拉箱子，箱子B 受到地面对它的摩擦力均为F
C.爸爸拉箱子时，箱子A 受到的摩擦力为0，箱子B 受到地面对它的摩擦为F
D.小明拉箱子时，箱子A 受到的摩擦力为F，箱子B 受到地面对它的摩擦力为F
【例8】物体B 在水平推力F 作用下，将物体A 挤压在竖直墙壁上，如图所示，A、B 处于静止状
态，关于A、B 两物体的受力情况，下列说法正确的是（）。
A.物体A 只受到一个摩擦力的作用
B.物体A.B 之间没有摩擦力
C.物体B 共受到三个力的作用
D.物体A 受到墙壁摩擦力的大小不随F 的增大而增大
【例9】如图所示，物块A、B 在水平向右的恒力F 的作用下静止在墙角处。物块A 下方与水平地
面接触、右侧与物块B 紧贴，物块B 下方悬空、右侧与竖直墙壁紧贴。物块A、B 表面均粗糙，水平
地面和竖直墙壁均光滑，则下列说法正确的是（）。
A.物块A 一共受到4 个力的作用
B.物块B 一共受到4 个力的作用
C.物块A 受到的摩擦力方向朝上
D.物块B 受到的摩擦力方向朝下
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第三节：力的分解与合成
【例1】如图，当K1、K2 和K3 三个力施加于P 点后，P 点的受力方向是A.B.C.D 四个方向中的
（）。
【例2】如图所示，物块A 在斜向右下的恒力F 的作用下静止于水平地面上，下列说法错误的是
（）。
A.物块A 与地面之间的接触面粗糙
B.物块A 一共受到4 个力的作用
C.物块A 受到的重力与地面给的支持力是一对平衡力
D.增大恒力F 但方向保持不变，地面对物块A 的支持力也变大
【例3】如图所示，一个小圆球放在桌面与墙面之间，小球与桌面的接触点为P，若不考虑摩擦
力，下列说法正确的是：
A.小球对P 点的压力大小一定大于小球的重力
B.小球对P 点的压力大小一定小于小球的重力
C.小球对P 点的压力大小一定等于小球的重力
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D.小球处于静止状态，所受合外力为0，对P 点没有压力
【例4】如图所示，木板AB 放置在水平地面上，一铅块位于木块上，抓住木板A 点，使其以B 点
为支点向上抬起直至与地面垂直，那么铅块所受的摩擦力f 的变化情况为（）。
A.铅块滑动前后，f 均随木板倾角的增大而减小
B.铅块滑动前，f 随木板倾角的增大而减小；铅块滑动后，f 随木板倾角的增大而增大
C.铅块滑动前，f 随木板倾角的增大而增大；铅块滑动后，f 随木板倾角的增大而减小
D.铅块滑动前后，f 均随木板倾角的增大而增大
【例5】如图所示，粗糙的斜面上，用一个恒定的力F 拉着物块A 匀速上滑，斜面体未发生滑动，
关于物块受到的摩擦力以及地面对斜面的摩擦力说法正确的是（）。
A.两个摩擦力均为零
B.物块受到的摩擦力沿斜面向下，地面对斜面的摩擦力为零
C.物块受到的摩擦力沿斜面向下，地面对斜面的摩擦力水平向右
D.物块受到的摩擦力沿斜面向下，地面对斜面的摩擦力水平向左
【例6】如下图所示，甲和乙两个相同的小球之间通过轻质弹簧连接，且甲、乙两个小球均被轻
质细绳悬在空中，此时右侧细绳水平、左侧细绳与竖直方向成一定角度，整个系统处于静止状态，则
下列说法不正确的是（）。
A.弹簧对小球乙的拉力大于右侧细绳对小球乙的拉力
B.弹簧对小球乙的拉力大于小球乙的重力
C.左侧细绳对小球甲的拉力小于右侧细绳对小球乙的拉力
D.左侧细绳对小球甲的拉力大于右侧细绳对小球乙的拉力
【例7】民用客机机舱的紧急出口气囊是一条连接地面的斜面，为安全考虑设计者要计算乘客着
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地时的速度和动能。乘客的质量各有不同，假设所有乘客与气囊的动摩擦因数相同，那么下面说法正
确的是。
A.质量越大下滑速度越大，动能也越大
B.质量越大下滑速度越大，但动能不一定大
C.下滑速度、动能与质量大小无关，速度和动能都一样大
D.下滑速度与质量大小无关所以一样大，但质量大的人动能较大
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第四节：简单机械
【例1】日常生活中的一些简单器械都应用了杠杆原理，根据使用杠杆时的用力情况，杠杆可以
分为省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆。拾取垃圾使用的钳子（下图左）和修剪树枝用的剪刀（下图右），
这两者的杠杆类型（）。
A.一样，都是省力杠杆
B.一样，都是费力杠杆
C.不一样，前者是费力杠杆，后者是省力杠杆
D.不一样，前者是省力杠杆，后者是费力杠杆
【例2】如图所示，杠杆处于向右倾斜的状态，O 点为杠杆支点，杠杆右侧悬挂一个小球，左侧
悬挂两个小物块，要使杠杆在水平位置达到平衡状态，下列方法一定错误的是（）。
A.在杠杆左侧再悬挂一个小物块
B.将杠杆支点O 点向右移动
C.将物块和小球同时向右移动
D.将物块和小球同时向左移动
【例3】如图所示，水平桌面上摆着一台杠杆，杠杆的左边悬挂着三个砝码，此时，如果在杠杆
右边的相同位置施加一个向下的拉力，以保证杠杆的平衡，那么，拉力在图示竖直平面内从左往右沿
逆时针旋转的过程中，拉力的大小变化是________。(F 表示拉力的大小，t 表示从左往右逆时针旋转
的时间。)
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【例4】如图所示，某同学利用滑轮组装置提升重为600N 的物体，若不计摩擦和滑轮自重，下列
说法正确的是（）。
A.图中两个滑轮都可以省力
B.使用该装置不能省力，但能改变力的方向
C.物体匀速上升时，人对绳子的拉力为300N
D.物体上升1 米时，人将绳子拉过3 米
【例5】用如图甲乙丙丁所示的装置来提升重物G。若摩擦力和动滑轮重都不计。那么，最费力
的是（）。
【例6】如图所示，地面上有一架天平，天平左端系有一个50g 的物体，右端通过绳子连接一组
滑轮。滑轮组合中，O、Q 为定滑轮，P 为动滑轮，下端系有一个100g 的物体。要使天平两端平衡，
需要的操作是（）。
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A.在A 处挂上重15g 的物体
B.在B 处挂上重25g 的物体
C.在C 处挂上重50g 的物体
D.在D 处挂上重75g 的物体
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第三章
运动学
第一节：运动基本概念
【例1】小红和小新同时从天安门出发去往北京南站，两人的运动轨迹如下图所示，若小红和小
新恰好花费相同的时间，下列关于该运动过程的说法正确的是（）。
A.小红运动的速度大于小新运动的速度
B.小红运动的位移等于小新运动的位移
C.小红运动的速率大于小新运动的速率
D.小红运动的路程等于小新运动的路程
【例2】加速度反映了速度的变化快慢，则（）。
A.速度越大，加速度越大
B.速度很大时，加速度可以为0
C.速度变化越大，则加速度越大
D.速度为0 时，加速度一定为0
【例3】一名摄影师要从侧面拍摄一辆以54km/h 行驶的汽车，成像不模糊的前提是底片上汽车的
像移动的尺寸不大于0.1mm，已知底片上汽车长为2cm，实际汽车车身长3m，那么曝光时间至多为
______秒。
A.1/1000
B.1/500
C.1/250
D.1/125
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第二节：牛顿运动定律
【例1】以下关于惯性的分析，正确的是（）。
A.滚动的足球受地面摩擦，滚动速度逐渐减慢，惯性也随之减小
B.月球绕地球转动，其惯性与地球对它的引力相关
C.自由落体在下落过程中速度增大，惯性也增加
D.桌面上静止不动的乒乓球也有惯性
【例2】如图所示，通过轻绳固定在地面上的气球处于静止状态，如果此时气球受到的力全部消
失，气球将会（）。
A.匀速上升
B.加速上升
C.保持静止
D.可以向各个方向运动
【例3】某物体在光滑水平面上向左做匀速直线运动，若对其施加一个方向水平向左、大小从F
逐渐减小至零的力，在此过程中，下列说法正确的是（）。
A.物体的速度逐渐减小、加速度逐渐减小、位移逐渐减小
B.物体的速度逐渐减小、加速度逐渐减小、位移逐渐增大
C.物体的速度逐渐增大、加速度逐渐减小、位移逐渐增大
D.物体的速度逐渐增大、加速度逐渐减小、位移逐渐减小
【例4】某次实验，先在电梯内平放一个磅秤，然后小明站在磅秤上观察示数为600N，在电梯运
动过程中，小明再次观察磅秤，发现示数为540N，则下列解释正确的是（）。
A.小明处于超重状态，电梯可能在做向上的加速运动
B.小明处于超重状态，电梯可能在做向上的减速运动
C.小明处于失重状态，电梯可能在做向下的加速运动
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D.小明处于失重状态，电梯可能在做向下的减速运动
【例5】小丽早上起床后用电子人体秤称体重，一开始她蹲在电子秤上，随后忽然站起来，那么
对电子秤示数的变化判断正确的是（）。
A.一直变小
B.一直变大
C.先变大后变小，最后恢复到蹲在电子秤时相同示数
D.先变小后变大，最后恢复到蹲在电子秤时相同示数
【例6】关于作用力和反作用力，下列说法正确的是（）。
A.鸡蛋撞击石头，鸡蛋碎了，石头却完好无损，说明鸡蛋受到的力比石头受到的力大
B.地球的质量比月球大得多，所以地球对月球的引力大于月球对地球的引力
C.游泳时，人向后拨水的力和水向前推人的力是一对作用力和反作用力
D.茶杯静止在水平桌面上，茶杯受到的重力和桌子对茶杯的支持力是一对作用力和反作用力
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第三节：直线运动
【例1】甲、乙两车在同一条平直公路上同时出发，其位移随时间变化的图像如下图所示，则下
列判断正确的是（）。
A.在0~10s 内，甲、乙两车的速度方向相反
B.在10~15s 内，甲车的速度大于乙车的速度
C.在15~25s 内，甲车做匀速直线运动
D.在0~25s 内，甲、乙两车之间的距离逐渐减小
【例2】某物体从水平地面开始竖直向上运动，其速度（v）随时间（t）变化的图像如下图所示，
则下列说法错误的是（）
A.该物体先做加速运动，再做减速运动
B.该物体在0～t₂ 时间段内向上运动，在t₂ ～t₃ 时间段内向下运动
C.该物体在0～t₁ 时间段内的加速度大于在t₁ ～t₂ 时间段内的加速度
D.t₃ 时刻该物体距离水平地面最远
【例3】下图为某物体做直线运动时，其位移（s）随时间（t）变化的图像，则该物体的速度（v）
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随时间（t）变化的图像可能是（）。
【例4】小明在研究竖直上抛运动特点时，将一个小金属球竖直向上抛出，并记录了小球从抛出
到落回原出发点过程中小球速度随时间变化的数据，绘制成图像。下列图像中能正确反映出小球运动
情况的是：
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第四节：曲线运动
【例1】甲、乙、丙三个小球做平抛运动，三个小球的水平抛出速度与落地时的水平位移见下表，
则关于三个小球的抛出高度（h）的大小关系，下列说法正确的是（）
A.ℎ甲< ℎ乙< ℎ丙
B.ℎ丙< ℎ乙< ℎ甲
C.ℎ甲< ℎ丙< ℎ乙
D.ℎ丙< ℎ甲< ℎ乙
【例2】有一种“套环”游戏：把一金属小环平抛出去，环落地时套住摆放在地上的奖品，游戏
者就可以获得这个奖品。一次抛环的轨迹如图所示，要想下一次套中奖品，游戏者该如何调整（不计
空气阻力）：
A.不改变抛出点的高度，适当增大抛出的速度
B.不改变抛出点的高度，适当减小抛出的速度
C.不改变抛出的速度，适当减小抛出点的高度
D.适当减小抛出的速度，并减小抛出点的高度
【例3】如图所示，A、B 两个质量相等的小球在轻绳的牵引下以相同的角速度在光滑的水平地面
上围绕O 点做匀速圆周运动，下列说法正确的有（）。
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26
①A 球的线速度大于B 球的线速度
②A 球的线速度小于B 球的线速度
③轻绳对A 球的拉力大于轻绳对B 球的拉力
④轻绳对A 球的拉力等于轻绳对B 球的拉力
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【例4】夏季天气十分炎热，很多人都会选择吹风扇，下图为家用小型风扇，在叶片上有A、B、
C 三点，三点的位置如图所示。当风扇启动后，叶片做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）。
A.B 点的向心加速度是恒定的
B.A、B、C 三点的向心加速度大小相等
C.角速度大小：��= ��= ��
D.线速度大小：��< ��< ��
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27
第四章
功和机械能
第一节：功和功率
【例1】如图所示，物体M 在大小相同的力�1和�2作用下移动了相同的距离S。下列关于�1、�2
所做的功说法正确的是（）。
A.�1做的功小于�2做的功
B.�1做的功等于�2做的功
C.�1做的功大于�2做的功
D.无法判断
【例2】小明在家里做家务时，用平行于地面的力推沙发，第一次推沙发时沙发未动，第二次推
沙发时小明使用更大的力，沙发向右移动了一段距离，下列说法不正确的是（）。
A.第一次推沙发时，地面的摩擦力对沙发不做功
B.第二次推沙发时，地面的摩擦力对沙发做负功
C.第一次推沙发时，小明对沙发做负功
D.第二次推沙发时，小明对沙发做正功
【例3】如图所示，在粗糙的水平地面上，某人通过细绳将一个废旧轮胎水平向右拖动了一段距
离，下列关于轮胎运动的说法中正确的是：
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28
A.轮胎受到的重力在运动过程中做正功
B.轮胎受到的拉力在运动过程中可能做正功，也可能做负功
C.地面对轮胎的摩擦力在运动过程中可能做正功，也可能做负功
D.地面对轮胎的支持力在运动过程中不做功
【例4】如图所示，物块M、N 叠放在粗糙斜面上，水平外力F 作用于物块N 上，使两物块沿斜面
向上匀速运动，若两物块无相对运动且接触面水平，则下列说法中错误的是（）。
A.物块M 受到的支持力对物块M 做正功
B.外力F 对物块M 做正功
C.斜面的支持力对物块N 不做功
D.重力对两物块均做负功
【例5】如图所示，光滑的水平面上静止放置着质量为M 的三角形物块，一质量为m 的小球从物
块顶端由静止释放，小球滑至底端的过程中物块水平移动了一段距离，下列说法正确的是：
A.小球的重力对小球做负功
B.物块对小球的支持力不做功
C.物块对小球的支持力做负功
D.小球对物块的压力做负功
【例6】小明和小丽为了研究功和能的课题，做了如下实验，小明和小丽都以水平拉力F 在相同
的粗糙水平面上拉着同一个物体匀速运动，使物体从O 点移动到N 点，已知小明拉物体时的速度为
4m/s，小丽拉物体时的速度为2m/s，则下列说法正确的是：
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A.小明对物体做的功多
B.小丽对物体做的功多
C.小明的功率大
D.小丽的功率大
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30
第二节：机械能守恒定律
【例1】2021 年9 月17 日，神舟十二号载人飞船返回舱正式返回地球，在神舟十二号载人飞船
返回舱匀速下降的过程中，下列关于能量的变化说法正确的是（）。
A.动能不断增加，机械能不变
B.动能不变，重力势能不断增加
C.重力势能不断减小，机械能不变
D.重力势能和机械能都不断减小
【例2】如图所示，高尔夫球在力的作用下从水平地面的M 点飞到N 点。忽略高尔夫球在飞行过
程中的空气阻力，下列选项能正确表示高尔夫球从M 点到达N 点前的动能关系的是（）。
【例3】如图，小球在细绳的牵引下从A 点自由摆动到C 点，B 点是最低点。若忽略空气阻力，
则下列说法不准确的是（）。
A.从A 点到B 点小球的动能增加
B.从B 点到C 点小球的势能增加
C.在B 点小球的动能最大
D.从A 点到C 点小球的机械能增加
【例4】如下图所示，在轻杆的牵引下，小球在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，下列说法
中正确的是（）。
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31
A.从A 点到B 点，小球的重力势能减小
B.从A 点到C 点，小球的机械能增大
C.从A 点到B 点，小球的重力做正功
D.从B 点到C 点，小球的重力做正功
【例5】如图所示，木块A 在力F 的作用下，沿着光滑斜面向上做匀速直线运动，下列关于各物
理量随时间变化关系的图像，判断正确的是（）。
【例6】甲、乙两个相同材质的物块以相同的初速度在同一粗糙地面上沿直线滑动直至停下，已
知甲的质量是乙的2 倍，则到两物块都停下时，甲走过的位移s 甲与乙走过的位移s 乙的大小关系是
（）。
A.s 甲=s 乙
B.s 甲>s 乙
C.s 甲<s 乙
D.无法判断
【例7】下图是蹦极运动过程的简化示意图，弹性绳一端固定在O 点，另一端系住运动员，运动
员从O 点自由下落，到达A 点处弹性绳自然伸直，在B 点处运动员受到的重力与弹性绳对运动员的拉
力相等，C 点是运动员所能到达的最低点，运动员从O 点到C 点的运动过程中忽略空气阻力，则：
A.从O 至A 过程中运动员速度一直减小
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32
B.从A 至B 过程中运动员速度一直减小
C.从B 至C 过程中运动员速度一直减小
D.从C 至A 过程中运动员速度一直减小
【例8】“蹦极”是一种极富刺激性的游乐项目，如图所示为一根橡皮绳，一端系住人的腰部，
另一端固定在跳台上。当人落至图中A 点时，橡皮绳刚好被拉直，当人落至图中B 点时，橡皮绳对人
的拉力大小与人的重力大小相等，C 点是游戏者所能达到的最低点。在游戏者离开跳台到最低点的过
程中，不计空气阻力，下列说法正确的是。
A.游戏者的动能一直在增加
B.游戏者到达B 点时重力势能最小
C.游戏者到达B 点时动能最大
D.游戏者在C 点时的弹性势能最小
【例9】如图所示，物块与轻质弹簧连在一起，在力F 的作用下，将物块压到最低点，撤去力F
之后，物块在弹力的作用下开始向上运动，在物块从最低点到弹簧恢复原长的过程中，下列说法不正
确的是（）。
A.弹簧的弹性势能增大
B.物块的机械能增大
C.物块与弹簧组成的系统机械能守恒
D.弹簧的弹性势能减少量一定大于物块动能的增加量
【例10】如图，一轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A 位置有一只小球，小球从静止
开始下降，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小
到零。下列对于小球下降阶段的说法中，正确的是（）。
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A.在B 位置小球动能最大
B.在C 位置小球动能最小
C.从A→D 位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加
D.从A→C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
如图所示，轻质弹簧一端固定在墙体，另一端连接着一木块静止在O 点，此时，弹簧的长度为原
长。现将木块静止在M 点释放，在粗糙程度均匀的水平面向右滑动，最远到达N 点，则木块在M 点滑
动到N 点的过程中：
A.木块的速度先增大再减小
B.木块在O 点的加速度最大
C.木块受到的摩擦力逐渐增大
D.弹簧弹力在O-N 点做正功
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第五章
光现象
第一节：光的直线传播
【例1】甲同学在进行小孔成像的光学实验时，其实验器材的摆放和成像结果如图所示。现将硬
纸板上的圆形小孔的下半部分遮住，其他条件不变，则接受屏上得到的图像形状是：
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第二节：光的反射
【例1】如图所示为某一入射光经平面镜反射后的行进路径。保持入射光不变，通过调整平面镜
（左右平移或顺逆时针旋转）使反射光射向P 点。下列说法中正确的是：
A.平面镜应向右平移
B.平面镜应逆时针转动
C.第二次的反射角比第一次的反射角大
D.调整平面镜后反射角和入射角不再相等
【例2】自行车上的红色尾灯不仅是装饰品，更是夜间骑车的安全指示灯，它能把来自后面的光
照反射回去。某种自行车尾灯可简化为由许多整齐排列的等腰直角棱镜组成，棱镜的横截面如图所示，
一平行于横截面的光线从O 点垂直AB 边射入棱镜，先后经过AC 边和CB 边反射后，从AB 边的
点射
出，则出射光线是：
A.平行于AC 边的光线①
B.平行于入射光线的光线②
C.平行于CB 边的光线③
D.平行于AB 边的光线④
【例3】将下图所示的音符卡片面向平面镜时，该卡片在平面镜中的成像是（）。
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【例4】检查视力时，要求眼睛与视力表的距离为5 米，如下图所示，人面对平面镜而坐，背后
为视力表。视力表到平面镜的距离3 米，那么人到镜子的距离应为：
A.2 米
B.2.5 米
C.5 米
D.8 米
【例5】雨后晴朗的夜晚，为了不踩到地面上的积水，人们通常会根据地面的反光情况来判断积
水位置，下列说法正确的是（）。
A.迎着月光走，地上发光处是积水；背着月光走，地上发光处是地面
B.迎着月光走，地上发光处是地面；背着月光走，地上发光处是积水
C.迎着月光走，地上发光处是积水；背着月光走，地上发光处是积水
D.迎着月光走，地上发光处是地面；背着月光走，地上发光处是地面
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第三节：光的折射
【例1】下图是一束光在空气和玻璃两种不同的介质中传播的路径示意图，则下列说法正确的是
（）。
A.M₁ M₂ 是界面
B.AO 是入射光线
C.OC 是反射光线
D.N₁ N₂ 下方是玻璃介质
【例2】如下图所示，两束同样的单色光从不同方向射出，汇聚于O 点，如图1 所示。如果在这
两个光线汇聚于O 点的位置前放置一块透明的玻璃方砖，则这两束光线透过玻璃方砖后将会汇聚于方
砖右侧的哪一个点？
A.A 点
B.B 点
C.C 点
D.D 点
【例3】两块完全相同的平面玻璃砖相互垂直放置（如图），一束单色光从左侧水平射入左边的
玻璃砖，从右边的玻璃砖射出，则出射光线相对入射光线：
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38
A.向上偏折
B.向下偏折
C.在同一条直线上
D.平行
【例4】如图所示，以下说法正确的是（）。
A.潜水者看到的岸上的人比实际中更高；岸上的人看到的潜水者位置比实际更深
B.潜水者看到的岸上的人比实际中更高；岸上的人看到的潜水者位置比实际更浅
C.潜水者看到的岸上的人比实际中更矮；岸上的人看到的潜水者位置比实际更深
D.潜水者看到的岸上的人比实际中更矮；岸上的人看到的潜水者位置比实际更浅
【例5】喷水鱼因特殊的捕食方式而得名，能喷出一股水柱，准确击落空中的昆虫作为食物。下
列各图中能正确表示喷水鱼看到昆虫像的光路图的是（）。
【例6】关于光现象，下列说法中正确的是：
A.潜艇的潜望镜利用了光的折射原理
B.凸面镜上的反射不遵守光的反射定律
C.自行车尾灯是靠光的反射来引起后方车辆驾驶人注意的
D.海市蜃楼的形成是因为光沿直线传播
【例7】如图是某人眼睛看物体时的成像示意图。则他的眼睛类型及矫正需要选用的透镜分别是
（）。
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39
A.近视眼，凸透镜
B.近视眼，凹透镜
C.远视眼，凸透镜
D.远视眼，老花镜
第四节：光的色散
【例1】一束光源打向一个三棱镜，经过三棱镜的作用形成彩色光带，则下列说法错误的是：
A.该图描述了光的色散
B.甲可能为红光，丙可能为紫光
C.丙的折射率高于乙的折射率
D.甲光波长大于丁光波长
【例2】如图所示，一束太阳光从空气中倾斜射入玻璃体，玻璃体实心无色，A.B.C.d 代表四条
不同颜色的光线，则它们可能依次是（）。
A.红光、紫光、蓝光、绿光
B.绿光、红光、蓝光、紫光
C.紫光、蓝光、绿光、红光
D.绿光、紫光、红光、蓝光
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第五节：物体的颜色
【例1】透过一块纯绿色的玻璃窗观察白墙上写的纯红色大字，最有可能看到（）。
A.绿墙无字
B.绿墙黑字
C.绿墙橙字
D.黑墙无字
【例2】在学习了与光现象相关的知识后，小红在黑暗的屋子里，用绿色灯光同时照在白色上衣、
红色裙子上，则他所看到的颜色为（）。
A.红色上衣、红色裙子
B.红色上衣、黑色裙子
C.绿色上衣、红色裙子
D.绿色上衣、黑色裙子
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第六章
声现象
第一节：声音的产生与传播
【例1】人在真空罩外，拨打一个放在真空罩中的手机（铃声正常开启），最可能观察到的现象
是：
A.手机无信号，无法接通
B.可以接通，但是听不到铃声
C.可以接通，同时听到铃声
D.无法判断
第二节：声音的特性
【例1】吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦。小王新买了一把吉他，想要探究音调与琴弦的关
系，以下说法不正确的是（）。
A.音调表示声音的高低，由发声物体的振动频率决定
B.其他条件相同的情况下，琴弦越粗，音调越高
C.其他条件相同的情况下，琴弦越短，音调越高
D.其他条件相同的情况下，琴弦越紧，音调越高
【例2】小王用塑料圆筒做了一个简易哨子（如图），当他从吹气口吹气的同时，将活塞慢慢往
下拉，可以听到哨声（）。
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A.逐渐变小声
B.音调越来越高
C.音调越来越低
D.没有变化
【例3】桌面上有三个相同的烧杯，第一个是空烧杯，第二个烧杯内装有100ml 的水，第三个烧
杯内装有200ml 的水。用玻璃棒敲击烧杯的边沿，发现三个烧杯被敲击的声音都不相同。则下列说法
正确的是（）。
A.敲击第一个烧杯的音调最高
B.敲击第二个烧杯的音调最高
C.敲击第三个烧杯的音调最高
D.敲击三烧杯的音调是一样的
第三节：声音的利用
【例1】下列关于声现象的说法，正确的是（）。
A.太空中的宇航员是通过声波与地面进行交流的
B.对着蜡烛播放音乐能使“烛火跳舞”，说明了声音可以传递信息
C.汽车上的电子防盗报警装置，利用了声音可以传递信息
D.“掩耳盗铃”的故事中，盗贼阻止了声音的产生
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第四节：噪声的危害
【例1】为了缓解或者降低行驶车辆发出的噪音对居民的影响，常在离民居较近的高架桥两旁修
建隔音墙。对此，下列关于隔音墙说法最不准确的是（）。
A.可以吸收汽车产生的噪音
B.可以反射汽车产生的噪音
C.出现破裂会影响隔音效果
D.可以从源头上减少噪音
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第七章
热现象
第一节：物态变化
【例1】下列生活现象中，涉及放热过程的有（）。
①冬天大雾的形成
②积雪的融化
③冰糕周围出现“白气”
④冬天戴着眼镜从室外进入温暖的室内，镜片上出现白雾
A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④
【例2】如图所示，肖大伯家有两口水缸摆在一起（①和③、②和④是同一口水缸）。在同一天
内，①②表示水缸在日光直射下，③④表示水缸在月光直射下。如果忽略其他因素影响，则下列说法
不正确的是（）。
A.③④水分蒸发的速度相同
B.①③水分蒸发的速度不同
C.②水分蒸发的速度最快
D.③水分蒸发的速度最慢
【例3】如图所示，把碗放在大锅内的水中蒸食物，假设碗中的汤和水的沸点一样都是100℃，
且碗中的汤吸收的热量全部来自于周围的水，则下列关于水和汤沸腾的说法正确的是。
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A.水和汤同时沸腾
B.水会沸腾，汤不会沸腾
C.水先沸腾，汤后沸腾
D.汤先沸腾，水后沸腾
【例4】下图是导热性能良好的三层容器，由内而外依次盛有液面高度相同的酒精（沸点78℃）、
煤油（沸点150℃）、水（沸点100℃），当该容器在火焰上持续加热时，第二个沸腾的是（）。
A.酒精
B.煤油
C.水
D.三种液体同时沸腾
第二节：比热容
【例1】如图是某种固态物质在加热过程中，温度随时间变化的图像。下列说法最不准确的是（）。
A.该固态物质有固定的熔点
B.该固态物质在熔化过程中，比热容增大
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C.温度为0℃时，该物质可能处于固液共存状态
D.该固态物质在熔化时不断吸收热量，温度不断升高
【例2】某晶体物质在液态时的比热容大于其在固态时的比热容，若在加热过程中物质在单位时
间内获得的热量不变，该晶体物质的质量保持不变，则该晶体物质由固态熔化成液态过程中的温度变
化图像为（）。
【例3】下表中所示为部分燃料的热值。若要将10℃的水加热至60℃，假设燃料燃烧释放的能量
全部给了水。已知水的比热容为4.2×103J/kg·℃。下列判断正确的是：
A.消耗相同质量的焦炭和汽油，能加热水的质量比约为3：2
B.分别加热等质量的水，消耗的木炭质量与煤油质量的比约为5：7
C.2g 氢可以加热约1.3kg 的水
D.加热1.5kg 的水需要约3g 的汽油
第三节：内能
【例1】下列关于水和冰的说法正确的是（）。
A.0℃的冰内能为零
B.冰在融化成水的过程中，内能增加，但温度不变
C.冬天窗户上的小冰花是由水凝固而成的
D.水凝固成冰后体积不变
【例2】下列关于内能的说法正确的是：
A.0℃的冰水混合物没有内能
B.在地面上静止的冰块有内能
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C.水凝固过程中，内能减少，温度变低
D.等质量的冰和水，内能相等
【例3】下列选项中通过做功改变内能的是（）。
A.冬天时搓手取暖
B.发烧时敷冷毛巾降温
C.用火烧铁锅使其升温
D.向温水中加入冰块降温
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第八章
电学基础
第一节：基本概念
【例1】当玻璃棒与丝绸相互摩擦时，下列说法正确的是（）。
A.玻璃棒上的质子转移给丝绸
B.丝绸上的质子转移给玻璃棒
C.玻璃棒上的电子转移给丝绸
D.丝绸上的电子转移给玻璃棒
【例2】有甲、乙、丙三个轻质小球，已知甲与乙相互吸引，甲与丙相互排斥，则以下说法正确
的是（）。
A.若乙带正电，丙可能带正电
B.若乙带正电，丙可能不带电
C.若丙带负电，乙可能带负电
D.若丙带负电，乙可能不带电
【例3】下列A.B.C.D 四个模拟电路中，电键闭合与否和灯泡亮暗对应关系表述错误的是（）。
A.A 图中即使电键都不闭合，灯泡也会亮
B.B 图中只要有一个电键闭合，灯泡就不会亮
C.C 图中只有当所有电键都闭合，灯泡才不会亮
D.D 图中只有所有电键都闭合，灯泡才会亮
【例4】某公司技术员张某负责设计防盗安全门电路图，设计要求为：安全门关闭时，电路开关
保持闭合，电铃不会被触发，当安全门非正常打开时，保护电路开关断开，电铃会被触发。下列符合
安全门电路图设计的是（）。
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第二节：串联与并联
【例1】在下图所示的四个电路图中，三盏灯属于并联的电路图是（）。
【例2】如图所示，当S1，S2 闭合时，以下说法正确的是（）。
A.仅有灯L3 亮
B.灯L2、L3 亮，它们是串联的
C.灯L1、L3 亮，它们是串联的
D.灯L2、L3 亮，它们是并联的
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第三节：欧姆定律
【例1】下图是两种不同导体（
1、
2）的伏安特性曲线，则以下选项无法确定的是（）。
A.
1、
2 的电阻之比为1:4
B.
1、
2 的额定功率相同
C.并联在电路中时，
1、
2 电流比为4:1
D.串联在电路中时，
1、
2 电压比为1:4
【例2】将四个相同的灯泡和两个相同的电池以导线连接，其电路如图。若通过各灯泡的电流分
别为�1、�2、�3和�4，假设电池供应的电压稳定，并联电路a、b 间的电压维持在定值，则下列电流关
系正确的是：
A.�1 = �2 + �3
B.�2 = �3
C.�1 = �2 + �3 + �4
D.�2 = �4
【例3】小明打算自己组装一个简单的电热装置，他手上有一个电压稳定的电源和三段完全相同
的电热丝，若要使装置的加热功率最大，下列哪个电路是最佳选择（）。
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第四节：电功率
【例1】几个同学在实验室中看到甲、乙两只外形相同的灯泡，铭牌标注如图所示。下面列出了
他们在讨论中的几种说法，其中不正确的是（）。
A.甲、乙两灯正常发光时，通过它们的电流相等
B.甲、乙两灯正常发光时，甲灯的电阻大于乙灯的电阻
C.两灯串联在9V 的电源上时，甲灯消耗的功率比较小
D.两灯并联在6V 的电源上时，乙灯消耗的功率比较大
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第五节：电路图动态分析
【例1】如图所示，当闭合开关S，滑动变阻器的滑片P 向左移动时（电源电压保持不变），下
列说法中正确的是：
A.电压表和电流表的示数都变小
B.电压表和电流表的示数都变大
C.电压表的示数变大，电流表的示数变小
D.电压表的示数变小，电流表的示数变大
【例2】下图所示的电路中，电源电压保持不变，闭合开关�1、�2后，电路正常工作。开关�1闭
合，开关�2由闭合到断开时，下列说法正确的是：
A.电流表�1的示数不变
B.电流表�2的示数不变
C.电压表�1的示数不变
D.电压表�2的示数不变
【例3】如图所示是某仓库报警器的电路示意图，热传感器�1安装在仓库内部，监控机A 和报警
电铃安装在监控室内。热传感器�1的阻值会随着温度的升高而减小，当仓库发生火情时，下列说法正
确的是（）
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A.监控机A 两端的电流增大
B.报警电铃两端的电压减小
C.电阻器�2两端的电压不变
D.电源的电压降低
【例4】如图所示，电源电压恒定，闭合开关S 后，滑动变阻器�0的滑片向左移动时，下列说法
正确的是（）。
A.电压表V 的示数变大
B.电流表�1的示数不变
C.电流表�2的示数不变
D.灯泡L 变暗
【例5】如图所示的电路中，�1、�2是两个相同的灯泡，�为定值电阻，�为滑动变阻器的滑片，
电源电压恒定，闭合开关�后，两个灯泡均可发光，则下列说法正确的是（）。
A.若滑片�向右滑动，则灯泡�1变亮
B.若滑片�向左滑动，则通过滑动变阻器的电流增大
C.若滑片�向右滑动，则灯泡�2变亮
D.若滑片�向左滑动，则通过电阻�的电流减小
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第六节：家庭电路
【例1】关于家庭电路和安全用电，下列说法错误的是（）。
A.使用试电笔测火线时，手指不能碰到笔尖
B.正确使用试电笔时，人体与试电笔之间完全绝缘
C.家庭电路中保险丝熔断，不一定是发生了短路
D.家庭电路中，用电器的开关不能安装在零线与用电器之间
【例2】如图所示：电工踩在绝缘的凳子上，正在带电操作中，以下不会发生触电事故的是（）。
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【例2】如图是某家庭电路图的一部分，家庭内各电器均正确接入电路。则以下说法准确的是（）。
A.假如乙和甲分别是电器或开关，则丙是开关
B.假如电路正常，正确使用试电笔接触三孔插座的孔都会显示有电流
C.假如甲是带金属外壳的用电器，则它接的是三孔插座
D.假如零线被烧断，应立即关闭开关，否则会引起短路
【例3】家庭电路的供电线路由两根线组成：火线和零线。在正常情况下，零线与地之间没有电
压，火线与地有220V 电压，为了安全用电，以下电路符合安装要求的是________。
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56
第九章
电与磁
第一节：磁场
【例1】下列说法中错误的是：
A.磁场是由无数条磁感线组成的
B.磁感线在磁体的外部从磁体N 极出发，最后回到S 极
C.将条形磁铁分成若干段，每段磁体均有N、S 极
D.大头针被磁铁吸引的同时也被磁化成小磁体
【例2】地球是一个巨大的磁体，它的磁场分布情况与一个条形磁铁的磁场分布情况相似。地理
南极相当于条形磁铁的N 极，地理北极相当于条形磁场的S 极，那么上海上空的磁场方向是（）。
A.由南至北斜向下沉
B.由南至北斜向上升
C.由北至南斜向下沉
D.由北至南斜向上升
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第二节：电生磁
【例1】如下图所示，为某通电螺线管及其磁场的部分磁感线，电源电压保持不变，下列说法正
确的是（）。
A.通电螺线管的左端为N 极
B.电源的右端为负极
C.若增大电阻的阻值，通电螺线管的磁性将增强
D.增加通电螺线管的匝数，通电螺线管的磁性将减弱
【例2】如下图所示，弹簧测力计被固定在天花板上，下面悬挂着一条形磁铁，通电螺线管处于
条形磁铁的正下方，电源电压保持不变，当电路中的开关闭合时，弹簧测力计的示数变小，则下列分
析正确的是（）。
A.通电螺线管的上端为N 极，电源的右端为正极
B.通电螺线管的上端为S 极，电源的右端为正极
C.通电螺线管的上端为N 极，电源的右端为负极
D.通电螺线管的上端为S 极，电源的右端为负极
【例3】在如图所示的电路中接入通电螺线管，一根绳子系着一个小铁球竖直悬挂在通电螺线管
左边，小铁球静止时与通电螺线管等高且不接触，电源电压恒定，闭合开关S 后，下列说法正确的是
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（）。
A.小铁球会向左移动，远离通电螺线管
B.通电螺线管左侧为N 极，右侧为S 极
C.将滑动变阻器的滑片向右滑动，通电螺线管周围的磁场会减弱
D.若将小铁球换成同样大小的小铅球，小铅球将向右移动
【例4】如图所示，条形磁铁与电磁铁处于同一水平面上，闭合电磁铁开关，无论如何移动滑动
变阻器，条形磁铁始终保持静止，电源电压保持不变。下列说法错误的是（）。
A.电磁铁的右端为N 极
B.电磁铁对条形磁铁的作用力向右
C.向左移动滑动变阻器的滑片，条形磁铁受到的摩擦力变大
D.若将电源的正负极调换，条形磁铁受到的摩擦力向左
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第三节：安培力
【例1】如下图所示，水平放置的长直导线甲内接通向右的电流，处于垂直于纸面向里的磁场中，
水平放置的长直导线乙内接通向左的电流，处于垂直于纸面向外的磁场中，下列说法正确的是（）。
A.甲受到的安培力方向竖直向上，乙受到的安培力方向竖直向下
B.甲受到的安培力方向竖直向下，乙受到的安培力方向竖直向上
C.甲、乙受到的安培力方向均竖直向下
D.甲、乙受到的安培力方向均竖直向上
【例2】如图所示，竖直的轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端固定在一根铜棒上，铜棒内通
有从右到左的恒定电流，虚线范围内有垂直于纸面的匀强磁场，已知铜棒静止且弹簧处于压缩状态，
下列说法中正确的是（）。
A.铜棒受到的安培力方向竖直向下
B.虚线范围内的磁场方向为垂直于纸面向里
C.若减小磁场强度，则弹簧的压缩量将变小
D.若将铜棒内电流方向改为自左至右，则当铜棒静止时，弹簧依旧可以处于压缩状态
【例3】如图所示，在水平台面上放置有一光滑斜面，倾角为α，在斜面上某处放了一根垂直于
纸面的直导线，在导线中通有垂直纸面向里的电流，图中a 点在导线正下方，b 点与导线的连线与斜
面垂直，c 点在a 点左侧，d 点在b 点右侧。现欲使导线静止在斜面上，下列措施可行的是。
A.在a 处放置一电流方向垂直纸面向里的直导线
B.在b 处放置一电流方向垂直纸面向里的直导线
C.在c 处放置一电流方向垂直纸面向里的直导线
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D.在d 处放置一电流方向垂直纸面向里的直导线
【例4】在某种核反应堆中，是靠熔化的钠来传递核燃烧产生的热量的。抽动液态钠的“泵”的
传动部分不允许和钠接触，因此常使用一种称为“电磁泵”的机械。如图所示为这种泵的结构，N、S
为磁铁的两极，C 为在磁场中的耐热导管，熔融的钠从其中流过，v 为钠的流动方向，要使钠液加速，
加在导管中钠液的电流方向应为。
A.由上流向下
B.由下流向上
C.逆着v 的方向
D.顺着v 的方向
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化学
第一节：化学基础概念
【例1】下列成语中，描述发生化学变化的是：
A.大浪淘沙×
B.滴水成冰
C.百炼成钢
D.木已成舟×
【例2】下列叙述中，前者属于物理性质，后者属于化学变化的是：
A.糖具有甜味；糖在水中溶解
B.一氧化碳具有还原性；一氧化碳在氧气中燃烧
C.氢气具有可燃性；氢气液化
D.铁具有导电性；铁生锈
【例3】下列关于分子的说法，正确的是（）
A.分子是化学变化中的最小微粒
B.分子是保持物质化学性质的最小微粒
C.当物体保持运动状态时，分子在做无规则运动，当物体静止时，分子也处于静止状态
D.同种物质液态的分子间距一定大于固态
【例4】甲、乙两个烧杯内分别装有等量的热水和冷水，现在往两个烧杯内滴入红色墨水，并观
察墨水的扩散速度。下列说法正确的是（）。
A.甲烧杯内的墨水扩散速度更快，因为温度高时分子移动速度更快
B.乙烧杯内的墨水扩散速度更快，因为温度高时会抑制分子活性
C.甲、乙烧杯内的墨水扩散速度相同，因为墨水分子间斥力相同
D.甲烧杯内的墨水扩散速度更快，因为温度高时分子间的张力更大
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第二节：空气
【例1】二百多年前，法国化学家拉瓦锡用定量的方法研究了空气的成分，得出了空气由氧气和
氮气组成。人们后来发现了空气中还有稀有气体、二氧化碳等气体。下列有关空气的说法不正确的是
（）
A.空气是一种混合物
B.空气中氧气的质量约占21%
C.二氧化碳是一种非金属氧化物
D.氮气常用作食品包装中的保护气和制造氮肥、硝酸的原料
【例2】某可燃物的着火点为t，如图所示，则该物质燃烧火势从大到小的点依次是（）。
A.①②③
B.②④⑤
C.③④⑤
D.⑤④②
【例3】下列关于灭火的说法正确的是（）。
A.炒菜时油锅着火，可以浇水降温灭火
B.电器着火时，可以用泡沫灭火器灭火
C.钠着火时可以用水灭火
D.堆放杂物的纸箱着火，可以用水浇灭
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第三节：碳和碳的化合物
【例1】如图所示，将所点燃的一高一矮两只蜡烛放入圆筒，圆筒顶端不封闭，并从圆筒侧壁缓
慢注入二氧化碳气体。则最可能发生的情况是（）。
A.高蜡烛先熄灭
B.矮蜡烛先熄灭
C.两只蜡烛的火苗没有变化
D.两只蜡烛的火苗都变矮并逐渐熄灭
【例2】常温下，将一块干冰放入塑料袋中，并将塑料袋密封，塑料袋会迅速鼓起。关于塑料袋
鼓起的原因，下列说法正确的是：
A.二氧化碳分子变成了原子
B.二氧化碳分子间的距离变大
C.二氧化碳分子的体积变大
D.二氧化碳分子从静止开始运动
【例3】下列碳单质的各种用途中，利用了其化学性质的是（）
A.做钻头
B.做电极
C.冶炼金属
D.做冰箱除味剂
【例4】下列关于碳和碳的氧化物的说法错误的是（）
A.木炭和活性炭都具有吸附性
B.一氧化碳和二氧化碳都可将氧化铜还原成铜
C.在室内放一盆澄清石灰水不能防止一氧化碳中毒
D.二氧化碳的大量排放不能导致酸雨的形成
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第四节：固体溶解度
【例1】实验员小张计划配制浓度为8%的氯化钠溶液，在配制过程中，他使用托盘天平称量氯化
钠的质量，使用量筒称量水的体积。但由于操作失误，最终配制的溶液浓度偏小，则以下可能导致这
一结果的是（）。
A 称量前未调平衡，天平指针偏右
B 称量时，使用了已生锈的砝码
C 用量筒取水时，仰视读数
D 将水倒入烧杯时，一部分洒在外面
【例2】下列有关硬水与软水的说法不正确的是（）。
A.加入离子沉淀剂有助于使硬水变成软水
B.用热水器加热软水几乎不会产生水垢
C.生活中可以用肥皂水鉴别软水与硬水
D.过滤时使用活性炭可以使硬水变成软水
【例3】关于水的净化方法和原理，下列说法不准确的是（）。
A.静置沉淀可帮助去除水中大颗粒不溶性物质
B.消毒剂消毒是利用化学方法杀灭水中的细菌
C.蒸馏法可以去除水中的所有杂质
D.过滤法可以降低水的硬度从而使硬水软化
【例4】下图是A.B 两种物质的溶解度曲线，下列说法正确的是（）。
A.A 物质的溶解度大于B 物质的溶解度
B.温度越高，则A.B 两种物质的溶解度越大
C.将t1℃时A 物质的饱和溶液降温，A 物质变为不饱和溶液
D.将t2℃时B 物质的饱和溶液降温至t1℃时，没有B 物质析出
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第五节：金属
【例1】物质的用途与性质密切相关。下列说法正确的是（）。
A.铝能用作电线，是因为它的化学性质不活泼
B.液氧可用于火箭发射，是因为氧气具有可燃性
C.生石灰可作干燥剂，是因为其具有很强的吸附能力
D.汽油可以去除衣服上的油污，是因为汽油可以溶解油污
【例2】物质的用途与性质密切相关。下列说法正确的是（）。
A.木炭能作为炼钢的原料，是利用了木炭的可燃性
B.钨常用作灯丝，是因为钨在高温下化学性质稳定
C.活性炭可以去除水中杂质，是因为其具有很强的吸附能力
D.铝制品的表面可以不做防锈处理，是因为铝的金属活动性不强
【例3】我国在春秋战国时期就开始将生铁经高温煅打处理得到相当于铸钢的器具（如锋利的宝
剑），这一技术比欧洲早了近2000 年。高温煅打生铁的主要作用是（）。
A.除硫、磷杂质
B.适当降低含碳量
C.掺进合金元素
D.改善表面的结构性能
【例4】下列关于生活现象的说法，正确的是（）。
A.不锈钢容器比铁容器更持久耐用是因为所用合金材料永远不会生锈
B.氮气常用作食品防腐剂是因为其不与食品反应，无毒且容易获得
C.小苏打可使面团蓬松多孔是因为其在面团发酵过程中会汽化
D.洗洁精能除去油污是因为洗洁精与油污发生了化学反应，使油粒分解
【例5】如图所示，天平左右两端的烧杯中有等量稀盐酸，并处于平衡状态。现在天平左右两端
的烧杯中，分别加入相同质量的锌块与铜块，结果发现天平右侧缓缓下降，主要的原因是（）。
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A.相同质量的铜块与锌块大小不同
B.铜块与稀盐酸反应产生了氯化铜
C.锌块与稀盐酸反应产生了氢气
D.化学反应产生了大量水蒸气
【例6】金属材料在人类生产、生活中占据着重要地位，下列说法正确的是（）。
A.铁元素是地壳中含量最多的金属元素
B.钢的碳含量比生铁高，所以钢的性能比生铁优越
C.铝表面易生成致密氧化膜，因而有很好的抗腐蚀性
D.铜大量用于制作电线的最主要原因是价格低廉
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第六节：酸碱性
【例1】在生活中，我们可以用紫色的蝴蝶兰花溶液作为酸碱指示剂，其遇酸性溶液显红色，遇
碱性溶液则显黄色。下列说法正确的是（）。
A.在盐水中滴入蝴蝶兰花溶液，溶液呈红色
B.在纯净水中滴入蝴蝶兰花溶液，溶液呈无色
C.在苏打水中滴入蝴蝶兰花溶液，溶液呈黄色
D.在酸或碱性溶液中滴入蝴蝶兰花溶液后，变色的过程属于物理变化
【例2】下列关于各种物质用途的说法中不正确的是（）。
A.铁制容器不可用于盛放浓硫酸
B.水壶中的水垢可以用醋去除
C.苏打可以用来除去餐具油污
D.小苏打可在蒸馒头时加入
【例3】下列物质中，属于复合肥的是（）。
A.NH4H2PO4
B.CO(NH2)2
C.Ca3(PO4)2
D.K2SO4
【例4】下图是碳酸氢铵（
4
3）化肥包装袋上的部分信息，关于该化肥的说法错误的
是（）。
A.不要受潮或暴晒
B.与碱性化肥混合施用
C.储存和运输时要注意密封
D.施用后要盖土或立即灌溉
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数学运算
第一章
解题方法
第一节
代入排除法
【例1】已知赵先生的年龄是钱先生年龄的2 倍，钱先生比孙先生小7 岁，三位先生的年龄之和
是小于70 的素数，且素数的各位数字之和为13，那么，赵、钱、孙三位先生的年龄分别为：
A.30 岁，15 岁，22 岁
B.36 岁，18 岁，13 岁
C.28 岁，14 岁，25 岁
D.14 岁，7 岁，46 岁
【例2】不超过100 名的小朋友站成一列。如果从第一人开始依次按1，2，3，···，9 的顺序
循环报数，最后一名小朋友报的是7；如果按1，2，3，···，11 的顺序循环报数，最后一名小朋
友报的是9，那么一共有多少名小朋友？
A.98
B.97
C.96
D.95
【例3】一只密码箱的密码是一个三位数，满足：3 个数字之和为19，十位上的数比个位上的数
大2。若将百位上的数与个位上的数对调，得到一个新密码，且新密码数比原密码数大99，则原密码
数是
A.397
B.586
C.675
D.964
【例4】某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28 元/盒、
32 元/盒和33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例5】一菜店有大白菜和萝卜共147 筐，取出大白菜的1/5 和3 筐萝卜送给某学校，剩下的大
白菜和萝卜的筐数相等。问菜店原有大白菜和萝卜各有多少筐？
A.85、80
B.80、67
C.75、65
D.70、57
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第二节
数字特性
整除型
若A=m×n（m、n 均为整数），则A 能被m 整除，且A 能被n 整除
整除判定
方法1：
3 的倍数：数字和能被3 整除。判断：“消3 法”。如：897102
9 的倍数：数字和能被9 整除。判断：“消9 法”。如：897102
注意：9 的倍数比3 的倍数范围更小
4 的倍数：看数字末两位能否被4 整除。如：12336
8 的倍数：看数字末三位能否被8 整除。如：12016
11 的倍数：奇数项的数字和-偶数项的数字和=0/11 的倍数。如：1320
2 或5 整除看末位，4 或25 整除看末两位，8 或125 整除看末三位
方法2：
拆分（常用于7、11、13 的倍数判定）
1 个数=这个数附近且明显能被整除的数+或者-1 个小数字，观察小数字。如：357
方法3：
因式分解（常用于6、12、18、24 等的倍数判定）
把这个数因式分解成两个互质的数，同时满足能被这两个数整除。如11016
余数型
若y=ax+b（A.x 均为整数），则y−b 能被a 整除；
若y=ax﹣b（A.x 均为整数），则y+b 能被a 整除。
口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍数做周期
比例型
若
�
�= �
�（A.B 均为整数，
�
�为最简整数比）；
则A 是m 的倍数
B 是n 的倍数
A±B 是m±n 的倍数
总结：出现比例、分数、百分数、倍数、余数问题，优先考虑数字特性
【例1】万圣节即将到来，哥哥给艾丽一些钱让她去商店买节日小装饰品，艾丽来到商店，南瓜
灯18 元一个，小怪兽14 元一个，如果单买南瓜灯钱正好用完，如果单买小怪兽钱也正好用完，那么，
哥哥给艾丽的钱数为：
A.266 元
B.342 元
C.459 元
D.504 元
【例2】企业某次培训的员工中有369 名来自A 部门，412 名来自B 部门。现分批对所有人进行
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培训，要求每批人数相同且批次尽可能少。如果有且仅有一批培训对象同时包含来自A 和B 部门的员
工，那么该批中有多少人来自B 部门？
A.14
B.32
C.57
D.65
【例3】高校某专业70 多名毕业生中，有96%在毕业后去西部省区支援国家建设。其中去偏远中
小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的20%，比任职大学生村官的毕业生少2 人，比在西部地区参
军入伍的毕业生多1 人，其余的毕业生选择去国有企业西部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗
位工作的毕业生有多少人？
A.32
B.29
C.26
D.23
【例4】两个派出所某月内共受理案件160 起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，
乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？（）
A.48
B.60
C.72
D.96
【例5】一次考试中，所有考生平均成绩为75 分，其中男考生人数比女考生多80%，而女考生平
均成绩比男考生高20%，则女考生平均成绩为（）分。
A.83
B.84
C.85
D.86
第三节
方程法
一．普通方程
步骤：设未知数、列方程、解方程
设未知数技巧：
①求谁设谁
②设小不设大
③设中间量
④出现比例设份数
二．不定方程
不定方程的特点：未知数的个数大于方程的个数
解不定方程：带入法+尾数法/倍数关系/奇偶性/
适用的题型特点：
1.尾数法：未知数的系数为5/10 的倍数
2.倍数关系：等式两边出现相同的因子
3.奇偶性：未知数的系数奇偶性不相同
三．不定方程组
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题型特征：三个未知数两个方程
解题方法：消元法、赋0 法
【例1】在一次知识竞赛中，甲、乙两单位平均分为85 分，甲单位得分比乙单位高10 分，则乙
单位得分为（）分。
A.88
B.85
C.80
D.90
【例2】某办公室有大、中、小三种型号的文件袋共200 个，已知大号文件袋数量是中号文件袋
的2 倍，小号文件袋的数量为50 个，那么大号文件袋有（）个。
A.50
B.60
C.80
D.100
【例3】某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为4：3，赛后有91 人入
选，其中男女之比为8：5。已知落选选手中男女之比为3：4，则报名选手共有：
A.98
B.105
C.119
D.126
【例4】某儿童艺术培训中心有5 名钢琴教师和6 名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和
拉丁舞学员共76 人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是
质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4 名钢琴教师和3 名拉丁舞教师，但每名教师所带
的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？（）
A.36
B.37
C.39
D.41
【例5】某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9 分，
二等奖得5 分，三等奖得2 分。甲队共有10 位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61 分，问该
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队最多有几位选手获得一等奖？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例6】小刚买了3 支钢笔，1 个笔记本，2 瓶墨水花去35 元钱，小强在同一家店买同样的5 支
钢笔，1 个笔记本，3 瓶墨水花去52 元钱，则买1 支钢笔，1 个笔记本，1 瓶墨水共需（）元。
A.9
B.12
C.15
D.18
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第二章
等差数列
【例1】三个自然数成等差数列，公差为20，其和为4095。这三个数中最大的是：
A.1345
B.1365
C.1385
D.1405
【例2】某金融机构向9 家“专精特新”企业共发放了4500 万元贷款，若这9 家企业获得的贷款
额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3 的企业获得420 万元贷款，排第8 的企业获得的贷
款额为：
A.620 万元
B.660 万元
C.720 万元
D.760 万元
【例3】工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7 天，从第二天开始每一天都比前一天
多生产200 件。已知工厂第三周的产量是第一周的2 倍，问第几天其日产量第一次达到1 万件？
A.37
B.38
C.39
D.40
【例4】某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9 个团体新创节
目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体的新创节目总数是70。
那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是：
A.72
B.76
C.78
D.80
【例5】某公司2017 年每个月的销售额都比上个月高x 万元。其9 月的销售额是1 月的2 倍，11
月的销售额为900 万元。问该公司2017 年全年的销售额是多少万元?
A.7200
B.7650
C.8100
D.8550
基本概念
首项a_1、末项a_n、项数n、公差D.前n 项和s_n
公式
（1）通项公式：a_n=a_1+(
−1)d，d 表示等差数列的公差
（2）性质：a_n=a_m+(
−
)d
a_n−a_m=(
−
)
（3）求和公式：s_n=((a_1+a_n)n)/2=a_中×
=平均数×
注：当等差数列的项数为奇数时，数列的和等于中间项乘以项数；当项数为偶数时，数列的
和等于中间两项和乘以项数的一半
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74
第三章
工程问题
【例1】现有一批零件，甲师傅单独加工需要4 小时，乙师傅单独加工需要6 小时。两人一起加
工这批零件的50%需要多少个小时？
A.0.6
B.1
C.1.2
D.1.5
【例2】修一条公路，假定每人每天的工作效率相同，计划180 名工人1 年完成，工作4 个月后，
因特殊情况，要求提前2 个月完成任务，需要增加工人多少名？
A.50
B.65
C.70
D.60
【例3】某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A 和B 两条生产线，A 和B
的工作效率之比为2：3，计划8 天可完成订单生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生产线C，
A 和C 的工作效率之比为2：1，问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例4】一条隧道，甲单独挖要20 天完成，乙单独挖要10 天完成。如果甲先挖1 天，然后乙接
替甲挖1 天，再由甲接替乙挖1 天······，两人如此交替工作，那么，挖完这条隧道共用多少
天：
A.14
B.16
C.15
D.13
【例5】办公室需要复印一批文件，使用甲复印机单独印需要20 分钟，使用甲乙两台复印机一起
印需要12 分钟，已知甲复印机每分钟比乙复印机多印6 份文件，则这批文件一共有（）份。
A.216
B.240
C.360
D.600
核心公式：
总工=效率×时间
常用方法：
赋值法
1.先总工后效率
当题干给出若干完成总工的时间：
先设总工为时间的最小公倍数，再用总工÷时间得到各自效率
2.先效率后总工
①出现若干相同元素（人、机器、动物），默认单位效率为1，则数量可代替效率
②效率比可直接当做效率使用（按比例给效率赋值）
3.交替合作
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75
第四章
经济利润问题
【例1】某商场为了提高销量，以七五折销售笔记本电脑，打折后销售3600 元。则该笔记本原价
为每台（）元。
A.4200
B.4500
C.4800
D.5100
【例2】某商场柜台销售一款时装，若将进价的20%作为利润，则销售价为240 元。若该款时装
销售价为300 元时，此时利润率是：
A.40%
B.45%
C.50%
D.35%
【例3】超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低20%，若花生油利润定为进价的
24%，玉米油利润定为进价的30%，则花生油比玉米油每桶售价高10 元。问玉米油每桶比花生油进价
低多少元？
A.10
B.15
C.24
D.25
【例4】假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：1）稿费不超过800 元不纳税；（2）超过800
元但不超过4000 元的部分纳税10%；（3）超过4000 元的部分纳税15%。已知张教授出版一部著作，
纳税620 元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A.9000
B.8000
C.7000
D.6000
【例5】劳务费计税方式为总额不高于4000 元时，应纳税额=（总额-800）×20%；高于4000 元
时，应纳税额=（总额-总额×20%）×20%。某单位甲、乙两部门在同一月份要为某专家发放劳务费，
金额均不超过4000 元，如果两笔劳务费分别计税，应纳税额之和为780 元，但按照规定，两笔劳务
费应合并计税，则该专家实际应纳税额为
A.780 元
B.815 元
一．常规利润问题
1.利润＝售价－成本；
2.利润率＝利润÷成本＝(售价－成本)÷成本＝售价÷成本－1
3.总利润＝单件利润×销售量；
5.定价＝成本×(1＋期望的利润率)
6.“几折”:即现价为原价的百分之几十。
二．分段计费
三．函数最值
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76
C.880 元
D.940 元
【例6】某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件。已知销售单价每降
低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是
A.5 元
B.6 元
C.7 元
D.8 元
【例7】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70 元，为了合理定价，投放市场进行试销。据
市场调查，销售单价是120 元时，每天的销售量是100 件，而销售单价每降价1 元，每天就可多售出
5 件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？
A.100 元
B.102 元
C.105 元
D.108 元
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77
第五章
容斥原理
【例1】某班有38 名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26 人，答对第二题的有
24 人，两题都答对的有17 人，则两题都答错的人数是：
A.3
B.5
C.6
D.7
【例2】某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139 人，有
42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名
的有12 人，只报名参加两场讲座的有30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？（）
A.12
B.14
C.24
D.28
【例3】某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的有126 人，订阅C
期刊的有135 人，订阅A.B 期刊的有57 人，订阅A.C 期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31 人，此
外，还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B.C 期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78
【例4】某工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17 人，参加钳工培训的有16 人，参
加铸工培训的有14 人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2
人，问总共有多少人参加了培训（）
A.24
B.27
C.30
D.33
【例5】联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的
有12 人，既吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三样都吃的则有6 人。假
设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A.12
B.18
C.24
D.32
1.两条件标准公式
A+B-都=总数-都不
2.三条件标准公式
A+B+C-只满足两者-都×2=总数-都不
A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+都=总数-都不
A+B+C-两者及以上-都=总数-都不
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78
第六章
最值问题
【例1】某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花三种花卉各20 盆，每盆
均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由工人搬运至布展区。问至少要搬出多少盆花卉才能保证搬
出的鲜花中一定有郁金香？
A.20 盆
B.21 盆
C.40 盆
D.41 盆
【例2】有编号为1—13 的卡片，每个编号有4 张，共52 张卡片。问至少摸出多少张，就可保证
一定有3 张卡片编号相连？（
）
A.27 张
B.29 张
C.33 张
D.37 张
【例3】某大型跨国连锁零售企业在世界8 个城市共有76 家超市，每个城市的超市数量都不相
同。如果超市数量排名第四的城市有10 家超市，那么超市数量排名最后的城市最多有几家超市？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例4】企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生，从其中任意2 所大学招聘的应届生
数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数量最少且正好为B 大学的一半。从B 大学招聘的应届生
数量为6 所大学中最多的。则该企业今年从A 大学至少招聘了多少名应届生？
A.48
B.47
C.46
D.45
【例5】某连锁企业在10 个城市共有100 家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店
数量排名第5 多的城市有12 家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？（）
A.2
B.3
C.4
D.5
一．最不利原则
题型特征：至少……保证、无论如何至少
方法：最不利的情况数+1
二．构造数列
题型特征：
①几个量的和为定值
②几个量为互不相同的整数（若无此要求，可以为相同的整数）
③求某个量的最大值或最小值
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79
第七章
几何问题
♣几何公式
♣平面几何
（1）周长类
正方形周长=4a
长方形周长=2(a+b)
圆形周长=2πr
弧长= n°
360° 2πr
（2）面积类
正方形面积=a2
长方形面积=ab
平行四边形面积=底×高
三角形面积=
1
2底×高
圆形面积=πr2
扇形面积= n°
360°πr2
梯形面积=
1
2(a+b)×h
菱形面积=
1
2对角线乘积
♣立体几何
（1）表面积类
正方体表面积=6a2
长方体表面积=2(ab+bc+ac)
圆柱体表面积=2πr2+2πrh
球体表面积=4πr2
（2）体积类
正方体体积=a3
长方体体积=abc
柱体体积=Sh
锥体体积=
1
3Sh
球体体积=
4
3πr3
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80
【例1】假设地球是一个正球形，它的赤道长4 万千米。现在用一根比赤道长10 米的绳子围绕赤
道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高?
A.1.6 毫米
B.1.6 米
C.3.2 毫米
D.3.2 米
【例2】农户张某今年年初将一块长方形农田扩建为正方形农田，使得正方形边长与长方形的长
相同，今年的农作物产量是去年的1.5 倍。已知今年农作物亩产量比去年高20%，则原来长方形农田
的长是宽的多少倍？
A.1.2
B.1.25
C.1.5
D.1.6
【例3】某工厂加工出一批正方体奶酪,抽检时质检员从奶酪中切下了一个厚度为2 厘米的长方
体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144 立方厘米，则奶酪原本的边长为（）厘米。
A.4
B.6
C.8
D.10
【例4】A.D 两地设有通信基站（如下图所示），发射信号范围分别是以A.D 为圆心，AE 和DB 为
半径的圆形区域，小林从B 地出发，沿与DB 垂直的BA 方向匀速行进，步行速度为4 千米/小时，那
么步行约多少分钟后小林的手机能够重新接收到信号？（5 ≈2.23）
A.8
B.10
C.12
D.14
【例5】一条东西向的河流宽50 米，如下图所示。甲划船从北岸的A 点出发，直线航行130 米后
到达南岸的B 点，然后向左转向90 度继续直线行驶，到达河流北岸的C 点。问A.C 两点的距离在以
下哪个范围内？（）
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81
A.不到150 米
B.150～160 米之间
C.160～170 米之间
D.超过170 米
【例6】甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到乙位于它的北偏西30°方向，甲、
乙相距6 千米；甲观测到丙位于它的正西方向，甲、丙相距6 千米，则乙与丙之间的距离为（）千米。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例7】部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北30°，100 千米处，
一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千米处的部队立即向正北方向发射
无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机
的多少倍？
A.
2
3
5
B.
4
3
3
C. 3+1
D.3( 3−1)
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82
第八章
排列组合
【例1】小李今天上午有A.B.C.d 这四项工作要完成，下午有e、f、g 这三项工作要完成，每半
天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有（）种完成工作的顺序。
A.30
B.60
C.72
D.144
【例2】某单位随机安排张、王、刘、李、陈5 名职工去甲、乙、丙三个地方开展调研。要求甲、
乙两地各去2 人，且张、王两人不能同组，刘、陈二人必须同组，则共有多少种不同的安排方式？
A.4
B.6
C.12
D.24
【例3】某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5 个主题，每个主题有2 位发
言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？
A.120
B.240
C.1200
D.3840
【例4】两公司为召开联欢晚会，分别编排了3 个和2 个节目，要求同一公司的节目不能连续出
场，则安排节目出场顺序的方案共有：
A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.30 种
【例5】某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类
课程各至少选一门，则选法有：
A.18 种
B.22 种
C.26 种
D.34 种
【例6】有8 人要在某学术报告会上作报告，其中张和李希望被安排在前三个作报告，王希望最
后一个作报告，赵不希望在前三个作报告，其余4 人没有要求。如果安排作报告顺序时要满足所有人
一．基本概念
分类/分步计数原理
分类用加法：要么……要么……；任选其一即可
分步用乘法：先……再……；每一步都不能少
排列：有顺序。交换所选元素位置，结果改变。A
组合：无顺序。交换所选元素位置，结果不变。C
二．方法
1.枚举法
2.捆绑插空
3.间接法
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83
的要求，则共有多少种可能的报告序列?
A.441
B.484
C.529
D.576
4.隔板法
n 个相同的元素分给m 个不同的主体，
每人至少1 个，共有Cn−1
m−1种；
每人至少不止1 个，通过提前分配，构造为“至少一个”；
【例1】某单位订阅了30 份学习材料发放给3 个部门，每个部门至少发放9 份材料。问一共有多
少种不同的发放方法？（）
A.7
B.9
C.10
D.12
【例2】某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有一名交通协管员，现将8 个协
管员名额分配到这四个路口，则每个路日协管员名额的分配方案有:
A.35 种
B.70 种
C.96 种
D.114 种
5.错位排列
元素个数12345
错位种数012944
部分错位：先用C 几几选出错的，再乘以错位种数。
【例1】四位厨师聚餐时各做一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那
道菜。问共有几种不同的尝法？（）
A.6 种
B.9 种
C.12 种
D.15 种
【例2】某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前4 名，已知有一名同学两次排名都一
样，则这四个人期末排名有几种可能？（）
A.4
B.6
C.8
D.10
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84
第九章
概率问题
【例1】小明有2 盆兰花和3 盆杜鹃，小明打算随机拿出2 盆送给小红，则至少有1 盆兰花的概
率是：
A.1/10
B.7/10
C.5/10
D.3/10
【例2】某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周，其中，小张与小李是同桌，
他俩坐在一起的概率为：
A.2/97
B.2/98
C.2/99
D.2/100
【例3】甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率均为0.6，
本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，且比赛到此结束。如果各局比赛相互间没有影响，
现已知前两局双方战成平手，则甲队获得这场比赛胜利的概率为：
A.9/25
B.63/125
C.81/125
D.101/125
【例4】小王开车上班需经过4 个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1、0.2、
0.25、0.4，则他上班经过4 个路口至少有一处遇到绿灯的概率是？（）
A.0.899
B.0.988
C.0.989
D.0.998
【例5】10 张卡片上分别写着从1 到10 的自然数，小王和小张分别从中抽出两张卡，并计算其
中较大数字除以较小数字的结果。小王先抽，他抽到的卡片是3 和9，小张在剩下的卡片中抽取，计
算出的结果比小王计算的结果大的概率（
）。
A.小于20%
B.在20%到30%之间
C.在30%到40%之间
D.大于40%
1.给情况求概率
概率= 满足条件的情况数
全部的情况数
2.给概率求概率
（1）、给概率求概率
（1）分类用加法：分类概率=P1 + P2 + P3 + ……
（2）分步用乘法：分步概率=P1 × P2 × P3 × ……
（2）、正难反易
P（满足条件）=1－P（不满足条件）
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【例6】某单位的一个科室从10 名职工中随机挑选2 人去听报告，要求女职工人数不得少于1
人。已知该科室女职工比男职工多2 人，小张和小刘都是该科室的女性职工，则她们同时被选上的概
率在以下哪个范围内？
A.3%到5%之间
B.小于2%
C.2%到3%之间
D.大于5%
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86
第十章
行程问题
【例1】小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。某天早
上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1 个小
时，假设小明当天平路骑行速度为9 千米/小时，上坡速度为6 千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，
那么小明的家距离学校多远？
A.3.5 千米
B.4.5 千米
C.5.5 千米
D.6.5 千米
【例2】小伟从家到学校去上学，先上坡后下坡。到学校后，小伟发现没带物理课本，他立即回
家拿书（假设在学校耽误时间忽略不计），往返共用时36 分钟。假设小伟上坡速度为80 米/分钟，
下坡速度为100 米/分钟，小伟家到学校有多远（）
A.2400 米
B.1720 米
C.1600 米
D.1200 米
【例3】某隧道长1500 米，有一列长150 米的火车通过这条隧道，从车头进入隧道到完全通过隧
道花费的时间为50 秒，整列火车完全在隧道中的时间是：
A.43.2 秒
B.40.9 秒
C.38.3 秒
D.37.5 秒
3.相遇追及基础公式
相遇：相向而行，两者共同走完S。公式：(��+��) × �= �
多次相遇：第N 次相遇，两者走的总路程=（2N-1）×单程
追及：同向而行，快者比慢者多走S。公式：(��−��) × �= �
【例1】一只猎豹锁定了距离自己200 米远的一只羚羊，以108 千米/小时的速度发起进攻，2 秒
钟后，羚羊意识到危险，以72 千米/小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程：
A.520 米
B.360 米
核心公式：路程=速度×时间S=V×T
1.平均速度
S 一定，平均速度=
2v1v2
v1+v2
T 一定，平均速度=
v1+v2
2
结论：路程一定，等时间的平均速度比等距离的平均速度快（��≠��）。
2.火车过桥
火车完全通过桥身：行驶的路程=桥长+车长
整列火车完全在桥上：行驶的路程=桥长-车长
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87
C.280 米
D.240 米
【例2】某高校两校区相距2760 米，甲，乙两同学从各自校区同时出发到对方校区，甲的速度为
70 米每分钟，乙的速度为110 米每分钟，在路上二人第一次相遇后继续行进，到达对方校区后马上回
返，那么两人从出发到第二次相遇需要多少分钟？
A.32
B.46
C.61
D.64
【例3】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40 米，走80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60
米，姐姐带的小狗每分钟跑150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来
跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米？（）
A.600
B.800
C.1200
D.1600
【例1】一辆汽车往返共用13.5 小时，去时用的时间是回来时用的时间的1.25 倍，去的速度比
返回时的速度每小时慢6 千米。A.B 两地之间距离为多少？
A.150
B.160
C.170
D.180
【例2】小赵骑车去医院看病，父亲在发现小赵忘带医保卡时，以60 千米/小时的速度开车追上
小赵，把医保卡交给他并立即返回。小赵拿到医保卡后又骑了10 分钟到达医院，小赵父亲也同时到
家。假如小赵从家到医院共用时50 分钟，则小赵的速度为多少千米/小时？（假定小赵及其父亲全程
都匀速行驶，忽略父子二人交接卡的时间）
A.10
B.12
C.15
D.20
【例3】小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20％，可以比原定时间提前15 分钟到达；
如果按原速度行驶30 千米后再将车速提高到25％，也比原定时间提前15 分钟到达。问小王单位距离
省城多少千米？
A.60
B.120
C.180
D.240
4.比例行程
路程一定，速度和时间成反比
时间一定，速度和路程成正比
速度一定，时间和路程成正比
5.环形跑道（从同一点出发，一圈的路程为S）
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【例1】甲乙两人分别以不同速度在周长为500 米的环形跑道上跑步，甲的速度是180 米/分钟。
若两人从同一地点同时出发，反向跑步，75 秒时第一次相遇；若两人保持各自的速度从同一地点同时
出发同向而行，那么乙第一次追上甲时跑的圈数是多少圈？
A.5
B.5.5
C.6
D.6.5
【例2】甲、乙两人从400 米的环形跑道的一点A 背向同时出发，8 分钟后两人第三次相遇。已
知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1 米，那么，两人第三次相遇的地点与A 点沿跑道上的最短距离是多少？
（）
A.166 米
B.176 米
C.224 米
D.234 米
【例3】甲、乙、丙、丁四人同时间地出发，绕一椭圆环形湖栈道行走，甲顺时针行走，其余三
人逆时针行走，已知乙的行走速度为60 米/分钟,丙的速度为48 米/分钟,甲在出发6、7、8 分钟时分
别与乙、丙、丁三人相遇，求丁的行走速度是对少？
A.31 米/分钟
B.36 米/分钟
C.39 米/分钟
D.42 米/分钟
【例1】一艘船往返于甲乙两港口之间，已知水速为8 千米/时，该船从甲到乙需6 小时，从乙返
回甲需9 小时，问甲乙两港口的距离为多少千米：
A.216
B.256
C.288
D.196
【例2】一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到甲地需要8 天。若不
考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24
B.36
C.48
D.56
【例1】某牧场长满牧草，牧草每天均匀生长，牧场可供100 头牛吃20 天，可供150 头牛吃10
相遇：反向，相遇n 次两者共同走完n 圈。公式：(v1+v2) × t = nS
追及：同向，快者超过/追上慢者n 次，就比他多走n 圈。公式：(v1−v2) × t = nS
6.流水行船
v顺=v船+v水v逆=v船−v水
v船=
v顺+ v逆
2
v水=
v顺−v逆
2
7.牛吃草问题
出题标志：排比句：N 头牛X 天,M 头牛Y 天，问多少头牛Z 天?/P 头牛吃多少天？
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天，则这片牧场可供250 头牛吃（）天。
A.5
B.6
C.7
D.8
【例2】假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采110
万立方米，则可开采90 年，若每年开采90 万立方米则可开采210 年。为了使这片森林可持续开发，
则每年最多开采多少万立方米？（）
A.30
B.50
C.60
D.75
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资料分析
第一章
速算技巧
第一节
截位直除
适用题型：除法
截谁
一步除法：建议只截分母
多步除法：建议分子分母都截位
截几位
截两位：选项差距大
①四个选项首位数字不同
②四个选项首位数字有的相同，第二位不同，第二位差值＞首位
截三位：选项差距小
四个选项首位数字有的相同，第二位不同，第二位差值≤首位
【例1】
45.38
1+26.35% ≈
A、21
B、36
C、57
D、110
【例2】
2290
9775 ≈
A、13%
B、18%
C、23%
D、28%
【例3】
59260.61
1+7.9% ≈
A、52973.28
B、54921.79
C、56938.68
D、63942.19
【例4】
857+364+309
2667
≈
A、41%
B、46%
C、57%
D、59%
【例5】
266879.47
1+9.15% ÷
5645.38
1+4.11% ≈
A、35
B、45
C、55
D、65
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第二节
尾数法
适用题目；
（1）多个数相加
（2）需要精确计算
（3）选项尾数不同
【例1】245+371+592+924+696=？
A、2826
B、2827
C、2828
D、2829
【例2】39.7+68.1+29.6+41.21+35.8=？
A、214.41
B、235.43
C、226.47
D、217.16
【例3】6524-713-592-429-336=？
A、4457
B、4456
C、4454
D、4455
【例4】3891-547-391-995-632=？
A、1346
B、1436
C、1326
D、1366
【例5】37.15+79.26+24.5+35.62+19.83=？
A、194.36
B、195.35
C、196.01
D、192.34
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第三节
分数比较
适用题型：分数比较
一大一小：分子大的分数大
同大同小：
纵向直接除
横向看倍数
找参考值
差分法
【注】分数比较小结：
1.一大一小，直接看，分子大的分数大。
2.同大同小，看倍数
（1）竖着倍数关系明显，直除
（2）横着倍数关系明显，小的分数看成1
3.多个分数比较，先观察再比较；秒范围（直除看首位）
4.找参考值适合题型：分式在特殊分数左右两侧关系
5.适合题型：分子分母同大
第一步：分子大的-分子小的；
第二步：分母大的-分母小的；
第三步：得到新的分数——差分数：用差分数代替大分数与小分数
【例1】比较大小：
19.6
243.5
22.7
169.3
【例2】比较大小：
4988
10298.4
7161
14169.9
【例3】比较大小：
3517
1408
616
422
【例4】以下四个分数中，最小的是：
A、
38.7
199.2
B、
13
37.8
C、
13.4
44.2
D、
20.9
48.5
【例5】以下四个分数中，最大的是：
A、
3098
19.09
B、
62100
151.6
C、
11810
23.06
D、
2589
6.81
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第二章
材料阅读
第一节
材料阅读
材料类型：文字材料、表格材料、图形材料、混合材料
阅读重点
文字材料：时间、主体、单位
表格材料：标题、横标目、纵标目、单位、注释
图形材料：标题、图例、单位
混合材料：各种材料类型之间的关系、结构
【例1】文字材料
2017 年，A 省完成邮电业务总量6065.71 亿元。其中，电信业务总量3575.86 亿元，同比增长75.8%；
邮政业务总量2489.85 亿元，增长32.0%。
2017 年，A 省移动电话期末用户1.48 亿户，比上年末增长3.1%。其中，4G 期末用户达1.18 亿户，
比上年末增长29.3%。互联网宽带接入期末用户3128 万户，比上年末增长9.9%。移动互联网期末用
户1.31 亿户，比上年末增长13.9%，移动互联网接入流量同比增长158.8%。
2017 年，全省全年完成快递业务量100.51 亿件，同比增长31.0%。其中，同城快递业务量增长29.3%，
异地快递业务量增长33.0%，国际和港澳台地区快递业务量增长33.1%。
2017 年，A 省完成客运总量148339 万人次，同比增长5.4%，增幅比前三季度提高0.2 个百分点，比
上年提高0.5 个百分点；完成旅客周转总量4143.84 亿人公里，增长7.7%，增幅比前三季度提高0.7
个百分点，比上年提高1.8 个百分点。
2017 年，A 省完成高铁客运量17872 万人次，旅客周转量474.64 亿人公里，同比分别增长20.3%和
18.1%。高铁客运量和旅客周转量分别占铁路旅客运输总量的62.7%和54.3%，比重比上年分别提高4.3
个和3.9 个百分点。
【例2】表格材料
2016 年某市本级财政预算收入及增收状况
收入项目
收入金额（亿元）
预算完成率（%）
同比增收（亿元）
财政预算总收入
109.16
99.2
30.15
其中：一般预算收入
26.26
102.2
7.13
上划中央收入
47.57
100.8
16.02
基金收入
35.33
95.1
？
注：预算完成率=收入金额÷预算收入金额
【例3】柱状图
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【例4】饼状图
【例5】混合材料
2021 年1-7 月，我国原油产量11561 万吨，同比增长2.4%，比2019 年同期增长3.9%。其中，7 月我
国原油产量1686 万吨，增长2.5%，比2019 年同期增长3.1%。1-7 月我国进口原油30193 万吨，下降
5.6%。其中，7 月进口原油4124 万吨，下降19.6%。
2020 年7 月~2021 年6 月我国原油日均产量变动情况
2020 年
日均产量
（万吨）
同比增长
（%）
2021 年
日均产量
（万吨）
同比增长
（%）
7 月
53.1
0.6
1~2 月
54.4
0.4
8 月
53.7
2.3
3 月
55.1
3.3
9 月
53.7
2.4
4 月
54.7
3.4
10 月
52.9
1.4
5 月
54.9
3.5
11 月
53.2
1.2
6 月
55.6
2.8
12 月
52.5
0.9
—
—
—
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第二节
补充术语
基期与现期
基期：作为对比参照的时期叫做基期，基期对应的量叫做基期量
现期：和基期相对的叫做现期，现期对应的量叫做现期量
增长量与增长率
增长量：现期量与基期量变化的绝对量
增长率：现期量与基期量变化的相对量
同比与环比
同比：与上年同一时期相比
环比：与紧紧相邻的上一统计周期相比
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97
第三章
基期现期问题
一、理论透析
2021 年，全国纺织品服装出口3155 亿美元，同比增长8.4%。其中，纺织品出口1452.2 亿美元，同
比下降5.6%，较2019 年增长22.0%；服装出口1702.8 亿美元，同比增长24.0%，较2019 年增长16.0%。
其中，针织服装及衣着附件出口864.8 亿美元，同比增长39.0%；梭织服装及衣着附件出口701.2 亿
美元，同比增长12.6%。
2021 年，中国对美国、东盟、欧盟和日本的纺织品服装出口合计1724.9 亿美元。其中，对美国出口
额为563.5 亿美元，同比增长4.0%；向东盟十国出口纺织品服装491.2 亿美元，同比增长24.9%；对
欧盟27 国出口纺织品服装469.9 亿美元，同比下降11.1%；对日本出口纺织品服装200.3 亿美元，同
比下降7.2%。
2021 年，中国向全球出口纺织纱线138 亿美元，出口织物667 亿美元，分别同比增长41.5%和34.3%。
纺织制品当中，防疫类口罩出口额为129.5 亿美元，出口金额、数量同比分别下降76.0%和13.0%。
除防疫类口罩外，其他纺织制品出口额为517.2 亿美元，同比增长27.5%。
2021 年，中国向“一带一路”沿线国家出口纺织品服装1137.9 亿美元，同比增长24.5%，较2019 年
增长17.3%；同时，中国自“一带一路”沿线国家进口纺织品服装131.6 亿美元，同比增长24.5%。
一、按数据呈现形式
量
率
二、按研究内容划分
基期值
现期值
增长量
增长率
三、同比/环比
同比
环比
示例：
时间
同比是与什么时期比较
环比是与什么时期比较
2020 年
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98
2020 年5 月
2020 年第二季度
2021 年1 月
2021 年第一季度
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99
二、知识精讲
第一节基期量
【知识点一】基期量计算
【基础知识】
题型判定：计算过去的具体值
基本公式：
①基期量=现期量－增长量
②基期量=
现期值
�+增长率
③基期量=
增长量
增长率
计算方法：
①截位直除
②公式法：
现期值
�±增长率≈现期值×（1∓增长率）
【例题精选】
【例1】
2016 年全国供用水总量为6040.2 亿立方米，较上年减少63.0 亿立方米。其中，地表水源供水量4912.4
亿立方米，占供水总量的81.3%；地下水源供水量1057.0 亿立方米，占供水总量的17.5%；其他水源
供水量70.8 亿立方米，占供水总量的1.2%。与2015 年相比，地表水源供水量减少57.1 亿立方米，
地下水源供水量减少12.2 亿立方米，其他水源供水量增加6.3 亿立方米。
2015 年全国供用水总量为：（）
A、6040.2 亿立方米
B、6103.2 亿立方米
C、5977.2 亿立方米
D、1057.2 亿立方米
【例2】
据对全国6.4 万家规模以上文化及相关产业企业调查，2021 年前三季度，上述企业实现营业收入84205
亿元，同比增长21.8%；两年平均增长10.0%。
2020 年前三季度规模以上文化及相关产业企业实现营业收入为（）万亿元。
A、6.3
B、6.9
C、7.6
D、7.9
【例3】
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100
2019 年，H 省秋粮稻谷的平均生产成本约为多少元/亩？
A、439
B、450
C、533
D、548
【例4】
2016 年，黄河、长江流域棉区延续2015 年减产较多的趋势。其中，黄河流域棉花播种面积减少147.8
千公顷，下降约14.3%；单产每公顷增加63.3 公斤，提高约6.0%；产量减少10.0 万吨，下降约9.2%。
长江流域棉花播种面积减少160.7 千公顷，下降约19.8%；单产每公顷减少68.3 公斤，下降约5.9%；
产量减少23.0 万吨，下降约24.6%。
2015 年，黄河流域的棉花单产为：
A、1118 公斤/公顷
B、1092 公斤/公顷
C、1055 公斤/公顷
D、1003 公斤/公顷
【知识点二】基期和差
【基础知识】
题型判定：计算过去的具体值之间的和或差
基本公式：
�
�+ �±
�
�+ �
计算方法：
①以坑治坑
先计算现期坑，排除（做题经验）
再看大小关系，选择
②治不了，用截位直除
【例5】
据统计，2012 年1—10 月我国农产品进出口总额1414.48 亿美元，较上年同期增长16.27%。其中，
出口500.52 亿美元，增长4.49%，进口913.96 亿美元，增长23.92%。
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101
2011 年1—10 月我国农产品约实现：
A、贸易逆差413 亿美元
B、贸易逆差259 亿美元
C、贸易顺差413 亿美元
D、贸易顺差259 亿美元
【例6】
2019 年6 月，全国发行地方政府债券8996 亿元，同比增长68.37%，环比增长195.63%。其中，发行
一般债券3178 亿元，同比减少28.33%，环比增长117.08%。
2019 年1 至6 月，全国发行地方政府债券28372 亿元，同比增长101.09%。其中，发行一般债券12858
亿元，同比增长23.21%，发行专项债券15514 亿元，同比增长322.38%；按用途划分，发行新增债券
21765 亿元，同比增长553.80%，发行置换债券和再融资债券6607 亿元，同比减少38.71%。
2018 年1 至5 月，全国发行地方政府债券约：
A、23029 亿元
B、19376 亿元
C、14109 亿元
D、8766 亿元
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102
第二节现期量
【知识点一】现期量计算
【基础知识】
题型判定：计算未来的具体值
基本公式：
①现期量=基期量+增长量
②现期量=基期量×（1+增长率）
【例题精选】
【例1】
2020 年粮食产量57584 万吨，比上年增加3547 万吨，增产6.5%。
2021 年粮食增长量与2020 年相同，则2021 年粮食产量约为多少亿吨？（)
A、6.1
B、6.2
C、6.5
D、5.7
【例2】
截至2018 年底，中国人工智能市场规模约为238.2 亿元，同比增长率达到56.6%。从中国人工智能企
业地域分布情况来看，北京企业数量最多，企业数量为368 家；其次为广东，人工智能企业数量为185
家；排名第三的是上海，数量为131 家。
若按照2018 年同比增长率，到2019 年底中国人工智能市场规模约为：
A、363 亿元
B、371 亿元
C、373 亿元
D、383 亿元
【知识点二】现期追赶
【基础知识】
题型判定：计算未来的具体值
基本公式：
保持上年的增长量，n 年后的现期量
现期量=基期量+n×增长量
保持上年的增长速度（趋势），n 年后的现期量
现期量=基期量×（1+r）
n
【例3】
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103
如从2016 年开始，社会消费品零售总额年增量保持不变，社会消费品零售总额首次超过40 万亿元的
年份是：
A、2017 年
B、2018 年
C、2019 年
D、2020 年
【例4】
2017 年，我国文化产品和服务进出口总额1265.1 亿美元，同比增长11.1%。其中，文化产品进出口
总额971.2 亿美元，同比增长10.2%。文化服务进出口总额293.9 亿美元，同比增长14.4%。
若保持2017 年同比增速不变，我国文化产业和服务进出口总额将在哪年突破1500 亿美元？
A、2018 年
B、2019 年
C、2020 年
D、2021 年
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104
第四章
增长率增长量
第一节增长率
【知识点一】增长率计算
【基础知识】
（一）增长率计算
题型判定：增加了/降低了+%/几倍
基本公式：
①增长率=
增长量
基期量
②增长率=
现期量−基期量
基期量
③增长率=
现期量
基期量-1
④增长率=
增长量
现期量−增长量
计算方法：
①给百分点：多减少加；降幅扩大用加法，降幅收窄用减法
②给现期量、基期量：截位直除
【例题精选】
【例1】
2021 年H 省商品、服务类电子商务交易额为11526.13 亿元，比上年同期增长21.8%，高于全国增速
2.3 个百分点。H 省跨境电商进出口交易额为2018.3 亿元，其中，出口1475.5 亿元，同比增长15.7%；
进口542.8 亿元，同比增长16.0%。H 省网上零售额为2948.2 亿元，同比增长12.5%，其中，实物商
品网上零售额为2426.4 亿元，同比增长10.1%。
2021 年，全国商品、服务类电子商务交易额同比增长了：
A、17.2%
B、19.5%
C、21.8%
D、24.1%
【例2】
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105
2021 年，全国羊肉产量同比增长率约为：
A、2.4%
B、3.4%
C、4.4%
D、5.4%
【例3】
2019 年第一季度，131 家证券公司总资产为7.05 万亿元，比上年一季度同期增加0.64 万亿元；净资
产为1.94 万亿元，比上年一季度同期增加0.05 万亿元；净资本为1.62 万亿元，比上年一季度同期
增加0.02 万亿元。
2019 年第一季度，131 家证券公司总资产的同比增速约为：
A、9.5%
B、10.0%
C、10.5%
D、11.0%
【例4】
近年来，全国基层卫生服务能力稳步提升，居民健康水平进一步提高。2020 年，我国农村乡镇卫生院
卫生人员数达148.1 万人，比上年增加3.6 万人，社区卫生人员数达52.1 万人，比上年增加3.3 万
人。
2020 年，全国农村乡镇卫生院中，卫生人员数同比增长约：
A、1.4%
B、2.5%
C、3.6%
D、4.7%
【知识点二】增长率比较
【基础知识】
题型判定：①增长/下降+最快/最慢
②增速/增幅+最大/最小
③变化幅度最大等（比较增速的绝对值）
基本公式：
①增长率=
现期量−基期量
基期量
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106
②增长率=
现期量
基期量-1
计算方法：①现期量≥2×基期量，比较
现期量
基期量
②现期量＜2×基期量，比较
增长量
基期量
【例题精选】
【例1】
2021 年1~7 月、某市累计客运量97638 万人，同比增长40.8%。其中，公共汽电车客运量37465 万
人，增长33.4%；轨道交通客运量55863 万人，增长46.7%；出租车客运量4175 万，增长36.5%；轮
渡客运量47135 万人，增长42.1%。2021 年1~6 月，出租车客运量分别为576 万人、472 万人、659
万人、666 万人、651 万人和630 万人。
2021 年1~7 月，该市客运量增速最大的客运方式是：
A、公共汽电车
B、轨道交通
C、出租车
D、轮渡
【例2】
2016—2021 年我国公共充电桩数量同比增速最大的年份是：
A、2016 年
B、2019 年
C、2020 年
D、2021 年
【例3】
8 月底，秦皇岛5500 大卡煤炭综合交易价格为573 元/吨，比7 月底下降3 元；5000 大卡煤炭价格
为510 元/吨，比7 月底下降17 元；4500 大卡煤炭价格为456 元/吨，比7 月底下降12 元。
本年度8 月底，秦皇岛煤炭综合交易价格较7 月底降幅最大的和最小的分别是：
A、5500 大卡煤炭和5000 大卡煤炭
B、5000 大卡煤炭和4500 大卡煤炭
C、4500 大卡煤炭和5500 大卡煤炭
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107
D、5000 大卡煤炭和5500 大卡煤炭
【例4】
2015-2020 年六年间，全国铝电容器出口额同比增幅超过10%的年份比同比降幅超过10%的年份：
A、多1 个
B、多2 个
C、少1 个
D、少2 个
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108
第二节增长量
【知识点一】增长量计算
【基础知识】
题型判定：增长了+具体单位（人、万元、万吨等）
基本公式：
①增长量=现期量−基期量
②增长量=基期量×增长率
③增长量=
现期值
�+增长率×增长率
计算方法：
增长量=
现期值
�=�增长量=
现期值
�−�(|r|=
�
�)
拓展：
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
50%
33.3%
25%
20%
16.7%
14.3%
12.5%
11.1%
10%
1
11
1
12
1
13
1
14
1
15
1
16
1
17
1
18
1
19
9.1%
8.3%
7.7%
7.1%
6.7%
6.25%
5.9%
5.6%
5.3%
【例题精选】
【例1】
2021 年，广东省财政科学技术支出比上年提高了（）亿元。
A、7.03
B、17.03
C、27.03
D、37.03
【例2】
2021 年，全国城市供水总量673.34 亿立方米，同比增长6.96%；城市供水管道长度105.99 万公里，
同比增长5.26%；人均日生活用水量185.03 升；供水普及率99.38%，比上年增加0.39 个百分点。天
津、河北、上海、江苏、浙江和广东6 个省（市）城市供水普及率达到100%；福建、山东、湖北、广
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109
西、安徽、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、山西、甘肃、河南、黑龙江、江西、云南和湖南16 个省（区）
超过99%（含）；西藏、青海、北京、四川、贵州和陕西6 个省（区、市）超过98%；重庆、吉林、海
南3 个省（市）和新疆建设兵团超过95%。
2021 年全国城市供水管道长度比2020 年增长约：
A、5 万公里
B、5.3 万公里
C、5.6 万公里
D、6 万公里
【例3】
2017 年，M 省固定资产投资（不含农户）31328.1 亿元，比上年增长13.1%。其中，民间投资18759.6
亿元，增长14.5%，占固定资产投资的比重为59.9%。分经济类型看，国有投资10395.0 亿元，增长
12.3%；非国有投资20933.0 亿元，增长13.6%。分投资方向看，民生投资3015.9 亿元，增长12.8%；
生态投资1402.5 亿元，增长12.5%；基础设施投资8517.4 亿元，增长15.9%；高新技术产业投资
2213.0 亿元，增长24.7%；工业技改投资6130.2 亿元，增长3.9%；战略性新兴产业投资7258.4 亿
元，增长13.5%。
2017 年M 省固定资产投资（不含农户）中，基础设施投资同比增量约为（）亿元。
A、1150
B、1168
C、1263
D、1190
【例4】
2020 年全球汽车销量为7797.1 万辆，比2019 年下降了13.8%。全球共有13 个国家汽车销量超过100
万辆，其中中国汽车销售2531.1 万辆，排名第1。
2020 年，全球汽车销量比2019 年约减少了（）万辆。
A、853
B、1076
C、1248
D、1657
【例5】
华西秋雨于8 月23 日开始，雨季长度为77 天，总雨量379.9 毫米。与正常年份相比，开始偏早8 天，
结束偏晚7 天，雨季长度偏长15 天，雨量偏多87%，为1961 年以来最多。
华西2021 年雨季降水量与正常年份雨季降水量相比增加了约：
A、153.4 毫米
B、176.7 毫米
C、203.2 毫米
D、232.5 毫米
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【知识点二】增长量比较
【基础知识】
题型判定：增长最多/最少的是……
基本公式：
增长量=现期量－基期量=基期量×增长率=
现期量
1+增长率× 增长率
计算方法：
①给出现期量和基期量：直接做差比较
②给出现期量和增长率：大大则大，否则倍数/百化分
大大则大：现期量和增长率都大的，增长量必然更大
一大一小：百化分：增长量=
现期量
n+1 ；减少量=
现期量
�－�（|r|≈
�
�）
【例题精选】
【例1】
2021 年，以下分类科目财政科学技术支出同比增加值最多的是（）。
A、基础研究
B、技术研究与开发
C、科技条件与服务
D、科技重大项目
【例2】
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1976 至2020 年期间，全球脑科学领域五年论文发表量的同比增长量最多的是：
A、1991-1995
B、2006-2010
C、2011-2015
D、2016-2020
【例3】
根据对全国规模以上文化及相关产业5.4 万家企业调查，2019 年上半年，文化及相关产业10 个行业
的营业收入均实现增长。其中，实现两位数以上增长的6 个行业分别是：以“互联网+”为主要形式
的文化信息传输服务业营业收入3397 亿元、增长32.7%，文化休闲娱乐服务业640 亿元、增长16.8%，
文化艺术服务业169 亿元、增长14.7%，文化用品的生产16626 亿元、增长13.2%，工艺美术品的生
产、文化产品生产的辅助生产分别为8503 亿元、4593 亿元，均增长10.5%。
2019 年上半年以下行业中营业收入增长最多的是（）。
A、文化信息传输服务业
B、文化美术品的生产
C、文化产品生产的辅助生产
D、文化用品的生产
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【知识点三】年均增长量
1.公式：
年均增长量=
末期值−初期值
�
2.五年计划：
初期末期
2018→2019→����→2021
【例题精选】
【例1】
2017-2021 年间，广东农林牧渔业总产值年均增加约（）亿元。
A、415
B、467
C、584
D、779
【例2】
“十三五”时期，我国住房公积金实缴余额年均增量为：
A、0.39 万亿元
B、0.43 万亿元
C、0.54 万亿元
D、0.65 万亿元
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113
第五章
倍数
一、现期倍数
1.出题标志：A 是B 的几倍或者A 比B 多几倍
2.公式：A 是B 的几倍：
�
�
A 比B 多几倍：
�
�
即多几倍=增长率；多几倍=是几倍﹣1
常见术语
1.是N 倍=多N-1 倍
2.约是3 倍，（2.8，2.9，3.1，3.2 等）
3.3 倍多3 倍<x<4 倍
三成多30%<x<40%
4.B 超过A 的3 倍，B>3A
5.扩大3 倍=多3 倍=增长了3 倍=是4 倍
【例题精选】
【例1】
2021 年广东农林牧渔业总产值约为9 年前的（）倍。
A、1.2
B、1.4
C、1.6
D、1.8
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【例2】
与2019 年相比，2021 年大型底栖生物物种数增加超出一倍的有（）个。
A、8
B、6
C、4
D、2
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二、基期倍数
出题标志：基期时间+几倍
公式：
①没有增长率：按公式计算=基期A/基期B
②有增长率：A/B×(1+b)/(1+a)
速算技巧
如果题目给出了A/B，则直接使用，如果没有直接给出，则需要截位计算A/B；然后比较
(1+b)/(1+a)与1 的大小关系
【例题精选】
【例1】
2017 年，国内旅游市场高速增长，入出境市场平稳发展，供给侧结构性改革成效明显。国内旅游人数
50.01 亿人次，比上年同期增长12.8%；入出境旅游总人数2.7 亿人次，增长3.7%；全年实现旅游总
收入5.40 万亿元，增长15.1%；全年全国旅游业对GDP 的综合贡献为9.13 万亿元，占GDP 总量的
11.04%；旅游直接就业2825 万人，旅游直接和间接就业7990 万人，占全国就业总人口10.28%。
2016 年，全国国内旅游人数约为入出境旅游总人数的多少倍？
A、17
B、19
C、21
D、23
【例2】
2021 年，全国零售药店终端药品销售额约为2013 年的多少倍？
A、1.3
B、1.5
C、1.7
D、1.9
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116
第六章
比重
一、现期比重
题型判定：A 占B 的比重是多少，A 是部分量，B 是整体量
基本公式：比重=
部分量
整体量=
�
�
计算方法：截位直除
【例题精选】
【例1】
2020 年，全国农村乡镇卫生院卫生人员中，执业（助理）医师占比约为（）
A、25%
B、30%
C、35%
D、40%
【例2】
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117
2020 年，0～14 岁的人口数约为：
A、19064 万人
B、23877 万人
C、25277 万人
D、26064 万人
【例3】
2016 年，广东各区域按社会消费品零售总额与地区生产总值的比值由大到小排列，依次为：
A、珠三角>粤北山区>东翼>西翼
B、珠三角>粤北山区>西翼>东翼
C、东翼>西翼>珠三角>粤北山区
D、东翼>西翼>粤北山区>珠三角
【例4】
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以下饼图中，最能准确反映2020 年7 月该行业销售（用白色表示）、管理（用灰色表示）
和财务（用黑色表示）费用占比关系的是：
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二、基期比重
题型判定：基期比重的时间在材料所给时间之前，“A 占B 的比重是多少？”
基本公式：基期比重=
�
�× �+�
�+�
【例题精选】
【例1】
2020 年，境内发明专利占专利授权数的比重为：
A、11.9%
B、12.6%
C、13.5%
D、14.3%
【例2】
2022 年，规模以上工业企业中，分行业看：采矿业实现利润总额15573.6 亿元，同比增长48.6％；
制造业实现利润总额64150.2 亿元，同比下降13.4％；电力、热力、燃气及水生产和供应业实现利润
总额4314.7 亿元，同比增长41.8％。
2022 年，在41 个工业大类行业中，利润总额由高到低的前十个行业的利润情况如下：煤炭开采和洗
选业实现利润总额10202 亿元，同比增长44.3％；计算机、通信和其他电子设备制造业实现利润总额
7389.5 亿元，同比下降13.1％；化学原料和化学制品制造业实现利润总额7302.6 亿元，同比下降
8.7％；电气机械和器材制造业实现利润总额5915.6 亿元，同比增长31.2％；汽车制造业实现利润总
额5319.6 亿元，同比增长0.6％；非金属矿物制品业实现利润总额4759 亿元，同比下降15.5％；医
药制造业实现利润总额4288.7 亿元，同比下降31.8％；石油和天然气开采业实现利润总额3545 亿
元，同比增长109.8％；通用设备制造业实现利润总额3250.3 亿元，同比增长0.4％；电力、热力生
产和供应业实现利润总额3154 亿元，同比增长86.3％。
2021 年，石油和天然气开采业利润总额占采矿业利润总额的（）。
A、不足10%
B、10%-20%之间
C、20%-30%之间
D、30%以上
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三、两期比重差
题型判定
“部分”占“整体”的比重比上年上升/下降几个个百分点
基本公式：两期比重差=
�
�-
�
�×
�+�
�+�=
�
�×
�−�
�+�
常见题型：
①两期比重比较
a＞b，比重上升；a＜b，比重下降；a=b，比重不变
②两期比重差值计算
先判断升降，然后选择小于|a﹣b|的，如果有多个选项满足，再代入公式进行计算
【例题精选】
【例1】
2021 年1-2 月，全国房地产开发投资13986 亿元，同比增长38.3%，房屋施工面积770629 万平方米，
同比增长11.0%。
2021 年1-2 月，分地区看，东部地区房地产开发投资8353 亿元，同比增长32.4%；中部地区2640 亿
元，增长52.5%；西部地区2834 亿元，增长45.1%；东北地区158 亿元，增长28.6%。
分地区看，2021 年1-2 月房地产开发投资占全国比重同比提高的地区有（）个。
A、1
B、2
C、3
D、4
【例2】
据对全国6.4 万家规模以上文化及相关产业企业调查，2021 年前三季度，上述企业实现营业收入84205
亿元，按可比口径计算，同比增长21.8%；两年平均增长10.0%。
分行业类别营业收入情况：新闻信息服务9847 亿元，同比增长22.1%；内容创作生产17693 亿元，同
比增长18.6%；创意设计服务13787 亿元，同比增长24.0%；文化传播渠道9309 亿元，同比增长30.1%；
文化投资运营359 亿元，同比增长13.8％；文化娱乐休闲服务916 亿元，同比增长35.3％；文化辅
助生产和中介服务11441 亿元，同比增长18.3％；文化装备生产4880 亿元，同比增长17.8％；文化
消费终端生产15974 亿元，同比增长22.0％。
与上一年相比，2021 年前三季度分行业类别中，占全国6.4 万家规模以上文化及相关产业企业营业总
收入比重增加的行业个数是：
A、3 个
B、4 个
C、5 个
D、6 个
【例3】
五年来，我国积极推进网络强国和数字中国建设，着力深化数字经济与实体经济融合，为打造数字经
济新优势、增强经济发展新动能提供有力支撑。2022 年，我国电信业务收入累计完成1.58 万亿元，
比上年增长8%，较2018 年增长超2800 亿元。
2022 年移动数据流量业务收入6397 亿元，比上年增长0.3%，在电信业务收入中占比约为40.5%。数
据中心、云计算、大数据、物联网等新兴业务快速发展，对我国电信业务拉动作用持续增强。2022 年
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新兴业务收入达3072 亿元，在电信业务收入中占比由上年的16.1%提升至19.4%。其中，数据中心、
云计算、大数据、物联网业务比上年分别增长11.5%、118.2%、58%和24.7%。
与2021 年相比，2022 年我国移动数据流量业务收入在电信业务收入中的占比（）。
A、增加了约3 个百分点
B、减少了约3 个百分点
C、增加了约13 个百分点
D、减少了约13 个百分点
【例4】
2020 年，全国软件和信息技术服务业累计完成业务收入81658 亿元，同比增长13.3%。实现利润总额
10676 亿元，同比增长7.8%；人均实现业务收入115.8 万元，同比增长8.6%。
2020 年，我国软件和信息技术服务业营业利润率（利润总额/业务收入）比上年：
A、上升了2 个百分点以上
B、下降了2 个百分点以上
C、上升了不到2 个百分点
D、下降了不到2 个百分点
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第七章
平均数
一、现期平均数
1.出题标志：现期时间+平均/每
2.公式：平均数=
总量
份数
3.分子分母如何区分：
4.计算方法：
①截位直除
②削峰填谷
【例题精选】
【例1】
表二中的各营销事件美誉度平均得分约为：
A、89.85
B、88.6
C、86.7
D、83.3
【例2】
2018 年全国房地产开发投资12.03 万亿元，比上年增长9.5%。全国商品房销售面积17.17 亿平方米，
增长1.3%，其中住宅销售面积增长2.2%。全国商品房销售额约15 万亿元，增长12.2%，其中住宅销
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售额增长14.7%。
2018 年我国商品房销售均价约为：
A、8700 元/平方米
B、9700 元/平方米
C、6700 元/平方米
D、5700 元/平方米
【例3】
2016 年我国海洋主题公园平均每名游客创造的门票收入比非门票收入多约多少元?
A、30
B、36
C、42
D、48
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二、基期平均数
1.出题标志：基期时间+平均/每
2.公式：
①未给出增长率：根据定义直接计算
②给出增长率：
�
�×
�+�
�+�
【例题精选】
【例1】
截至2019 年3 月31 日，证券业协会对证券公司2019 年第一季度经营数据进行了统计。131 家证券
公司当期实现营业收入1018.94 亿元，同比增长54.47%。
131 家证券公司中，平均每家证券公司在2018 年第一季度实现营业收入约为：
A、659.4 亿元
B、5.0 亿元
C、669.5 亿元
D、6.0 亿元
【例2】
2017 年全国共有各级各类民办学校17.76 万所，占全国学校总数34.57%；各类民办教育在校生达
5120.47 万人，比上年增长6.12%。其中：民办幼儿园16.04 万所，比上年增长4.00%；在园儿童
2572.3479 万人，比上年增长5.53%。民办普通小学6107 所，比上年增长2.21%；在校生814.17 万
人，比上年增长7.65%。民办初中5277 所，比上年增长3.78%；在校生577.68 万人，比上年增长8.42%。
民办普通高中3002 所，比上年增长7.71%；在校生306.26 万人，比上年增长9.74%。民办中等职业
学校2069 所，比上年下降2.17%；在校生197.33 万人，比上年增长7.16%。
2016 年平均每所民办中等职业学校在校生人数约为：
A、871 人
B、991 人
C、1091 人
D、1181 人
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三、平均数增长量
1.出题标志：出题标志：平均/每+增长了+单位
2.公式：
①平均数增长量=现期平均－基期平均=
�
�-
�
�×
�+�
�+�=
�
�×
�−�
�+�
②平均数比较
常用结论：a＞b，平均数上升；a＜b，平均数下降；若a=b，平均数不变
【例题精选】
【例1】
在东部、中部、西部地区中，2014 年1～2 月商品房平均销售价格高于上年同期水平的地区
有几个？
A、0
B、1
C、2
D、3
【例2】2020 年，全国艺术表演团体共演出225.61 万场，比上年下降24.0%；国内观众8.93 亿人次，
下降27.4%；演出收入86.63 亿元，下降31.7%。
2020 年，全国艺术表演团体平均每场演出创造收入比上年：
A、减少了不到1000 元
B、减少了1000 元以上
C、增加了不到1000 元
D、增加了1000 元以上
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四、平均数增长率
1.出题标志：出题标志：平均/每+增长了+%
2.公式：平均数的增长率=
现期平均数
基期平均数=
�−�
�+�
【例题精选】
【例1】
2016 年全国餐饮收入35799 亿元，同比增长10.8%，餐饮收入占社会消费品零售总额的比重为10.8%。
2016 年全社会餐饮业经营单位为365.5 万个，同比下降8.2%；从业人数为1846.0 万人，同比增长
5.7%。
2016 年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数比上年约：
A、减少了2%
B、减少了15%
C、增加了2%
D、增加了15%
【例2】
2021 年1-7 月，商品房平均销售单价同比变化幅度在1%-3%区间的地区有多少个？
A、0
B、1
C、2
D、3
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第八章
其他
一、混合增长率
1．出题标志：
（1）词语的合成：进出口，房地产，邮电
（2）时间段的合成：上半年+下半年=全年
2．口诀：
居中不正中，偏向量（基期量）大的。
画图：
十字交叉步骤：
①部分写两边，整体写中间
②十字交叉作差
③所得比例为分母之比
【例题精选】
【例1】
2019 年1~2 月，我国包裏寄递量比去年同期：
A、下降了不到10%
B、下降了10%以上
C、上升了不到10%
D、上升了10%以上
【例2】
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2018 年H 市完成邮电业务总量108.2 亿元。其中，邮政业务总量40.8 亿元，同比增长26.5%；电信
业务总量67.4 亿元，同比增长56.7%。年末移动电话用户达到341 万户，其中，3G 移动电话用户达
到25.7 万户，4G 移动电话用户达到241.4 万户。全市互联网接入用户89.9 万户，其中，新增互联网
用户23.8 万户。
2018 年H 市邮电业务总量同比增速在下列哪一个范围内？
A、23%—41%
B、41%—57%
C、57%—71%
D、高于71%
二、间隔增长率
1.出题标志：间隔1 年的增长率
2018 年社会消费品零售总额为380986.9 亿元，比上年同期增长9.0%，上年增速为10.2%。
问题：2018 年社会消费品零售总额比2016 年增长了百分之几？
2.公式：
隔年增长率的公式
隔年增长率=��+��+��×��
【例题精选】
【例1】
2016 年1～4 月，全国全社会用电量累计18093 亿千瓦时，同比增长2.9%。分产业看，第一产业用电
量270 亿千瓦时，同比增长9.1%；第二产业用电量12595 亿千瓦时，增长0.2%；第三产业用电量2516
亿千瓦时，增长10.0%，增速比上年同期提高2.1 个百分点；城乡居民生活用电量2711 亿千瓦时，增
长549.5%，增速比上年同期提高5.4 个百分点。
与2014 年同期相比，2016 年1～4 月第三产业用电量上升了约：
A、15%
B、19%
C、23%
D、27%
【例2】
全行业2015 年生产时钟（含钟心）5.2 亿只，同比下降3.7%，完成产值162 亿元，同比下降4.7%，
降幅扩大1.3 个百分点；钟表零配件、定时器及其它计时仪器产值96 亿元，同比增长14.3%，增速基
本保持上年水平。
2015 年我国钟表全行业生产时钟（含钟心）的产值与2013 年相比约？
A、上升了11%
B、下降了11%
C、上升了8%
D、下降了8%
【例3】
2021 年1-2 月，全国房地产开发投资13986 亿元，同比增长3873 亿元，房屋施工面积770629 万平方
米，同比增长11.0%。商品房销售面积17363 万平方米，同比增长1.05 倍，比2019 年1-2 月增长
23.3%，商品房销售额19151 亿元，同比增长1.33 倍，比2019 年同期增长49.6%。
2020 年1-2 月，全国商品房销售面积同比增长（）。
A、-40.0%
B、-32.5%
C、40.0%
D、17.2%
津仕教育----2027 北京定向选调专项讲精讲---行测
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三、年均增长率
比较大小
【例题精选】
【例1】
将①甘肃、②广东、③上海和④浙江按2016~2021 年集成电路产量年均增速（以2016 年为基期计算）
从高到低排列，以下正确的是：
A、④①②③
B、④①③②
C、①④②③
D、①④③②
