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§6.2 等差数列
课标要求 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公
式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等
差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果数列{a}从第 项起，每一项与它的前一项之差都等于 ，
n
即 恒成立，则称{a}为等差数列，其中d称为等差数列的 ．
n
(2)等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝ .
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝____________.
n
(2)前n项和公式：S＝____________或S＝____________.
n n
3．等差数列的常用性质
(1)若{a}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则________________(p，q，s，t∈N )．
n ＋
(2)等差数列{a}的单调性
n
当d>0时，{a}是________数列；
n
当d<0时，{a}是________数列；
n
当d＝0时，{a}是________．
n
4．等差数列前n项和的常用性质
(1)当d≠0时，等差数列{a}的前n项和S＝n2＋n是关于n的二次函数．
n n
(2)在等差数列{a}中，若a>0，d<0，则S 存在最________值；若a<0，d>0，则S 存在最
n 1 n 1 n
________值．
常用结论
1．等差数列通项公式的推广：a＝a ＋(n－m)d(m，n∈N )．
n m ＋
2．已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列，
n n n
且公差为p.
3．数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n
4．若{a}，{b}均为等差数列且其前n项和为S，T，则＝.
n n n n
5．若等差数列{a}的项数为偶数2n，则
n(1)S ＝n(a＋a )＝…＝n(a＋a )；
2n 1 2n n n＋1
(2)S －S ＝nd，＝.
偶 奇
6．若等差数列{a}的项数为奇数2n＋1，则
n
(1)S ＝(2n＋1)a ；
2n＋1 n＋1
(2)＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(
)
(2)等差数列{a}中，a ＝a＋a.( )
n 10 1 9
(3)若等差数列{a}的前n项和为S，则S，S ，S 也成等差数列．( )
n n 6 12 18
(4)若{a}是等差数列，则对任意n∈N 都有2a ＝a＋a .( )
n ＋ n＋1 n n＋2
2．已知在等差数列{a}中，a＋a＝20，a＝12，则a 等于( )
n 4 8 7 4
A．－2 B．4 C．6 D．8
3．若一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范
围是( )
A．d> B．d<
C.<d< D.<d≤
4．(2023·安康模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S，a＋a＝4，则S 等于( )
n n 3 4 6
A．6 B．12 C．18 D．24
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·全国甲卷)记S 为等差数列{a}的前n项和．若a ＋a ＝10，aa ＝45，则S 等
n n 2 6 4 8 5
于( )
A．25 B．22 C．20 D．15
(2)广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游
客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔
一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一
周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一
周停止共需( )A．352步 B．387步 C．332步 D．368步
跟踪训练1 (1)(多选)记S 为等差数列{a}的前n项和，已知S ＝0，a ＝5，则下列选项正确
n n 4 5
的是( )
A．a＋a＝0 B．a＝2n－5
2 3 n
C．S＝n(n－4) D．d＝－2
n
(2)(2023·洛阳联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等
差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节
的日影长为( )
A．4.5尺 B．3.5尺
C．2.5尺 D．1.5尺
题型二 等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a}的各项均为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面①②③
n n n
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a＝3a.
n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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________________________________________________________________________
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思维升华 判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法：对于数列{a
n
}，a
n
－a
n－1
(n≥2，n∈N
＋
)为同一常数⇔{a
n
}是等差数列；
(2)等差中项法：对于数列{a
n
},2a
n－1
＝a
n
＋a
n－2
(n≥3，n∈N
＋
)成立⇔{a
n
}是等差数列；
(3)通项公式法：a＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a}是等差数列；
n n
(4)前n项和公式法：验证S ＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a}是等差
n n
数列．
跟踪训练2 (2021·全国乙卷)记S 为数列{a}的前n项和，b 为数列{S}的前n项积，已知＋
n n n n
＝2.
(1)证明：数列{b}是等差数列；
n
(2)求{a}的通项公式．
n
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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题型三 等差数列的性质
命题点1 项的性质
例3 (1)(2024·郑州模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S ，若a ＝2，S ＝S ，则S 等于(
n n 1 3 21 23
)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{a}为等差数列，S 为其前n项和，S<S ，S ＝S ，S>S ，
n n 5 6 6 7 7 8
则下列说法正确的有( )
A．公差d<0
B．S >0
12
C．S>S
9 5
D．使S<0的最小正整数n为14
n
命题点2 和的性质
例4 (1)(2023·洛阳模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S ，若S ＝9，S ＝63，则a ＋a ＋a
n n 3 6 7 8 9
等于( )
A．63 B．71 C．99 D．117
(2)(2023·郑州模拟)设等差数列{a}，{b}的前n项和分别是S，T，若＝，则等于( )
n n n n
A. B. C. D.
延伸探究 在本例(2)中，将＝改为＝，则＝________.
跟踪训练3 (1)(2023·南充模拟)等差数列{a}的前n项和为S，a＝10，a＋a＋a＋a＝20，
n n 1 2 3 4 5
则S 的最大值为( )
n
A．60 B．50 C. D．30
(2)设S 是等差数列{a}的前n项和，若＝，则等于( )
n n
A. B. C. D.
