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§6.6 数列中的综合问题
考试要求 数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考
的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、
前n项和公式等．
题型一 等差数列、等比数列的综合运算
例1 (2023·厦门模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，且S ＝n2＋n，递增的等比数列{b}满
n n n n
足b＋b＝18，b·b＝32.
1 4 2 3
(1)求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
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(2)若c＝a·b，n∈N*，求数列{c}的前n项和T.
n n n n n
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思维升华 数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类
问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
跟踪训练1 (2022·全国甲卷)记S 为数列{a}的前n项和．已知＋n＝2a＋1.
n n n
(1)证明：{a}是等差数列；
n
(2)若a，a，a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
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题型二 数列与其他知识的交汇问题
命题点1 数列与不等式的交汇
例2 (1)已知数列{a}满足a＋a＋a＋…＋a＝n2＋n(n∈N*)，设数列{b}满足：b＝，数列
n 1 2 3 n n n
{b}的前n项和为T，若T<λ(n∈N*)恒成立，则实数λ的取值范围为( )
n n n
A. B.
C. D.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________(2)已知数列{a}满足a＝，3a,2a ，aa 成等差数列．
n 1 n n＋1 n n＋1
①证明：数列是等比数列，并求{a}的通项公式；
n
②记{a}的前n项和为S，求证：≤S<.
n n n
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命题点2 数列与函数的交汇
例3 (1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x3＋4x，记等差数列{a}的前n项和为S ，若f(a ＋
n n 1
2)＝100，f(a ＋2)＝－100，则S 等于( )
2 022 2 022
A．－4 044 B．－2 022
C．2 022 D．4 044
(2)数列{a}是等差数列，a ＝1，公差d∈[1,2]，且a ＋λa ＋a ＝15，则实数λ的最大值为
n 1 4 10 16
________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)数列与不等式的综合问题及求解策略
①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的
单调性比较大小．
②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构
造函数进行证明．
(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、
求和方法等对式子化简变形．
跟踪训练2 (1)设{a}是等比数列，函数y＝x2－x－2 023的两个零点是a，a，则aa 等于(
n 2 3 1 4
)
A．2 023 B．1 C．－1 D．－2 023
(2)数列{a}满足a ＝1，a ＝2a(n∈N*)，S 为其前n项和．数列{b}为等差数列，且满足
n 1 n＋1 n n n
b＝a，b＝S.
1 1 4 3
①求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
②设c＝，数列{c}的前n项和为T，证明：≤T<.
n n n n
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