文档内容
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心
的性质.
重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.
难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
自主学习
一、知识链接
1.切线的判定定理和性质定理是什么？
2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：切线长定理及应用
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P是圆外一点，
又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
知识要点：
1.切线长的定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？问题2 PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB
是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？
要点归纳：
切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
推理验证 已知：如图 PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点.求证：PA=PB，
∠APO=∠BPO.
想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
典例精析
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、
H.求证：AB+CD=AD+BC.
变式训练
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为
______．例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，
用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得
铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证
明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.
练一练
PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
(1) 若AP=4，则OP= ；
(2) (2) 若∠BPA=60°，则OP= .
探究点2：三角形的内切圆及作法
互动探究 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆
形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
做一做
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆O.
知识要点：1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这
个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
探究点3：三角形的内心的性质
问题1 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？问题2 如图，分别过点 O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为 E、F，G，那么线段
OE、OF、OG之间有什么数量关系？
知识要点：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距
离相等.
例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
例4 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，
CA=9，求AF、BD、CE的长.
方法总结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
比一比：
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接
圆的圆心
内心：三角形内切
圆的圆心三、课堂小结
切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到
切线长 定义
圆的切线长．
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线
定理 长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹
角.
切线长定理 作用 提供了证线段和角相等的新方法
①分别连接圆心和切点；
辅助线作法 ②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切
圆，内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交
有关概念
点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形
三角形内切圆 的三边距离相等.
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条
应用 边上，从而建立方程.
当堂检测
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，若AP=4，∠APB= 40°，则
∠APO= °，PB= .
第1题图 第2题图
2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，
且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.
3.如图，在△ABC中，点I是内心，
(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BIC= °；
(2)若∠A=80 °，则∠BIC = °；
(3)若∠BIC=100 °，则∠A = °；
(4)试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交
于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：切线长定理及应用
问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与☉O交于点A，B，连
接PA，PB，直线PA，PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.知识要点：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
问题2：OB是☉O的一条半径，PB是☉O的切线，PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证：证明：∵PA、PB是☉O的两条切线，∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想 解：OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.
典例精析
例 1 证明：∵AB、BC、CD、DA 与⊙O 分别相切与点 E、F、G、H，∴ AE=AH，
BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.
变式训练 50
例 2 解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.∵AP、AB 为⊙O 的切线，∴OP⊥AP，
∠PAO=∠BAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠BAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠BAO＝
60°.∴∠POA＝30°.在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OA=2PA=10，∴OP=
即铁环的半径为
练一练： （1） 5 （2） 6
探究点2：三角形的内切圆及作法
问题1 最大的圆与三角形三边都相切
问题2 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线，其交点
即为所求作的圆心I.
做一做
作法：
1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
探究点3：三角形的内心的性质
问题1 OA，OB，OC 分别平分∠CAB，∠ABC，∠BCA.
问题2 OE=OF=OG
例3 解：连接IB，IC.∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，在
△IBC 中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- （43°+61°）
=128°.
例 4 解：设 AF=x cm，则 AE=x cm.∴CE=CD =AC-AE=9-x，BF=BD=AB-AF=13-x.由
BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.比一比：
名称 确定方法 图形 性质
1.OA=OB=OC
三角形三边
外心：三角形 2.外心不一定在三角形的
中垂线的交
外接圆的圆心 内部．
点
1.到三边的距离相等；
三角形三条
2.OA、OB、OC分别平分
内心：三角形 角平分线的
∠BAC、∠ABC、∠ACB
内切圆的圆心 交点
3.内心在三角形内部．
当堂检测
1.20 4 2.11 3.（1）120 （2）130 （3）20 （4）∠BIC=90°+ ∠A
4.方法① 证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.
∵OD＝OB，OC＝OC，∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）.∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED.∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
方法② 证明：连接BD，如图.∵BC⊥AB，∴BC切⊙O于点B，∵AC切⊙O于点D，BC
切⊙O 于点 B，∴DC=BC，OC 平分∠DCB．∴OC⊥BD．∵BE 为⊙O 的直径，
∴DE⊥BD．∴DE∥OC．
5.证明：连接 BI.∵I 是△ABC 的内心，AD 平分∠BAC，∴ 点 I 在 AD 上，∠ABI
=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD.∴BD=ID．
