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训练 21 等差数列与等比数列
一、单项选择题
1．(2023·赣州统考)已知等差数列{a}中，S 是其前n项和，若a ＋S ＝22，a －S ＝－15，
n n 3 3 4 4
则a 等于( )
5
A．7 B．10 C．11 D．13
答案 C
解析 设公差为d，则a＋2d＋3a＋3d＝22，a＋3d－4a－6d＝－15，
1 1 1 1
解得a＝3，d＝2，
1
故a＝a＋4d＝3＋8＝11.
5 1
2．(2023·漳州模拟)已知数列为等比数列，且a＝2，a＝16，则a 等于( )
4 8 10
A．30 B．±30 C．40 D．±40
答案 C
解析 令b＝，设数列的公比为q，
n
因为a＝2，a＝16，
4 8
所以b＝＝，b＝＝2，
4 8
又b＝bq4，所以q4＝＝4，得到q2＝2，
8 4
所以b ＝＝bq2＝4，所以a ＝40.
10 8 10
3．设数列{a}，{b}都是正项等比数列，S ，T 分别为数列{lg a}与{lg b}的前n项和，且
n n n n n n
＝，则 等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为数列{a}，{b}都是正项等比数列，所以数列{lg a}与{lg b}为等差数列，
n n n n
因为＝，
所以＝＝
＝ ＝＝.
则 ＝.
4．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是
桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其
中DD ，CC ，BB ，AA 是举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别
1 1 1 1 1 1 1 1
为＝0.5，＝k ，＝k ，＝k.已知k ，k ，k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为
1 2 3 1 2 3
0.725，则k 等于( )
3A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
答案 D
解析 设OD ＝DC ＝CB ＝BA＝1，
1 1 1 1
则CC ＝k，BB＝k，AA＝k，
1 1 1 2 1 3
依题意，有k－0.2＝k，k－0.1＝k，
3 1 3 2
且＝0.725，
所以＝0.725，
故k＝0.9.
3
二、多项选择题
5．已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S ，且d≠0，a ，a ，a 成等比数列，则(
n n 1 4 6
)
A．S ＝0
19
B．a＝0
9
C．当d<0时，S 是S 的最大值
9 n
D．当d>0时，S 是S 的最小值
10 n
答案 ACD
解析 因为a，a，a 成等比数列，
1 4 6
所以aa＝a，
1 6
即a(a＋5d)＝(a＋3d)2，
1 1 1
整理得ad＝－9d2，
1
因为d≠0，所以a＝－9d，
1
所以a ＝a＋9d＝0，
10 1
则S ＝＝19a ＝0，故A正确，B错误；
19 10
当d<0时，{a}是递减数列，
n
此时a>a>…>a>a ＝0>a >…，
1 2 9 10 11
所以当n＝9或n＝10时，S 取得最大值，
n
即(S) ＝S＝S ，故C正确；
n max 9 10
当d>0时，{a}是递增数列，
n此时an，m，n∈N*)；②{a}是递增数列．
m－n m n n
答案 2n(符合kn(k>0)的形式即可)
解析 假设数列为等差数列，
设其公差为d，首项为a，
1
由性质①可得a＋(m－n－1)d＝a＋(m－1)d－a－(n－1)d，
1 1 1
整理得a＝d，
1
即a＝a＋(n－1)d＝dn，
n 1
再根据②可知，公差d>0，取d＝2，
显然a＝2n满足题意．
n
(符合kn(k>0)的形式即可)
8．已知向量序列：a ，a ，a ，…，a 满足如下条件：|a|＝4|d|＝2,2a·d＝－1且a －a ＝
1 2 3 n 1 1 n n－1
d(n＝2,3,4，…)．若a·a＝0，则k＝________；|a|，|a|，|a|，…，|a|，…中第________项
1 k 1 2 3 n最小．
答案 9 3
解析 因为a－a ＝d(n＝2,3,4，…)，
n n－1
所以a－a ＝d，a －a ＝d，…，a－a＝d，
n n－1 n－1 n－2 2 1
累加得a＝a＋(n－1)d，
n 1
所以a＝a＋(k－1)d，
k 1
则a·a＝a＋(k－1)a·d＝0，
1 k 1
即4－＝0，解得k＝9；
a＝a＋(n－1)d，
n 1
即a＝|a|2＝[a＋(n－1)d]2＝－(n－1)＋4(n∈N*)，
n 1
易知当n－1＝－＝2，即n＝3时，|a|取得最小值．
n
四、解答题
9．数列{a}满足a＝1，a＝a ＋1(n≥2)．
n 1 n n－1
(1)若b＝a－2，求证{b}为等比数列；
n n n
(2)求{a}的通项公式．
n
(1)证明 ∵a＝a ＋1，n≥2，
n n－1
∴a－2＝(a －2)，∴b＝b ，n≥2，
n n－1 n n－1
又b＝a－2＝－1，
1 1
∴{b}是首项为－1，公比为的等比数列．
n
(2)解 b＝a－2＝－1，b＝(－1)×n－1，
1 1 n
∴a＝b＋2＝2－，n∈N*.
n n
10．在①S ，S ，S 成等比数列，②S ＝50，③S ＝3(a ＋2)．这三个条件中任选两个，补
1 2 4 5 6 6
充到下面问题中，并解答本题．
问题：已知等差数列{a}的公差为d(d≠0)，前n项和为S，且满足__________．
n n
(1)求a；
n
(2)若b－b ＝2a(n≥2)，且b－a＝1，求数列的前n项和T.
n n－1 n 1 1 n
注：如果选择多种方法分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)条件①，因为S ，S ，S 成等比数列，则S＝SS ，即(2a ＋d)2＝a(4a ＋6d)，因为
1 2 4 1 4 1 1 1
d≠0，可得d＝2a.
1
条件②，S＝5a＋10d＝50，可得a＋2d＝10.
5 1 1
条件③，S＝3(a＋2)，可得6a＋15d＝3(a＋5d＋2)，可得a＝2.
6 6 1 1 1
若选①②，则有可得
则a＝a＋(n－1)d＝4n－2；
n 1
若选①③，则d＝2a＝4，
1则a＝a＋(n－1)d＝4n－2；
n 1
若选②③，则a＋2d＝2＋2d＝10，可得d＝4，所以a＝a＋(n－1)d＝4n－2.
1 n 1
(2)b－b ＝2a＝8n－4(n≥2)，且b－a＝1，则b＝3，
n n－1 n 1 1 1
所以当n≥2时，b＝b＋(b－b)＋(b－b)＋…＋(b－b )
n 1 2 1 3 2 n n－1
＝3＋12＋20＋…＋(8n－4)＝3＋＝4n2－1，
b＝3也满足b＝4n2－1，
1 n
故对任意的n∈N*，b＝4n2－1，
n
则＝＝，
所以
T＝
n
＝＝.
