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训练 22 数列中的综合问题
一、单项选择题
1．在数列{a}中，a＝1，a －a＝2n－1，则a 等于( )
n 1 n＋1 n 9
A．512 B．511 C．502 D．503
2．定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{a}的通项公式为a ＝3n－1，则等式＋＋＋…
n n
＋等于( )
A．30 B．29 C．28 D．27
3．(2023·凉山模拟)已知函数f(x)＝3＋1，则f ＋f ＋…＋f ＋f 的值为( )
A．2 024 B．2 022 C．2 023 D．2 021
4．(2023·黄山模拟)我们常把F＝ ＋1(n＝0,1,2…)叫作“费马数”，设a＝log (F－1)，n
n n 2 n
＝1,2，…，S 表示数列{a}的前n项和，则使不等式＋＋…＋<成立的最大正整数n的值是(
n n
)
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题
5．(2023·漳州质检)在数列{a}中，a 和a 是关于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的两个根，
n 2 6
下列说法正确的是( )
A．实数b的取值范围是b≤－4或b≥4
B．若数列{a}为等差数列，则数列{a}的前7项和为4b
n n
C．若数列{a}为等比数列且b>0，则a＝±2
n 4
D．若数列{a}为等比数列且b>0，则a＋a 的最小值为4
n 2 6
6．“提丢斯数列”是 18 世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为：取
0,3,6,12,24,48,96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，
将这组数的每一项加上 4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2，
10.0，…，则下列说法中正确的是( )
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”的前31项和为＋
D．“提丢斯数列”中，不超过20的有8项
三、填空题
7．(2023·揭阳模拟)已知数列{a}满足a＝cos ，则{a}的前100项和为______．
n n n
8．(2024·芜湖模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，且对任意的n∈N*，都有则S ＝
n n 1 61
__________.
四、解答题9．已知数列{a}的前n项和为S，且S＋2＝2a.
n n n n
(1)求a 及数列{a}的通项公式；
2 n
(2)在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，求数列的
n n＋1 n
前n项和T.
n
10．已知数列{a}满足a＝1，a＝2，a＝n≥3，且数列{a}的前n项和为S.
n 1 2 n n n
(1)求数列{a}的通项公式及S ；
n 2m－1
(2)若a a ＝a ，求正整数m的值．
m m＋1 m＋2
