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训练 22 数列中的综合问题
一、单项选择题
1．在数列{a}中，a＝1，a －a＝2n－1，则a 等于( )
n 1 n＋1 n 9
A．512 B．511 C．502 D．503
答案 D
解析 因为a＝1，a －a＝2n－1，
1 n＋1 n
所以a ＝a ＋(a －a)＋(a －a)＋…＋(a －a )＝1＋(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1－1)＝(1＋
n 1 2 1 3 2 n n－1
2＋22＋…＋2n－1)－(n－1)＝2n－n，
所以a＝29－9＝503.
9
2．定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{a}的通项公式为a ＝3n－1，则等式＋＋＋…
n n
＋等于( )
A．30 B．29 C．28 D．27
答案 D
解析 ＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27.
3．(2023·凉山模拟)已知函数f(x)＝3＋1，则f ＋f ＋…＋f ＋f 的值为( )
A．2 024 B．2 022 C．2 023 D．2 021
答案 C
解析 函数f(x)＝3＋1，设m＋n＝1，则有m－＝－，
所以f(m)＋f(n)＝3＋1＋3＋1＝2，
所以当m＋n＝1时，f(m)＋f(n)＝2，
令S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ，
所以2S＝＋…＋＝2×2 023，
故S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ＝2 023.
4．(2023·黄山模拟)我们常把F＝ ＋1(n＝0,1,2…)叫作“费马数”，设a＝log (F－1)，n
n n 2 n
＝1,2，…，S 表示数列{a}的前n项和，则使不等式＋＋…＋<成立的最大正整数n的值是(
n n
)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 a＝log (F－1)＝log ( ＋1－1)＝2n，
n 2 n 2
S＝＝2n＋1－2，
n
则＝＝＝，
所以＋＋…＋
＝
＝<，
即有2n＋1－1<15，即2n＋1<24，解得n<3，
又n＝1,2，…，则n的最大值为2.
二、多项选择题
5．(2023·漳州质检)在数列{a}中，a 和a 是关于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的两个根，
n 2 6
下列说法正确的是( )
A．实数b的取值范围是b≤－4或b≥4
B．若数列{a}为等差数列，则数列{a}的前7项和为4b
n n
C．若数列{a}为等比数列且b>0，则a＝±2
n 4
D．若数列{a}为等比数列且b>0，则a＋a 的最小值为4
n 2 6
答案 AD
解析 对于A，∵x2－bx＋4＝0有两个根，
∴Δ＝b2－4×1×4≥0，
解得b≤－4或b≥4，故A正确；
对于B，若数列{a}为等差数列，
n
∵a 和a 是关于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的两个根，
2 6
∴a＋a＝b，
2 6
则S＝＝＝，故B错误；
7
对于C，若数列{a}为等比数列且b>0，由根与系数的关系得
n
可得a>0，a>0，∴a>0，
2 6 4
由等比数列的性质得a＝a·a，
2 6
即a＝＝＝2，故C错误；
4
对于D，由C可知，a＝a·a＝4，且a>0，a>0，
2 6 2 6
∴a＋a≥2＝4，当且仅当a＝a＝2时，等号成立，故D正确．
2 6 2 6
6．“提丢斯数列”是 18 世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为：取
0,3,6,12,24,48,96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，
将这组数的每一项加上 4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2，
10.0，…，则下列说法中正确的是( )
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”的前31项和为＋
D．“提丢斯数列”中，不超过20的有8项答案 BCD
解析 记“提丢斯数列”为数列{a}，则当n≥3时，a＝＝，
n n
当n＝2时，a＝0.7，符合该式，
2
当n＝1时，a＝0.4不符合该式，
1
故a＝故A错误；
n
a ＝，故B正确；
99
“提丢斯数列”的前31项和为＋×＋×30＝＋，故 C正确；令≤20，即2n－2≤，得n＝
2,3,4,5,6,7,8，又a<20，故不超过20的有8项，故D正确．
1
三、填空题
7．(2023·揭阳模拟)已知数列{a}满足a＝cos ，则{a}的前100项和为______．
n n n
答案 1
解析 因为a ＝cos，所以a ＝1，a ＝－，a ＝－，a ＝1，a ＝－，a ＝－，…，可知数列
n 1 2 3 4 5 6
{a}是以3为周期的周期数列，且a ＋a ＋a ＝0，所以S ＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋…＋
n 1 2 3 100 1 2 3 4 5 6
a ＋a ＋a ＋a
97 98 99 100
＝(a＋a＋a)＋(a＋a＋a)＋…＋(a ＋a ＋a )＋a
1 2 3 4 5 6 97 98 99 100
＝a ＝a＝1.
100 1
8．(2024·芜湖模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，且对任意的n∈N*，都有则S ＝
n n 1 61
__________.
答案 5
解析 ∵
∴a ＋a ＝log ＋log
2n 2n＋1 2 2
＝log ，
2
∴S ＝a＋(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝1＋log ＋log ＋…＋log
61 1 2 3 4 5 60 61 2 2 2
＝1＋log ＝1＋log 16＝5.
2 2
四、解答题
9．已知数列{a}的前n项和为S，且S＋2＝2a.
n n n n
(1)求a 及数列{a}的通项公式；
2 n
(2)在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，求数列的
n n＋1 n
前n项和T.
n
解 (1)由题意，当n＝1时，S＋2＝a＋2＝2a，解得a＝2，
1 1 1 1
当n＝2时，S＋2＝2a，
2 2
即a＋a＋2＝2a，解得a＝4，
1 2 2 2
当n≥2时，由S＋2＝2a，
n n
可得S ＋2＝2a ，
n－1 n－1两式相减，可得a＝2a－2a ，
n n n－1
整理，得a＝2a ，
n n－1
∴数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，
n
∴a＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
n
(2)由(1)可得，a＝2n，a ＝2n＋1，
n n＋1
在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，
n n＋1 n
则有a －a＝(n＋1)d，
n＋1 n n
∴d＝＝，
n
∴＝，
∴T＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
n
T＝＋＋＋…＋＋，
n
两式相减，
可得T＝＋＋＋…＋－
n
＝1＋－
＝－，∴T＝3－.
n
10．已知数列{a}满足a＝1，a＝2，a＝n≥3，且数列{a}的前n项和为S.
n 1 2 n n n
(1)求数列{a}的通项公式及S ；
n 2m－1
(2)若a a ＝a ，求正整数m的值．
m m＋1 m＋2
解 (1)当n为奇数时，a－a ＝2(n≥3)，
n n－2
因此数列{a}的奇数项依次构成以a＝1为首项，2为公差的等差数列，
n 1
所以a＝1＋2＝n；
n
当n为偶数时，a＝3a (n≥3)，
n n－2
即＝3，
因此数列{a}的偶数项依次构成以a＝2为首项，3为公比的等比数列，所以a＝2· ；
n 2 n
故a＝
n
S ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )
2m－1 1 3 2m－1 2 4 2m－2
＝＋＝3m－1＋m2－1.
(2)由a a ＝a ，
m m＋1 m＋2
①若m＝2k(k∈N*)，
则a a ＝a ，
2k 2k＋1 2k＋2
所以2k＋1＝3，即k＝1，所以m＝2，
②若m＝2k－1(k∈N*)，即a a ＝a ，
2k－1 2k 2k＋1
所以(2k－1)·2·3k－1＝2k＋1，
即2·3k－1＝1＋，
因为2·3k－1为正整数，
所以 为正整数，即2k－1＝1，即k＝1，
但此时2×30＝3不成立，
综上，m＝2.
