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训练 29 椭 圆
一、单项选择题
1．点P为椭圆＋＝1上一点，F为焦点，则PF的最大值为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
答案 C
解析 ∵＋＝1，∴a2＝9，b2＝5⇒c2＝4，
即a＝3，c＝2，
所以PF的最大值为a＋c＝3＋2＝5.
2．(2023·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点
为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 D
解析 根据题意，由椭圆的离心率为可得
＝，
又×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2，
故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.
3．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，
也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短
半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为
12π，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由题意，设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，
因为椭圆C的离心率为，面积为12π，
所以
解得a2＝16，b2＝9，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
4．(2024·滁州模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆上且在x轴的
1 2
下方，若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的倾斜角为(
2 2 2
)
A. B. C. D.答案 C
解析 在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1，
设线段 PF 的中点为 M，连接 PF ，MF ，如图所示，则 FF 为圆 O 的一条直径，则
2 1 1 1 2
FM⊥PF，
1 2
因为M为PF 的中点，则PF＝FF＝2c＝2，则PF＝2a－PF＝2，
2 1 1 2 2 1
所以△PFF 为等边三角形，由图可知，直线PF 的倾斜角为.
1 2 2
二、多项选择题
5．(2024·韶关模拟)设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F ，F 是椭圆的左、右焦点，焦距为
1 2
2c(c>0)，若∠FPF 是直角，则( )
1 2
A．OP＝c (O为原点)
B． ＝b2
C．△FPF 的内切圆半径r＝a－c
1 2
D．(PF) ＝a＋c
1 max
答案 ABC
解析 在Rt△FPF 中，O为斜边FF 的中点，所以OP＝FF＝c，故A正确；
1 2 1 2 1 2
设PF ＝m，PF ＝n，则有m2＋n2＝(2c)2，m＋n＝2a，所以mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝2b2，
1 2
所以 ＝mn＝b2，故B正确；
由 ＝(m＋n＋2c)·r＝b2，得r＝ ＝＝＝a－c，
故C正确；
当且仅当P为椭圆右顶点时，PF＝a＋c，此时P，F，F 不构成三角形，故D错误．
1 1 2
6．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，长轴长为
1 2
4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，QF 的取值范围是[2－，2＋]
1
C．存在点Q使得QF1·QF2＝0
D.＋的最小值为1
答案 BCD
解析 由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C外，则＋>1，解得b<，
所以椭圆C的离心率e＝＝>，
即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以QF 的取值范围是[a－c，a＋c]，
1
即[2－，2＋]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得QF1·QF2＝0，故C正确；
(QF＋QF)＝2＋＋
1 2
≥2＋2＝4，
当且仅当QF＝QF＝2时，等号成立，
1 2
又QF＋QF＝4，
1 2
所以＋≥1，故D正确．
三、填空题
7．(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程________________．
①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；
③离心率为.
答案 ＋＝1(答案不唯一)
解析 只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．
8．(2024·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．
事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点
A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程＋＝4的解是________．
答案 x＝±
解析 因为＋＝4，所以＋＝4，可转化为点(x,2)到点(－2,0)和点(2,0)的距离之和为4，所以
点(x,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝±.
四、解答题
9．已知F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上的点到F 的最近距离为4，
1 2 2
最远距离为16.
(1)求椭圆方程；
(2)P为该椭圆上一点，且∠FPF＝60°，求△FPF 的面积．
1 2 1 2
解 (1)依题意知
∴a＝10，c＝6.∴b＝8.
∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)∵∠FPF＝60°，
1 2
∴FF＝PF＋PF－2PF·PF·cos 60°，
1 1 2
即PF＋PF－PF·PF＝144.
1 2
∴(PF＋PF)2－3PF·PF＝144.
1 2 1 2
又PF＋PF＝20，∴PF·PF＝.
1 2 1 2
∴ ＝PF·PF·sin 60°
1 2
＝××＝.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(－，0)，F(，0)，且该椭圆过点A.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x
轴对称的点为点P′，若直线P′Q与x轴相交于点D，求△DPQ面积的最大值．
解 (1)由椭圆的定义可得
2a＝AF＋AF＝＋＝4，
1 2
解得a＝2.
又b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线l的方程为
x＝my＋4(m≠0)．
设P(x，y)，Q(x，y)，则P′(x，－y)．
1 1 2 2 1 1
由
消去x可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，
∵Δ＝16(m2－12)>0，∴m2>12，
∴y＋y＝－，yy＝，
1 2 1 2
∵k ＝＝，
P′Q
∴ 直线P′Q的方程为y＋y＝(x－x)．
1 1
令y＝0，可得x＝＋4＝＋4＝1，
∴D(1,0)，
∴S ＝|S －S |＝BD|y－y|
△DPQ △BDQ △BDP 1 2
＝＝，
令t＝，t∈(0，＋∞)，
则S ＝＝≤，
△DPQ
当且仅当t＝4，即m＝±2时等号成立，
∴△DPQ面积的最大值为.
