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训练 30 双曲线与抛物线
一、单项选择题
1．(2023·淄博模拟)双曲线－x2＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
2．(2024·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，
到x轴的距离为5，则p等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2024·十堰模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F 作与
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其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AFF 为直角三角形，则双曲线C的离心率
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为( )
A. B. C. D．2
4．(2023·宣城模拟)抛物线C ：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C ：－y2＝1的右焦点的连线交C
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于第一象限的点M.若C 在点M处的切线平行于C 的一条渐近线，则p等于( )
1 2
A. B. C. D.
二、多项选择题
5．(2023·常州模拟)已知O为坐标原点，抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与
抛物线交于两点A(x ，y)，B(x ，y)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确
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的是( )
A．xx＝ B.OA·OB＝－
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C．∠AMB＝90° D.＋＝
6．(2023·青岛模拟)已知曲线C：＋＝1，F，F 分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正
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确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠FPF＝
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D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PFF 面积的最大值为3
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三、填空题
7．(2023·衡水中学模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐
角为________．
8．(2024·信阳模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且
FA·FB＝6，则AB＝________.
四、解答题
9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为8，离心率e＝.
(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与双曲线C相交于P，Q两点，弦PQ的中点坐标为A(8,3)，求直线l的方程．
10．已知抛物线x2＝8y，过点M(0,4)的直线与抛物线交于A，B 两点，又过A，B两点分别
作抛物线的切线，两条切线交于P点．
(1)证明：直线PA，PB的斜率之积为定值；
(2)求△PAB面积的最小值．
