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训练 30 双曲线与抛物线
一、单项选择题
1．(2023·淄博模拟)双曲线－x2＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2，
所以离心率为＝＝.
2．(2024·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，
到x轴的距离为5，则p等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，
因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，
所以＝2，所以p＝4.
3．(2024·十堰模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F 作与
1 2 1
其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AFF 为直角三角形，则双曲线C的离心率
1 2
为( )
A. B. C. D．2
答案 A
解析 如图，设AF＝m，AF＝n，
2 1
由题意可得解得b＝2a，则e＝＝＝.
4．(2023·宣城模拟)抛物线C ：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C ：－y2＝1的右焦点的连线交C
1 2 1
于第一象限的点M.若C 在点M处的切线平行于C 的一条渐近线，则p等于( )
1 2
A. B. C. D.
答案 D
解析 设抛物线的焦点F与双曲线的右焦点 F 及点M的坐标分别为F，F(2,0)，M(x ，
2 2 0
y)，
0
故由题设可得在切点M处的斜率为x，
0
则x＝，即x＝p，故M，
0 0依据F，F(2,0)，M共线，
2
可得 ，即＝－，解得p＝.
二、多项选择题
5．(2023·常州模拟)已知O为坐标原点，抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与
抛物线交于两点A(x ，y)，B(x ，y)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确
1 1 2 2
的是( )
A．xx＝ B.OA·OB＝－
1 2
C．∠AMB＝90° D.＋＝
答案 ABD
解析 设过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线为x＝my＋，
代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.
由直线上两点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则有y＋y＝2pm，yy＝－p2，
1 2 1 2
xx＝＝m2yy＋m·(y＋y)＋＝，A正确；
1 2 1 2 1 2
OA·OB＝xx＋yy＝－p2＝－，B正确；
1 2 1 2
∵M点坐标为，故MA＝，MB＝，
MA·MB＝xx＋(x＋x)＋＋yy＝m2p2，
1 2 1 2 1 2
当m≠0时，MA·MB≠0，即∠AMB≠90°，故C错误；
由＋＝
＝
＝＝，D正确．
6．(2023·青岛模拟)已知曲线C：＋＝1，F，F 分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正
1 2
确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠FPF＝
1 2
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PFF 面积的最大值为3
1 2
答案 ABD
解析 对于A选项，当m＝－3时，曲线C：－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方
程为y＝±x，故渐近线的倾斜角分别为，，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A选
项正确；
对于B选项，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所
以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B选项正确；
对于C选项，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，)，则cos∠FMF ＝＝＝－<0，故∠FMF 为
1 2 1 2
钝角，所以曲线C上存在点P，使得∠FPF＝，故C选项错误；
1 2
对于D选项，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2
＝6，P为C上一个动点，则△PFF 面积的最大值为×2×＝3，故D选项正确．
1 2
三、填空题
7．(2023·衡水中学模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐
角为________．
答案
解析 ∵＝2，∴＝4，故＝4，
∴＝，
∴两条渐近线方程为y＝±x，
∴两条渐近线所成的锐角为.
8．(2024·信阳模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且
FA·FB＝6，则AB＝________.
答案 6
解析 由抛物线y2＝4x，得F(1,0)，当直线AB垂直于x轴时，FA＝FB＝2，不符合题意，
故可设直线AB：y＝k(x－1)，联立抛物线方程得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，所以xx＝1，
1 2
又FA＝x＋1，FB＝x＋1，
1 2
所以FA·FB＝(x＋1)(x＋1)＝xx＋x＋x＋1＝2＋x＋x＝6.
1 2 1 2 1 2 1 2
所以x＋x＝4，AB＝FA＋FB＝x＋x＋2＝6.
1 2 1 2
四、解答题
9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为8，离心率e＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与双曲线C相交于P，Q两点，弦PQ的中点坐标为A(8,3)，求直线l的方程．
解 (1)由题意可得
解得所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
因为弦PQ的中点坐标为A(8,3)，
所以x＋x＝16，y＋y＝6，
1 2 1 2
将点P(x，y)，Q(x，y)代入双曲线－＝1可得两式相减可得＝，
1 1 2 2
即＝，
所以＝，
所以直线l的斜率为k＝＝＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－8)，即3x－2y－18＝0.10．已知抛物线x2＝8y，过点M(0,4)的直线与抛物线交于A，B 两点，又过A，B两点分别
作抛物线的切线，两条切线交于P点．
(1)证明：直线PA，PB的斜率之积为定值；
(2)求△PAB面积的最小值．
(1)证明 由题意设直线AB的方程为y＝kx＋4，
联立得x2－8kx－32＝0，
因为Δ＝(－8k)2－4×(－32)>0，
所以设A(x，y)，B(x，y)，则xx＝－32，
1 1 2 2 1 2
设直线PA，PB 的斜率分别为k，k，
1 2
对y＝求导得y′＝，所以k＝，k＝，
1 2
所以kk＝·＝＝＝－2(定值)．
1 2
(2)解 由(1)可得直线PA的方程为
y－＝(x－x)，①
1
直线PB的方程为y－＝(x－x)，②
2
联立①②，得点P的坐标为，
由(1)得x＋x＝8k，xx＝－32，
1 2 1 2
所以P(4k，－4)．
于是AB＝8，
点P到直线AB的距离d＝，
所以S ＝16(k2＋2)，
△PAB
当k2＝0，即k＝0时，△PAB的面积取得最小值32.
