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训练 16 三角函数与解三角形的综合问题
一、单项选择题
1．(2024·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差
数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋ C. D．2＋
答案 B
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
等式两边平方得a2＋c2＝4b2－2ac，①
又△ABC的面积为，且∠B＝30°，
由S ＝acsin B＝ac·sin 30°＝ac＝，解得ac＝6，
△ABC
代入①式可得a2＋c2＝4b2－12，
由余弦定理得cos B＝＝＝＝，
解得b2＝4＋2，∴b＝1＋.
2．(2024·吉林模拟)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，且|f(x)|＝1在区间[0，π]
上有且仅有一个解，则ω的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 令ωx∈，k∈Z，
解得x∈，k∈Z，
而函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，
所以解得0<ω≤，
当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，
因为|f(x)|＝1在区间[0，π]上有且仅有一个解，
所以解得≤ω<.
综上所述，ω的取值范围是≤ω≤.
3．(2023·丹东模拟)在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为22°30′，又在此尖
塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为67°30′，且A，B两点距离为540 m，在线段AB
上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为( )
A．90 m B．100 m
C．110 m D．270 m
答案 A
解析 如图所示，设OA＝x，OB＝y，OP＝z，则x2＋y2＝5402，∠OAP＝22.5°，∠OBP＝67.5°，
由tan 45°＝＝1，解得tan 22.5°＝－1，
tan 135°＝＝－1，
解得tan 67.5°＝＋1，
所以2＋2＝5402，
解得z＝90，
所以x＝＝180＋90，y＝＝180－90，
要使点 C 处测得塔顶的仰角为最大，则需 tan∠PCO 最大，也即需 OC 最小，所以
OC⊥AB，
又S ＝×OA×OB＝×AB×OC，
△ABO
即OC＝
＝＝90，
所以C点到塔底O的距离为90 m.
4．设函数f(x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|，则下列结论错误的是( )
A．函数f(x)为偶函数
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)的最小值为
D．函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝|－sin x＋cos x|＋|－sin x－cos x|＝|sin x－cos x|＋|sin x＋cos x|＝
f(x)，为偶函数，故A正确；
对于B，f(π－x)＝|sin(π－x)＋cos(π－x)|＋|sin(π－x)－cos(π－x)|
＝|sin x－cos x|＋|sin x＋cos x|＝f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
对于C，f(x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|＝＋，
令x＋＝t，则f(t)＝|sin t|＋|cos t|，该函数的最小正周期为，
在t∈时，f(t)＝sin t＋cos t
＝2sin，
所以函数f(t) ＝f(0)＝，故C正确；
min
对于D，由于函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)＝|sin x|＋|cos x|的图象，
所以当x∈时，g(x)＝2sin，则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，由于函数g(x)的最小正周期为，
则函数g(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，故D错误．
二、多项选择题
5.(2023·韶关模拟)如图所示，点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)图象的最高点，M，N
是图象与x轴的交点，若M，且PM·PN＝0，则( )
A．N B．ω＝1
C．P D．φ＝
答案 BC
解析 由题意知P的纵坐标为，又PM·PN＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，
所以MN＝2y ＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以＝2π，ω＝1，故B正确；
P
所以x ＝x ＋＝，故C正确；
P M
x ＝x ＋＝，故A错误；
N M
将P代入函数解析式可得，
sin＝1，φ＝＋2kπ (k∈Z)，故D错误．
6．(2023·扬州模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c－b＝2bcos
A，则下列结论正确的有( )
A．A＝2B
B．B的取值范围为
C.的取值范围为(，2)
D.－＋2sin A的取值范围为
答案 AD
解析 在△ABC中，由正弦定理可将式子c－b＝2bcos A化为sin C－sin B＝2sin Bcos A，
把sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B代入整理得，
sin(A－B)＝sin B，
解得A－B＝B或A－B＋B＝π，
即A＝2B或A＝π(舍去)．
所以A＝2B.故选项A正确；
因为△ABC为锐角三角形，A＝2B，所以C＝π－3B.
由解得B∈，
故选项B错误；
＝＝＝2cos B，
因为B∈，所以cos B∈，
2cos B∈，
即的取值范围是(，)．故选项C错误；
－＋2sin A＝＋2sin A＝＋2sin A.
因为B∈，
所以A＝2B∈，sin A∈ .
令t＝sin A，t∈，则f(t)＝2t＋.
由对勾函数的性质知，函数f(t)＝2t＋在上单调递增．
又f ＝，f(1)＝3，所以f(t)∈.
即－＋2sin A的取值范围为.故选项D正确．
三、填空题
7．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个说法：
①f(x)的周期为π；
②f(x)在区间上单调递增；
③f(x)的图象关于点对称；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
以其中两个说法作为条件，另两个说法作为结论，写出一组你认为正确的一个命题(写成
“p⇒q”的形式)__________．(其中用到的说法用序号表示)
答案 ①④⇒②③(答案不唯一)
解析 ①f(x)的周期为π，
则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．
若再有④f(x)的图象关于直线x＝对称，
则sin取得最值，
又因为－<φ<，所以<2×＋φ<，
所以2×＋φ＝，所以φ＝，
所以f(x)＝sin，此时②③成立，
故①④⇒②③.
再如：
若①f(x)的周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)，
若再有③f(x)的图象关于点对称，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，又因为－<φ<，
所以φ＝，
所以f(x)＝sin，此时②④成立，
故①③⇒②④.
8．(2023·临汾模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足5a2＋3b2＝
3c2，则tan A的最大值为________．
答案
解析 ∵5a2＋3b2＝3c2，∴a2＝，
∴cos A＝＝＝≥＝，
当且仅当c2＝4b2，即c＝2b时等号成立，
又A∈(0，π)，∴cos A∈，cos2A∈，
∴tan A＝＝≤
＝.
四、解答题
9.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝bsin
2C＋2c(sin A－sin Bcos C)．
(1)求sin C的值；
(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.
解 (1)在锐角△ABC中，
a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)，
由正弦定理得sin A＝2sin Bsin Ccos C＋2sin C·(sin A－sin Bcos C)＝2sin Asin C，而sin
A>0，
所以sin C＝.
(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，
sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝＝，
即＝＝＝5，解得CD＝，
AC＝，
所以CD＝，AC＝.
10．周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市
广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题．发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天
线等5个主要部分组成(如图1所示)，其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意．国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可
的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像．章阳同学在地面点 A处测得塔楼B
的仰角为45°，无人机在A处沿仰角为α的方向飞行60米后到达D处，测得DB＝DA，且
A，B，C，D，E五个点都在同一平面内(如图2所示)．
图1 图2
(1)求塔楼到地面的高度BE；
(2)如果广播电视塔的天线BC的长是106米，无人机从A到D的飞行过程中，在点P处观看
天线BC的视角为θ(即∠CPB＝θ)，为了拍摄到天线BC最为清晰的图象，要求视角θ最大．
若点P处距离地面的高度PF为x米，那么x为何值时，无人机拍摄到天线BC的图象最清晰？
解 (1)因为tan α＝，所以sin α＝，cos α＝.
又∠BAE＝45°，∠DAE＝α，所以∠BAD＝45°－α.
连接AB，过点D作DT⊥AB，垂足为T，如图所示．
则AB＝2AT＝2ADcos(45°－α)＝2×60×(cos 45°cos α＋sin 45°sin α)＝120××＝180.
在Rt△ABE中，因为∠BAE＝45°，
所以BE＝AB＝180，
即塔楼到地面的高度BE是180米．
(2)过P作PM⊥BE，垂足为M，过D作DG⊥AE，垂足为G，如图所示．
因为PF＝x，所以AF＝2x，
因为P在AD上，DG＝ADsin α＝60×＝60，所以x∈[0，60]．所以tan∠BPM＝＝，tan∠CPM＝＝.
所以tan θ＝tan(∠CPM－∠BPM)
＝
＝
＝，x∈[0，60]．
令t＝180－2x，
则t∈[60，180]，x＝.
所以tan θ＝
＝＝
≤＝
＝，
当且仅当t＝，
即t＝84∈[60，180]时取等号．
此时，x＝＝90－42，
因此，当x＝90－42时，视角θ最大，无人机拍摄到天线BC的图象最清晰．
