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专题 1.1 常见的模型
角平分线性质模型
【例1】如图所示， 为 平分线上的点， 于 ， ，则点 到
的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点 作 ，
是 的平分线，点 在 上，且 ， ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中 ， 是 的平分线，若 ，
，则
A．56 B．28 C．14 D．12【解答】解：如图，过点 作 于 ，
是 的平分线， ，
，
的面积 ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中， 是 的平分线， ，垂足是 ．若
， ，则 为
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解： 是 平分线， ， ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图， 中， ， 平分 ，交 于点 ，
，则 的长为A．4 B．8 C．3 D．6
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
， 平分 ，
，
，
解得： ，
．
故选： ．
【变式训练4】如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点
．若 ， ，则 的长为
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解： 是 的平分线， ， ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练5】如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则
点 到 边的距离为A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：作 于 ，
是 的角平分线， ， ，
，
故选： ．
【变式训练6】在 中， ， 的角平分线 交 于点 ， ，
，则点 到 的距离是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： ， ，
，
由角平分线的性质，得点 到 的距离 ，
故选： ．
【变式训练7】如图， 是 的角平分线， ．若 ， ，则点
到 的距离是 ．【解答】解：过点 作 于 ，
在 中， ， ， ，
则 ，
是 的角平分线， ， ，
，
，
，
解得： ，即点 到 的距离是 ，
故答案为： ．
角平分线垂直平分线模型
【例2】如图， 的面积为 ， 平分 ， 于 ，连接 ，则
的面积为A． B． C． D．
【解答】解：延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图， 是 的平分线， 于 ，连接 ，若 的面积
为 ，则 的面积为
A． B． C． D．不能确定
【解答】解：如图，延长 交 于 ，
平分 ，，
，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中，点 是 边上的中点， 平分 ，
于点 ，若 ， ，则 的长为
A．4 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，延长 交 于 ，
在 和 中，
，
，
， ，
又 是 的边 的中点，
是 的中位线，
，，即 ．
．
故选： ．
【变式训练3】如图所示， 是 的边 的中点， 平分 ， 于点
，且 ， ，则 的长是
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：延长 交 于 ，
在 和 中，
，
，
， ，
是 的边 的中点，
，
，
故选： ．【变式训练4】如图： 为 内一点， 平分 ， ， ，若
， ，则 的长为
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：延长 交 于 ，如图，
平分 ， ，
为等腰三角形，
， ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练5】在 中， ， 是 的角平分线， 于 ，
若 ， ， ，则 的周长是 4 2 ．
【解答】解：如图，延长 交 于 ，是 的角平分线，
，
，
，
在 与 中，
，
，
， ． ，
，
， ，
，
，
，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
，
故答案为：42
【变式训练6】如图， 的面积为 ， 平分 ，且 于 ，则
的面积为 8 ．【解答】解：延长 交 于点 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
故答案为：8
平行平分等腰模型
【例3】如图． 中， 平分 ， 平分 ，过 作 ，若
， ，则 的周长为A．14 B．22 C．18 D．16
【解答】解： 平分 ，
，
平分 ，
，
，
， ，
， ，
， ，
的周长 ，
， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图， 中， ， ， 平分 ， 平分 ，
经过点 ，与 ， 相交于点 ， ，且 ，则 的周长为
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
， ，
， ，， ，
， ，
的周长 ．
故选： ．
【变式训练2】如图， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 ，交
于 ，交 于 ，下列结论正确的是
① ② ， 都是等腰三角形
③ ④ 的周长为 ．
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【解答】解： 平分 ，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
， 都是等腰三角形；①不正确，②正确；
，③正确；
的周长 ，④正确
故选： ．
【变式训练3】如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，
，交 于点 ，若 ，则 长为A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： 中， ， ， ，
， ，
平分 ，
，
，
， ，
， ，
，
．
故选： ．
【变式训练4】如图， ，点 是 角平分线上一点，过点 作 平行
交 于点 ， 于点 ，若 ．
（1）求证： 是等腰三角形．
（2）求 的长．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
又 ，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：过点 作 ，垂足为 ，
平分 ， ，
，
又 ，，
，
，
，
平分 ， ， ，
，
即 ．
【变式训练5】如图①，在 中， ， 、 的平分线交于 点，过
点作 交 、 于 、 ．试回答：
（1）如图①，其中共有 5 个等腰三角形，并猜想： 、 、 之间的关系是
．
（2）如图②，若 ，图②中共有 个等腰三角形，在第（1）问中 、 、
间的关系还存在吗？请说明理由．
【解答】解：（1）图中是等腰三角形的有： 、 、 、 、 共
5个；
、 、 的关系是 ．
理由如下：
、 平分 、 ，
， ，
，
， ，即 ， ，
；
故答案为：5； ；
（2）当 时， 、 仍为等腰三角形，共2个；（1）的结论仍然成立，
、 平分 、 ，
， ，
，
， ，
即 ， ，
；
故答案为：2
一线三垂直模型
【例4】如图， 为线段 上一点， ， ，
，则 的长度为
A．12 B．10 C．8 D．6
【解答】解： ，
， ，
，
， ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练1】如 图 ， ， ， ， ， ，，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，把一块直角三角尺 的直角顶点 放置在水平直线 上，在
中， ， ，试回答下列问题：
（1）若把三角尺 绕着点 按顺时针方向旋转，当 时， 4 5 度；
（2）在三角尺 绕着点 按顺时针方向旋转过程中，分别作 于 ，
与 ，若 ， ，求 ．
（3）三角尺 绕着点 按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则 、
与 之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在 中， ， ，
，
，
，
故答案为45；
（2） 于 ， 于 ，
， ．
，
又 ，
，
同理： ，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3） ，理由：
同（2）的方法得， ，
， ，
．【变式训练3】如图1， ， 于点 ， 是线段 上的点，
．
（1）判断 与 的数量关系为 相等 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点 在线段 的延长线上，过点 在 的另一侧作 ，并截取
，连接 ， ， ，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
即 ，
，
故答案为：相等，垂直；
（2）成立，理由如下：
，
，
，
，
，
在 与 中，，
，
， ，
，
，
即 ，
．
手拉手模型
【例5】如图， 中， ，以 为边向外作等边 ，延长 到 ，
使 ，连接 ．
（1） 可以由 经过怎样的旋转得到，并说明理由；
（2）记 ， 相交于点 ．
①求证： ；
②已知等边 的边长为6， ，求 的长．
【解答】（1）解： 可以由 顺时针旋转 得到．
理由：在等边 中， ， ，
，
，
，
，
即 ，
，
又 ， ，，
，
，
，
即 ，
可以由 顺时针旋转 得到；
（2）①证明：由（1）得 ，
， ，
是等边三角形，
；
② ，
，
由①得 ，
，
，
，
等边 的边长为6，
，
，
，
．
【变式训练1】如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为
边上一点，若 ， ，则 的长为
A．12 B．13 C．12 D．25【解答】解： 和 都是等腰直角三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图1， ， ， ．
（1） 、 相交于点 ．
①求证： ；
②用含 的式子表示 的度数；
（2）如图2，点 、 分别是 、 的中点，连接 、 ，判断 的形状，并
加以证明；
（3）如图3，在 中， ， ， ，以 为直角边， 为直角
顶点作等腰 ，则 5 （直接写出结果）．
【解答】（1）①证明：如图1， ，
，在 和 中，
，
，
；
②解：如图1， ，
，
，
，
；
（2） 为等腰三角形，理由如下：
如图2，由（1）可得， ，
， 的中点分别为点 、 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
为等腰三角形．（3）将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，
则 ， ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
．
故答案为：5
【变式训练3】如图， 、 都是等边三角形，直线 与直线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．【解答】（1）证明： 、 都是等边三角形，
， ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
（2）解： ，
，
．
腰高和差模型
【例6】如图， 是等边三角形， ，点 是 边上任意一点， 于点
， 于点 ，则 的长是
A．5 B．6 C．8 D．10
【解答】解：设 ，则 ，是等边三角形，
，
， ，
同理可得， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，已知 中， ， ， ， ．
求证： ．
【解答】证明：连接 ．
则 的面积 的面积 的面积，
，
，
．
【变式训练2】如图，已知等边 的周长是 12，点 是三角形内的任意一点，
， ， ，则 的值是A．12 B．8 C．4 D．3
【解答】解：延长 、 分别交 、 于 、 ，
则由 ， ， ，可得，
四边形 ， 是平行四边形，
， ，
又 是等边三角形，
又有 ， 可得 ， 是等边三角形，
， ，
又 的周长为12，
，
故选： ．
【变式训练3】如图， 是等边三角形 内任意一点，过点 作 ， ，
分别交 ， ， 于点 ， ， ，已知等边三角形 的周长18，则
6 ．
【解答】解： ， ， ，
， ，四边形 和四边形 都是平行四边形，
三角形 、 、 是等边三角形， ， ，
， ，
，
的周长为18，
．
故答案为：6
【变式训练4】老师给出了下面的题目：如图①，在 中， ， 为 上一点，
作 ， ， ，垂足分别为 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）如图②，将“在 中， ， 为 上一点”改成“ 为等边三角形
内一点”，作 ， ， ， ，垂足分别为 、 、
、 ．有类似结论吗？请写出结论并证明．
【解答】（1）证明：如图1， ， ， ，
， ， ．
又 ，
．
，；
（2）解：有结论 ，
理由是：如图2，接 、 、 ，
，
为等边三角形，
，
．
【变式训练5】阅读材料：
如图， 中， ， 为底边 上任意一点，点 到两腰的距离分别为 ， ，
腰上的高为 ，连接 ，则 ，即： ，
（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 的位置可以由“在底边上任一点”放
宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边 内任意一点 到各边的距离分别为 ，
， ，等边 的高为 ，试证明 （定值）．
（2）理解与应用
中， ， ， ， ， 内部是否存在一点 ，点 到
各边的距离相等？ 存在 （填“存在”或“不存在” ，若存在，请直接写出这个距离的 值 ， ． 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．
【解答】证明：（1）连接 ， ， ．
则 ，
即 ，
是等边三角形，
，
（定值）；
（2）存在．
．
【变式训练6】 问题提出
学习了等腰三角形的性质和特殊四边形的性质和判定方法后，书本上有这样一个习题，要
求证明等腰三角形底边上的一点到两腰的距离和为定值，我们继续对“等腰三角形底边延
长线上的一点到腰的距离与腰的关系”进行研究．初步思考 我们不妨将问题用符号语言表示为：已知如图，在等腰 中， ，
然后分点 在 上，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上三种情况进行研究．
深入探究
第一种情况：
若点 是底边 上的任意一点， 于点 ， 于点 ，求证：
等于一腰上的高．
第二种情况：
若点 是底边 延长线上的任意一点， 交 的延长线于点 ， 于点
， 还为定值吗？如果不为定值，探究 ， 与等腰三角形一腰上的高的关
系．
第三种情况：
若点 是底边 延长线上的任意一点， 于点 ， 交 的延长线于点
， 还为定值吗？如果不为定值，探究 ， 与等腰三角形一腰上的高的关
系．
结论 根据你探究的结果，你能归纳出等腰三角形的一个性质吗？
【解答】解：第一种情况：
如图1，连接 ，过 作 与 ，
，
， ，
，
，
，；
第二种情况： ．
证明：如图2所示，过 作 与 ，过 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 为长方形，
，
，
，
即 ；
第三种情况： ．
证明：如图3所示，过 作 与 ，过 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 为长方形，
，
，
，
即 ．
结论：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离的和等于腰上的高．梯形底角角平分线模型
【例7】如图，在梯形 中， ， 是 的中点， 平分 ，
，则 是
A． B． C． D．
【解答】解：
， ，
，
平分 ，
，
，
，
过 作 于 ，
， 平分 ，
，
为 中点，，
，
， ，
，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，在直角梯形 中， ， ， ，点 在
边上，且 平分 ， 平分 ，则点 到 的距离为 4 ．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
， ，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
即点 到 的距离为4
故答案为：4
【变式训练2】点 是 的中点， 平分 ．
（1）如图1，若 ，求证： 平分 ；
（2）如图1，若 ， ，求 的度数；
（3）如图2，若 ，求证： ．【解答】（1）证明：如图1，延长 交 的延长线于 ，
，
，
，
又 是 的中点，
，
，
，即 为 的中点，
平分 ，
，
，
，
平分 ；
（2）解：由（1）得 平分 ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
；
（3）证明：如图2，在 上截取 ，连接 ，平分 ，
，
又 ，
，
， ，
又 是 的中点，
，
，
，
， ，
，
又 ，
，
，
．
【变式训练3】如图所示，若 ， 、 分别平分 和 ， 于
， 于点 ，交 于点 ，且 ， ，则梯形 的面积是 ．
【解答】解： 平分 ， ， ，
，
， ，
，
平分 ， ， ，
，
，
则梯形 的面积 ，
故答案为： ．
【变式训练4】如图，已知， ，点 是 边上的中点， 平分 ，
结论：① 平分 ；② ；③ ；④ ；⑤
（1）你认为正确的结论是 ①②④⑤ （写番号）
（2）选择你认为正确的一个结论证明．【解答】解：（1）如图，过 作 于点 ，
平分 ， ，
，
又 为 中点，
，
，
，
平分 ，
①正确；
，
，
，
，
，
，即 ，
②正确；
若 则 ，则 ，与条件不相符合，
③不正确；
在 和 中，
，
，
同理可得 ，，
⑤正确；
又 ， ，
，
④正确；
综上可知正确的为①②④⑤，
故答案为：①②④⑤；
（2）选①证明：
如图，过 作 于点 ，
平分 ， ，
，
又 为 中点，
，
，
，
平分 ．
【变式训练5】如图， ，点 是 的中点， 平分 ．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）若 ，求证： ．【解答】（1）证明：过点 作 于点 ，则 ，
平分 ，
，
点 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的平分线．
（2）证明： ， ，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
．
