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专题 1.1 多结论问题
【例题精讲】
【例1】如图所示，矩形 中， 平分 交 于 ， ，则下面的
结论：① 是等边三角形；② ；③ ；④ ，其中
正确结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形， ①正确；
四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ②错误；
，
，
平分 ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
， ③正确；
，
根据等底等高的三角形面积相等得出 ， ④正确；
故选： ．
【题组训练】
1．如图， 已知正方形 ，点 是 边的中点， 与 相交于点 ，
连接 ，下列结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的是A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ， ，
在 和 中，
，
，
，故①正确，
， ，
，
， ， ，
故②③错误④正确，
故选： ．2．如图，在正方形 中， 为对角线， 为 上一点，过点 作 ，与
、 分别交于点 ， ， 为 的中点，连接 ， ， ， ．
下列结论：
① ； ② ； ③ ； ④ 若 ， 则
，其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① 四边形 为正方形， ，
， ， ，
为等腰直角三角形，
，
， ，
，故①正确；
② 为等腰直角三角形， 为 的中点，
， ，
在 和 中， ，，
，
，故②正确；
③ 为等腰直角三角形， 为 的中点，
， ，
在 和 中， ，
，故③正确；
④ ，
，
为等腰直角三角形， 为 的中点，
， ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，为等腰直角三角形，
过 点作 垂直于 于 点，如图所示：
设 ，则 ， ， ，
则 ， ，
，故④正确；
故选： ．
3．如图，在正方形 中， 为 的中点， 于 ，交 于点 ，交
于点 ，连接 、 ．有如下结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：① 是正方形，， ,
，
，
,
，
在 和 中，
，
，
故本选项正确；
② ，
，
，
，
在 和 中
，
，
，，
，
，
错误，
故本选项错误；
③ ，
， ，
，
又 ，且四边形 为正方形，
，
，
，
故本选项正确；
④连接 ，
设 ，
则 ， ，
，
，，
故本选项正确；
⑤延长 与 交于 ，则 ，
根据②的结论 为 中点，即 ，
在 与 中，
，
，
，又 ，
，
又 ， ，
，
，
是直角三角形，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
，
因此 ，故选项正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选： ．4．如图，菱形 中， ， 与 交于点 ， 为 延长线上的一
点，且 ，连接 分别交 ， 于点 、 ，连接 ，则下列结论：
① ；②与 全等的三角形共有5个；③ ；④由点 、 、
、 构成的四边形是菱形．
其中正确的是
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ， ， ，， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的中位线，
，
①正确；
， ，
四边形 是平行四边形，
，
、 是等边三角形，
， ，
，四边形 是菱形，
④正确；
，由菱形的性质得： ，
在 和 中，
，
，
，
②不正确；
， ，
是 的中位线，
， ，
， ，
的面积 的面积， 的面积 的面积的4倍， ，
的面积 的面积的2倍，
又 的面积 的面积 的面积，
；
③不正确；
正确的是①④．
故选： ．
5．如图，已知 、 分别为正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点
， 为 的中点，则下列结论：① ；② ；③；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数是
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：在正方形 中， ， ，
、 分别为边 ， 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
是 的中线，，
，故②错误；
， ，
，
，
， ，
，故④正确；
设正方形 的边长为 ，则 ，
在 中， ，
， ，
，
，
即 ，
解得 ，
，
，故⑤正确；
如图，过点 作 于 ，则 ，
即 ，
解得 ， ，
，
根据勾股定理， ，
过点 作 ，过点 作 于 ，
则 ， ，
在 中， ，
根据正方形的性质， ，
，
，
，
是直角三角形， ，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选： ．6．如图，在矩形 中， 为 中点， 过 点且 分别交 于 ，
交 于 ，点 是 中点且 ，则下列结论正确的个数为
（1） ；（2） ；（3） 是等边三角形；（4）
．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ，点 是 中点，
，
，
，
，
是等边三角形，故（3）正确；
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，
为 中点，
，，
在 中，由勾股定理得， ，
四边形 是矩形，
，
，故（1）正确；
， ，
，故（2）错误；
，
，
，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．
故选： ．
7．如图，在矩形 中， ， 的平分线交 于点 ， 于
点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，
其中正确的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解： 在矩形 中， 平分 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；，
， （对顶角相等），
，
，
， ，
，
，
，故②正确；
，
，
在 和 中，
，
，
， ，故③正确；
，
． 故 ④
正确；， ，
不是等边三角形，
，
即 ，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选： ．
8．如图，矩形 中， 为 中点，过点 的直线分别与 、 交于点 、
，连接 交 于点 ，连接 、 ．若 ， ，则下列结
论：① 垂直平分 ；② ；③ ；④ ．其中
正确结论的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：① 矩形 中， 为 中点，
，
，
是等边三角形，，
，
垂直平分 ，
故①正确；
② 为等边三角形， ，
， ，
，
，
与 不全等；
故②错误；
③易知 ， ，
， ，
， ，
，
，
故③正确；
④易知 ，
，
，
，，
， ，
，
，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选： ．
9．如图，在菱形 中， 是 边上一点，且 ，有下列结论：①
；② 是等边三角形；③ 是等腰三角形；④ ，其中
结论正确的个数是
A．3 B．4 C．1 D．2
【解答】解：连接 ， 四边形 是菱形，
， ， ，，
， ，
同理： ，
即 ，
是等边三角形，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，故①正确；
，
是等边三角形，
②正确；
，
，
，；
故④正确．
，
，
同理： ，
但 不一定等于 ．
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选： ．
10．在正方形 中， 为 的中点， 的延长线于点 ，连接 ，
交 于点 ，连接 、 ．下列结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的结论为
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【解答】解： 正方形 ， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
①正确；
， ，
，
取 的中点 ，连接 ， ，如图：
， ，
，
，
，
，，
， ，
，
，
②正确；
，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
③正确；④正确；
故选： ．
11．已知菱形 ， 、 是动点，边长为4， ， ，则下列结论
正确的有几个① ；② 为等边三角形；③ ；④若 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：① 四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
， 是等边三角形，
，
， ，
，正确；
② ，
， ，
，
，
是等边三角形，
故②正确；③ ；
，
，
故③正确；
④过点 作 交 于点 ，
易证 是等边三角形，则 ，
，
则 ．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选： ．
12．如图，已知 ， 分别为正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点
， 为 的 中 点 ， 则 下 列 结 论 ： ① ， ② ， ③
，④ ．其中正确结论的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：在正方形 中， ， ，
、 分别为边 ， 的中点，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
故①正确；
是 的中线，
，
，
故②错误；
设正方形 的边长为 ，则 ，
在 中， ，， ，
，
，即 ，
解得： ，
，
，
故③正确；
如图，过点 作 于 ，
则 ，
即 ，
解得 ， ，
，
根据勾股定理， ，
， ，
．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选： ．13．如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， 与 相
交于点 ，设 ．得到以下结论：
① ；② ；③
则上述结论正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：在 和 中
①正确；如图延长 交 延长线于点 ，
在 和 中
，
为 斜边 上的中线，是斜边的一半，即 ，
②正确；
③正确
故选： ．
14．如图，分别以直角 的斜边 ，直角边 为边向 外作等边 和等边， 为 的 中 点 ， 与 交 于 点 ， 与 交 于 点 ，
， ．给出如下结论：
① ；②四边形 为菱形；③ ；④ ；
其中正确结论的是
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解： 是等边三角形，
， ，
，
， ，
为 的中点，
，
，
，
，
，，故①正确，
， ，
，
是 的中点，
，
， ，
，故④说法正确；
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，四边形 为平行四边形，
，
四边形 不是菱形；
故②说法不正确；
，
，
，
则 ，故③说法正确，
故选： ．
