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专题 1.1 常见的模型
角平分线性质模型
【例1】如图所示， 为 平分线上的点， 于 ， ，则点 到
的距离为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 中 ， 是 的平分线，若 ，
，则
A．56 B．28 C．14 D．12【变式训练2】如图，在 中， 是 的平分线， ，垂足是 ．若
， ，则 为
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练3】如图， 中， ， 平分 ，交 于点 ，
，则 的长为
A．4 B．8 C．3 D．6
【变式训练4】如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点
．若 ， ，则 的长为
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练5】如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则
点 到 边的距离为A．1 B． C．2 D．3【变式训练6】在 中， ， 的角平分线 交 于点 ， ，
，则点 到 的距离是
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练7】如图， 是 的角平分线， ．若 ， ，则点
到 的距离是 ．
角平分线垂直平分线模型
【例2】如图， 的面积为 ， 平分 ， 于 ，连接 ，则
的面积为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图， 是 的平分线， 于 ，连接 ，若 的面积
为 ，则 的面积为A． B． C． D．不能确定【变式训练2】如图，在 中，点 是 边上的中点， 平分 ，
于点 ，若 ， ，则 的长为
A．4 B．6 C．7 D．8
【变式训练3】如图所示， 是 的边 的中点， 平分 ， 于点
，且 ， ，则 的长是
A．12 B．14 C．16 D．18
【变式训练4】如图： 为 内一点， 平分 ， ， ，若
， ，则 的长为
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练5】在 中， ， 是 的角平分线， 于 ，
若 ， ， ，则 的周长是 ．【变式训练6】如图， 的面积为 ， 平分 ，且 于 ，则
的面积为 ．
平行平分等腰模型
【例3】如图． 中， 平分 ， 平分 ，过 作 ，若
， ，则 的周长为
A．14 B．22 C．18 D．16
【变式训练1】如图， 中， ， ， 平分 ， 平分 ，
经过点 ，与 ， 相交于点 ， ，且 ，则 的周长为
A．13 B．14 C．15 D．16【变式训练2】如图， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 ，交
于 ，交 于 ，下列结论正确的是
① ② ， 都是等腰三角形
③ ④ 的周长为 ．
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【变式训练3】如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，
，交 于点 ，若 ，则 长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练4】如图， ，点 是 角平分线上一点，过点 作 平行
交 于点 ， 于点 ，若 ．
（1）求证： 是等腰三角形．
（2）求 的长．【变式训练5】如图①，在 中， ， 、 的平分线交于 点，过
点作 交 、 于 、 ．试回答：
（1）如图①，其中共有 个等腰三角形，并猜想： 、 、 之间的关系是
．
（2）如图②，若 ，图②中共有 个等腰三角形，在第（1）问中 、 、
间的关系还存在吗？请说明理由．
一线三垂直模型
【例4】如图， 为线段 上一点， ， ，
，则 的长度为
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式训练1】如 图 ， ， ， ， ， ，
，则 等于A． B． C． D．
【变式训练2】如图，把一块直角三角尺 的直角顶点 放置在水平直线 上，在
中， ， ，试回答下列问题：
（1）若把三角尺 绕着点 按顺时针方向旋转，当 时， 度；
（2）在三角尺 绕着点 按顺时针方向旋转过程中，分别作 于 ，
与 ，若 ， ，求 ．
（3）三角尺 绕着点 按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则 、
与 之间有什么关系？请说明理由．【变式训练3】如图1， ， 于点 ， 是线段 上的点，
．
（1）判断 与 的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点 在线段 的延长线上，过点 在 的另一侧作 ，并截取
，连接 ， ， ，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．手拉手模型
【例5】如图， 中， ，以 为边向外作等边 ，延长 到 ，
使 ，连接 ．
（1） 可以由 经过怎样的旋转得到，并说明理由；
（2）记 ， 相交于点 ．
①求证： ；
②已知等边 的边长为6， ，求 的长．
【变式训练1】如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为
边上一点，若 ， ，则 的长为
A．12 B．13 C．12 D．25【变式训练2】如图1， ， ， ．
（1） 、 相交于点 ．
①求证： ；
②用含 的式子表示 的度数；
（2）如图2，点 、 分别是 、 的中点，连接 、 ，判断 的形状，并
加以证明；
（3）如图3，在 中， ， ， ，以 为直角边， 为直角
顶点作等腰 ，则 （直接写出结果）．【变式训练3】如图， 、 都是等边三角形，直线 与直线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
腰高和差模型
【例6】如图， 是等边三角形， ，点 是 边上任意一点， 于点
， 于点 ，则 的长是
A．5 B．6 C．8 D．10【变式训练1】如图，已知 中， ， ， ， ．
求证： ．
【变式训练2】如图，已知等边 的周长是 12，点 是三角形内的任意一点，
， ， ，则 的值是
A．12 B．8 C．4 D．3
【变式训练3】如图， 是等边三角形 内任意一点，过点 作 ， ，
分别交 ， ， 于点 ， ， ，已知等边三角形 的周长18，则
．【变式训练4】老师给出了下面的题目：如图①，在 中， ， 为 上一点，
作 ， ， ，垂足分别为 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）如图②，将“在 中， ， 为 上一点”改成“ 为等边三角形
内一点”，作 ， ， ， ，垂足分别为 、 、
、 ．有类似结论吗？请写出结论并证明．【变式训练5】阅读材料：
如图， 中， ， 为底边 上任意一点，点 到两腰的距离分别为 ， ，
腰上的高为 ，连接 ，则 ，即： ，
（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 的位置可以由“在底边上任一点”放
宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边 内任意一点 到各边的距离分别为 ，
， ，等边 的高为 ，试证明 （定值）．
（2）理解与应用
中， ， ， ， ， 内部是否存在一点 ，点 到
各边的距离相等？ （填“存在”或“不存在” ，若存在，请直接写出这个
距 离 的 值 ， ． 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．【变式训练6】 问题提出
学习了等腰三角形的性质和特殊四边形的性质和判定方法后，书本上有这样一个习题，要
求证明等腰三角形底边上的一点到两腰的距离和为定值，我们继续对“等腰三角形底边延
长线上的一点到腰的距离与腰的关系”进行研究．
初步思考 我们不妨将问题用符号语言表示为：已知如图，在等腰 中， ，
然后分点 在 上，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上三种情况进行研究．
深入探究
第一种情况：
若点 是底边 上的任意一点， 于点 ， 于点 ，求证：
等于一腰上的高．
第二种情况：
若点 是底边 延长线上的任意一点， 交 的延长线于点 ， 于点
， 还为定值吗？如果不为定值，探究 ， 与等腰三角形一腰上的高的关
系．
第三种情况：
若点 是底边 延长线上的任意一点， 于点 ， 交 的延长线于点
， 还为定值吗？如果不为定值，探究 ， 与等腰三角形一腰上的高的关
系．
结论 根据你探究的结果，你能归纳出等腰三角形的一个性质吗？梯形底角角平分线模型
【例7】如图，在梯形 中， ， 是 的中点， 平分 ，
，则 是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在直角梯形 中， ， ， ，点 在
边上，且 平分 ， 平分 ，则点 到 的距离为 ．
【变式训练2】点 是 的中点， 平分 ．
（1）如图1，若 ，求证： 平分 ；
（2）如图1，若 ， ，求 的度数；
（3）如图2，若 ，求证： ．【变式训练3】如图所示，若 ， 、 分别平分 和 ， 于
， 于点 ，交 于点 ，且 ， ，则梯形 的面积
是 ．
【变式训练4】如图，已知， ，点 是 边上的中点， 平分 ，
结论：① 平分 ；② ；③ ；④ ；⑤
（1）你认为正确的结论是 （写序号）
（2）选择你认为正确的一个结论证明．【变式训练5】如图， ，点 是 的中点， 平分 ．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）若 ，求证： ．
