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专题 1.3 彩带模型
1．如图所示，有一根高为 的木柱，它的底面周长为 ，在准备元旦联欢晚会时，
为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠
到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为
A． B． C． D．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的对角线长，
圆柱高2.1米，底面周长0.4米，
解得 ，
所以，彩带长至少是 ．
故选： ．
2．如图，为了庆祝“五 一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的
底面周长为 ，高为 ．如果要求彩带从柱子底端的 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子
顶端的 处（线段 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为
A． B． C． D．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，圆柱高3米，底面周长1米，
，
所以，彩带长至少是 ．
故选： ．
3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 点绕到正上方 点共四圈，已知易拉
罐底面周长是 ，高是 ，那么所需彩带最短的是
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 处绕易拉罐4圈后到达顶端的 处，将易
拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
易拉罐底面周长是 ，高是 ，
，
所以彩带最短是 ．
故选： ．4．七年级手工小组用彩带给如图所示的图片制作边框，已知 ， ，则制作一
个边框需要彩带的长度是
A．5 B．12 C．13 D．30
【解答】解： ，
制作一个边框需要彩带的长度是 ，
故选： ．
5．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩
灯带需要从 点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的 点，如图所示，若每根柱子的底面周
长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为
A． 米 B． 米 C． 米 D．5米
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
圆柱高3米，底面周长2米，
，
，
每根柱子所用彩灯带的最短长度为 ．
故选： ．6．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，
每根柱子的彩灯带需要从 点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的 点，如图所示，若每根
柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为
A． 米 B． 米 C． 米 D．5米
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
圆柱高3米，底面周长2米，
，
（米 ，
每根柱子所用彩灯带的最短长度为 ．
故选： ．
二．填空题（共8小题）
7．如图，在一根长 的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为 ，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为 ．
【解答】解：如下图，彩色丝带的总长度为 ，
故答案为： ．
8．为了庆祝“元旦”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长
为 ，高为 ．如果要求彩带从柱子底端的 处绕柱子1圈后到达柱子顶端的 处
（线段 与地面垂直），那么彩带的长度最短为 ；如果绕柱子 圈，则彩
带的长度至少为 ．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形．
如果绕柱子1圈时，则有螺旋线长为1个长方形的对角线长，设此时彩带的长为 ．
圆柱的底面周长为 ，高为 ，
，
解得 ．
所以，如果绕柱子1圈，则彩带的长度至少为 ；
如果绕柱子 圈时，则有螺旋线长为 个长方形并排后的长方形的对角线长，设此时彩带
的长为 ．
圆柱的底面周长为 ，高为 ，
，解得 ．
所以，如果绕柱子 圈，则彩带的长度至少为 ．
故答案为 ； ．
9．有一个圆柱体礼盒，高 ，底面半径为 ．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，
若彩带一端粘在 处，另一端绕礼盒侧面3周后粘贴在 处 在同一条母线上），则彩
带最短为 ．
【解答】解：展开后图形是
，在 中， ，由勾股定理得： ，
彩带最短是 ，
故答案为： ．
10．为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长
为 ，高为 ．如果要求彩带从柱子底端的 处绕柱子4圈后到达柱子顶端的 处，
那么至少应购买彩带 1 0 米．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形
的对角线长，
圆柱高 ，底面周长 ，
，
所以，彩带长至少是 ．
故答案为：10．
11．为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长
为 ，高为 ．如果要求彩带从柱子底端的 处绕柱子4圈后到达柱子顶端的 处，
那么至少应购买彩带 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
圆柱高3米，底面周长1米，
，
所以，彩带长至少是 ．
故答案为：5．
12．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从 点绕到正上方的 点，已知圆柱底
面周长是 ，高为 ，则所需彩带最短是 1 3 ．
【解答】解：如图，将这个圆柱体侧面展开得，
由勾股定理得，
，
故答案为：13．
13．为了庆祝“元旦”，学校准备在校园操场的圆柱体柱子上贴彩带（如图），已知柱子
的底面半径为 ，高为 ． 取 如果要求彩带从柱子底端的 处绕柱子4圈后到达
柱子顶端的 处，则彩带的长度至少约为 1 5 ．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
圆柱高9米，底面周长3米，
， ，
，
，
所以，彩带长 ．
故答案为：15．
14．如图是一个棱长为 的正方体盒子，现需从底部 点处起，沿盒子的三个表面到顶
部的 点处张贴一条彩色纸带（纸带的宽度忽略不计），则所需纸带的最短长度是
．
【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 即为最短路
线．展开后由勾股定理得： ，
故 ．
故答案为 ．
三．解答题（共6小题）
15．为筹备元旦晚会，同学们准备在教室的灯管上缠绕 5圈彩带，如图．若灯管长是
，灯管截面周长是 ，彩带至少应剪多长？
【解答】解：如图，展开后可得 ， ，
．
答：彩带至少应剪 ．
16．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为 的正方形，高为 ．
现有一根彩带，从底面 点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达 点（假设彩带完美贴合
四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？
（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外 点发现容器的内部距离顶部 处有一滴蜂蜜，它
想以最短的路程到达 处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？
（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）
【解答】解：（1）如图，
将长方体的侧面沿 展开，取 的四等分点 、 、 ，取 的四等分点 、 、
，连接 ， ， ， ，
则 为所求的最短彩带长，
， ，
，
答：彩带的长度是 ；
（2）如图，将四棱柱展开，找到 的对称点 ，连接 ，则 即为蚂蚁走的最段路程，
在直角 中， ， ，
由勾股定理得： ，
则 ，
答：蚂蚁走的最短路程是 ．
17．如图所示，有一根高为 的木柱，它的底面周长为 ，为了营造喜庆的气氛，老
师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕 7圈，一直缠到起点的正上方为止．问：
小明至少需要准备一根多长的彩带？
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的
对角线长，
圆柱高2米，底面周长0.3米，解得 ，
彩带长至少是 ．
答：彩带长至少是 ．
18．一根长 的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周
长为 ，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，问：丝带共有多长？
【解答】解：如下图，彩色丝带的总长度为 ，
答：丝带共有 ．
19．庆安中学要举办第四届运动会，现需装饰一根高为 9米，底面半径为 米的圆柱，如
图，点 、 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 、 在同一母线上．用一根彩带（宽度
不计）从点 顺着圆柱侧面绕3圈到点 ，那么这根彩带的长度最短是多少？
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示，
用一棉线从 顺着圆柱侧面绕3圈到 的运动最短路线是： ，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成 3个小长方形， 沿着3个长方形的对
角线运动到 的路线最短，
圆柱底面半径为 ，
长方形的宽即是圆柱体的底面周长 ，
又 圆柱高为 ，
小长方形的一条边长是 ，根据勾股定理求得 ，
，
答：这根棉线的长度最短是 ．
20．某单位大门口有个圆形柱子，已知柱子的直径为 、高为 ，为庆祝国庆节，单位
想在柱子上挂一根彩带．（以下计算规定
（1）当彩带从 点开始绕柱子1圈后，挂在点 的正上方点 处，求彩带最短需要多少
米？
（2）当彩带从 点开始绕柱子4圈后，挂在点 的正上方的点 处，求彩带最短又需要
多少米？
【解答】（1）解：如图、在直角 中， ，
、 ，答：彩带的最短长度为 ；
（2）如图，在直角 中， ，
、 ，
答：彩带的最短长度为 13 ．
