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专项 09 勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3 大类
型）
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解
【典例1】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点
A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
【变式1-1】如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）
π
A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定
【变式1-2】（2021春•济南月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的
高为15cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外
壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，若该圆柱底面周长为40cm，则蚂蚁吃到蜂
蜜需爬行的最短路径为（ ）
A．20cm B．18cm C．25cm D．40cm
【典例2】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点
B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最
短距离是 cm．
【变式2-1】正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（ ）
A． B． C．5 D．2+
【变式2-2】如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
【 典例3】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2米、0.3
米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
【变式3】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 7寸、5寸和3寸，A和
B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走
的最短路线长度是 寸．1．如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了
一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
2．如图，一座桥横跨一河，桥长40m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原
因到达南岸后，发现已偏离桥南头9m，则小船实际行驶的距离为 m．
3．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，
那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
4．如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽
快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 cm．
5．一只蚂蚁从长2cm、宽为1cm、高为4cm．的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
6.有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，
它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程
是 厘米（ 取3）．
π
7．如图，是一个长方体盒子，长70cm，宽和高都是50cm，在A处有一只蚂蚁想吃到B处
的食物，若它爬行的速度为1.3cm/秒，则它最少爬行 秒钟才能吃到食物．
8．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A
处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂
蚁吃到食物最少需要 min．（ 取3）
π
9．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 的端点A到达A ，若圆柱底面半径为 ，
1 1
高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．10．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？
（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
