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专项 09 勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3 大类
型）
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解
【典例1】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点
A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD＝10× ＝5（cm）．
又因为CD＝AB＝12cm，
所 以 AC ＝ （cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
故选：B．
【变式1-1】如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）
π
A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定
【答案】A
【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为2cm，
∴BC＝ ＝2 ≈6cm，
在Rt△ABC中，π
∵AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝ ＝10cm．
故选：A．
【变式1-2】（2021春•济南月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的
高为15cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外
壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，若该圆柱底面周长为40cm，则蚂蚁吃到蜂
蜜需爬行的最短路径为（ ）
A．20cm B．18cm C．25cm D．40cm
【答案】C
【解答】解：如图：是侧面展开图的一半，
∵高为15cm，底面周长为40cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝20（cm），BD＝15﹣3+AE＝15（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝ ＝ ＝25（cm）．
故选：C．
【典例2】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点
B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最
短距离是 cm．
【答案】25
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，
如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在 的
平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
∵25＜5 ，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25
【变式2-1】正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短
距离为（ ）
A． B． C．5 D．2+
【答案】A
【解答】解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，
所以MC＝ BC＝1，
在直角三角形中AM＝ ＝ ．
故选：A．
【变式2-2】如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 1 5 cm．
【 答案】15
【解答】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是： ＝ ＝15
（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是： ＝ ＝7 （cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是： ＝ （cm）；
∵15＜7 ＜ ，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那
么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
【典例3】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，
B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁
沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
【答案】2.5
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，
解得x＝2.5．
【变式3】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 7寸、5寸和3寸，A和
B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走
的最短路线长度是 寸．
【答案】25
【解答】解：将台阶展开矩形，线段 AB恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为
24寸，7寸，
由勾股定理得AB＝ ＝25寸．
18．如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出
了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
【答案】4
【解答】解：由勾股定理，得路长＝ ＝5（m），
少走（3+4﹣5）×2＝4步，
故答案为：4．
19．如图，一座桥横跨一河，桥长40m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流
原因到达南岸后，发现已偏离桥南头9m，则小船实际行驶的距离为 m．
【答案】41
【解答】解：根据题意知，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝9m，
在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以实际行驶的路程为AC＝ ＝41（m）．
故答案为：41．
21．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，
那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【答案】
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个
路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．
所以最短路径的长为AB＝ （cm）．
故答案为： ．
22．如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽
快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 cm．
【答案】
【解答】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB＝ ＝ cm．
故蚂蚁沿正方体的最短路程是 cm．
23．一只蚂蚁从长2cm、宽为1cm、高为4cm．的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那
么它所行的最短路线的长是 ．
【答案】 5 cm
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个
路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（1+2）2+42＝25；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29．所以最短路径的长为AB＝ ＝5（cm）．
故答案为：5cm．
26．有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程
是 厘米（ 取3）．
π
【答案】 15
【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即3 ＝9，矩形的宽是圆柱的高12．
根据两点之间线段最短， π
知最短路程是矩形的对角线的长，即 ＝15厘米．
27．如图，是一个长方体盒子，长70cm，宽和高都是50cm，在A处有一只蚂蚁想吃到B
处的食物，若它爬行的速度为1.3cm/秒，则它最少爬行 秒钟才能吃到食物．
【答案】94
【解答】解：此题有三种情况，即把我们看到的右面向上展开，与上面形成一个平面，
求两点之间线段最短．
则AB＝ ＝130；
把我们看到的后面向上展开，与上面形成一个平面，求两点之间线段最短．
则AB＝ ≈122；
把我们看到的下面向上展开，与前面形成一个平面，求两点之间线段最短．
则AB＝ ＝130；所以它爬行的速度为1.3cm/秒，则它最少爬行94秒钟才能吃到食物．
故答案为：94．
28．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A
处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂
蚁吃到食物最少需要 min．（ 取3）
π
【答案】 26
【解答】解：首先展开圆柱的半个侧面，即是矩形．
此时AB所在的三角形的直角边分别是5m，12m．
根据勾股定理求得AB＝13m＝1300cm，
故蚂蚁吃到食物最少需要的时间是1300÷50＝26min．
29．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 的端点A到达A ，若圆柱底面半径为 ，
1 1
高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】13
【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2 × ＝12，高为5，
所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩π形，
根据勾股定理，对角线长为 ＝13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．34．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？
（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵AD＝12，AB＝4，
∴BD2＝AD2+AB2＝122+42＝160，
∴CD＝ ＝ ＝13（dm）．
∵13dm＞12.5dm，
∴长为12.5dm的铁棒能放进去；
（2）如图2所示，
CD＝ ＝ dm．
如图3所示，
CD＝ ＝ dm，
如图4所示，
CD＝ ＝ dm，
∵ ＞ ＞ ，
∴爬行的最短路程是 dm．
