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专项 08 等边三角形中的 378 和 578 模型（3 大类型）
【典例1】在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．56 C．48 D．112
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，
∴设BD＝x，则AD＝16﹣x，
在△DBC与△ADC中，
∵CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，
∴62﹣x2＝142﹣（16﹣x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3 ，
∴ ＝24 ．
故选：A．
【变式1】已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 ．
【答案】 3 或 5
【解答】解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°．
设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵sinB＝ ，AC＝7，
∴AD＝ ．
∴（ x）2+（8﹣x）2＝72．
解得x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∴当x＝ 时，AB＝2x＝3；
当x＝ 时，AB＝2x＝5．
故AB为3或5．
故答案为：3或5
【典例2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90° B．150° C．135° D．120°
【答案】D
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，
过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝ AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
【变式2-1】已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝5，AC＝7，
∴25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴BD＝2.5，
∵AB＝5，
∴AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°
∴∠B的度数是60°．
故选：C．【变式2-2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝ AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【典例3】在△ABC中，AB＝24，AC＝21，BC＝15，则△ABC的面积是 ．
【答案】
【解答】解：∵AB＝24，AC＝21，BC＝15，
∴P＝ ，
∴S△ABC ＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【变式3】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和
是 ．
【答案】16
【解答】解：当三角形的边长为：3，7，8时，P＝ ，∴S＝
＝
＝ ；
当三角形的边长为：5，7，8时，P＝ ，
∴S＝
＝
＝ ，
则两个三角形的面积之和为： ．
故答案为： ．
1．已知在△ABC中，∠C＝60°，AC＝8，BC＝5，则AB＝ ．
【答案】7
【解答】解：如图，作CH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∠C＝60°，AC＝8，
∴CH＝4＜5，AH＝sin60°×AC＝ ，
∴△ABC为锐角三角形，
∴BH＝BC﹣CH＝5﹣4＝1，
∴AB＝ ，
故答案为：7．2．已知在△ABC中，∠A＝60°，AC＝8，BC＝7，则AB＝ ．
【答案】 3 或 5
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，
当△ABC为锐角三角形时，如图，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，
∴AH＝ ＝4，CH＝ ，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝ ，
∴AB＝AH+BH＝4+1＝5，
当△ABC为钝角三角形时，如图，△AB'C中，
AB'＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，
综上所述：AB＝3或5．
故答案为：3或5．
3．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等
于 ．
【答案】 7
【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC于D，
△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4 ，
则 CD＝1，ED＝1．
∴AE＝ ＝ ＝7．
故答案为：7．
4．若一个等腰三角形的周长为 16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为
cm2．
【答案】 8 或 1 2
【解答】解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他
两边长为6cm，4cm，
∴等腰三角形的底边上的高为 （cm），
∴该等腰三角形的面积为 （cm2）；
当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长
为5cm，5cm，
∴等腰三角形的底边上的高为 （cm），
∴该等腰三角形的面积为 （cm2）；
故答案为：8 或12．
5．△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 ．
【答案】6 或 1 0
【解答】解：方法1：∵△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，
∴由余弦定理，得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，
即49＝AB2+64﹣2×AB×8cos60°，整理得AB2﹣8AB+15＝0，
解得AB＝3或AB＝5，
∴△ABC的面积为S＝ BC•ABsinB＝ ×8•AB× ＝2 AB＝6 或10 ．
方法2：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，
则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°．
设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵sinB＝ ＝ ，AC＝7，
∴AD＝ x．
∴（ x）2+（8﹣x）2＝72．
解得x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∴当x ＝ 时，△ABC的面积为S＝ BC•AD＝ ×8× × ＝6 ；
1
当x ＝ 时，△ABC的面积为S＝ BC•AD＝ ×8× × ＝10 ．
2
故答案为6 或10 ．
6．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABC的面积是 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，作AD⊥BC于点D，
设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，
根据勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即9﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，解得：x＝ ．
则AD＝ ＝ ＝ ，
故△ABC的面积为 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
7．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且
CE＝CD，过点D作DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF．
【解答】（1）解：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝ ＝3 ．
（2）证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝ ∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∠E＝ ∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF．
8．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，
解得，CD＝1，
则BC边上的高AD＝ ＝4 ．
9．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的
长度．【解答】解：如图所示，作AD⊥BC于点D，
设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：
AB2﹣BD2＝AC2+CD2，
即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，
解得：x＝1．
故CD长度为1．
