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专项 04 勾股定理之图形折叠模型综合应用（4 大类
型）
（1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形
全等.
（2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.
【类型一：折叠构造直角三角形】
【典例1】（保定二模）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，
使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x
∵D是BC的中点，∴BD＝3
在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．即BN＝4，选A
【变式1-1】如图所示的三角形纸片中∠B＝90°，AC＝13，BC＝5．现将纸片进行折叠，
使得顶点D落在AC边上，折痕为AE．则BE的长为（ ）A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝ ＝12，
设BE＝x，
由折叠的性质可得：CD＝AC﹣AD＝13﹣12＝1，DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣x，
在Rt△DEC中，EC2＝CD2+DE2，
∴（5﹣x）2＝1+x2，
解得：x＝2.4，
∴BE＝2.4．
故选：A．
【类型二：折叠构造三垂直图形】
【典例2】（2020春•西城区校级期中）如图，长方形 ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边
CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出
最小值：若不存在，请说明理由．
【解答】（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10
由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=√AF2−AB2= 6
∴CF＝BC﹣BF＝4
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2
∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3
（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P
此时，PA+PE最小，最小值为AE'
∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11
在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'=√AD2+DE'2=√221
【变式2】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，
AB＝8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．
∵AD＝BC＝10cm，
∴AF＝AD＝10cm．
又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2
∴82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，
即16+x2＝64﹣16x+x2，
化简，得16x＝48，
∴x＝3，
故EC的长为3cm．
【类型三 ：折叠构造全等三角形】
【典例3】（思明区校级期中）如图，四边形 OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点
C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的纵坐标为（
）
A．﹣2 B．﹣2.4 C．−2√2 D．−2√3
【解答】∵点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），∴OA＝8，OC＝4
由折叠得：∠CBO＝∠DBO，OD＝OC＝4，BD＝BC，∠ODB＝∠OCB
∵四边形ABCO是矩形
∴BC∥OA，OC＝AB＝4，∠OCB＝∠BAO＝90°，BC＝OA＝8
∴∠CBO＝∠BOA，∠ODE＝90°，BD＝OA，∴∠DBO＝∠BOA
∴BE＝OE，∴DE＝AE
设AE＝x，则BE＝OE＝8﹣x
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x
＝3
即OE＝5，DE＝AE＝3
过D作DF⊥OA于F
1 1 3×4 12
∵S△OED = OD•DE= OE•DF，∴DF= = =2.4
2 2 5 5
∴点D的纵坐标为﹣2.4，选B
【变式3-1】（红河州期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，
BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为 ．
【解答】在Rt△ABC中，AB 10
=√AC❑ 2+BC2=
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，DE＝BD
∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2
在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2，∴BD2＝（BC﹣BD）2+CE2，∴BD2＝（6﹣BD）2+4
10
∴BD=
3
【变式3-2】（成华区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中
点，将△ABE沿AE所在直线折叠，使点B落在矩形内点B′处，连接CB′，则CB′的长
为 ．
【解答】连接BB′交AE于H
∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3
12 24
又∵AB＝4，∴AE=√AB2+BE2=√42+32=5，∴BH= ，则BB′＝2BH=
5 5
∵B′E＝BE＝EC
√ 24 18
∴∠BB′C＝90°，根据勾股定理得，CB′=√BC2−BB'2= 62+(
)
2=
5 5
【变式3-3】（2020•张家港市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中
点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG
（1）求证：△ABG≌△AFG
（2）求∠EAG的度数
（3）求BG的长【解答】（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°
∵将△ADE沿AE对折至△AFE
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°
又∵AG＝AG
{AG=AG
在Rt△ABG和Rt△AFG中， ，∴△ABG≌△AFG（HL）
AB=AF
1
（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG= ∠BAF
2
1
由折叠的性质可得：∠EAF＝∠∠DAE，∴∠EAF= ∠DAF
2
1 1 1
∴∠EAG＝∠EAF+∠FAG= （∠DAF+∠BAF）= ∠DAB= ×90°＝45°
2 2 2
1 1
（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE= CD= ×6
2 2
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF+FG＝x+3
∵GE2＝CG2+CE2，∴（x+3）2＝（6﹣x）2+32，解得 x＝2
∴BG＝2
【类型三：折叠构造等腰三角】
【典例4】（2020•碑林区校级月考）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在
边AD上的点B′处，点A落在点A′处
（1）试说明：B′E＝BF
（2）若AE＝3，AB＝4，求BF的长
【解答】（1）∵折叠，∴∠B'FE＝∠EFB，BF＝B'F
∵AD∥BC
∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'EF＝∠B'FE
∴B'E＝B'F，∴BF＝B'E（2）∵折叠，∴AE＝A'E＝3，AB＝A'B'＝4，∠A＝∠A'＝90°
∴根据勾股定理可得B'E＝5
∵B'E＝BF，∴BF＝5
【变式4-1】（2019•潮南区一模）如图，把长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，使得点D落
在点H的位置上，点C恰好落在边AD上的点G处，连接EG．
（1）△GEF是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）若CD＝4，GD＝8，求HF的长度．
【解答】
（1）∵长方形纸片ABCD
∴AD∥BC
∴∠GFE＝∠FEC
∵∠FEC＝∠GEF
∴∠GFE＝∠GEF
∴△GEF是等腰三角形
（2）∵∠C＝∠H＝90°，HF＝DF，GD＝8
设HF长为x，则GF长为（8﹣x）
在Rt△FGH中，x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3
∴HF的长为3
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点
B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．3【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，BC＝6，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝6，∠D＝90°，
∵沿AE翻折△ABE，
∴AF＝AB＝10，EF＝BE，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得：
DF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则
EF＝BE＝6﹣x，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
即22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴CE的长为 ，
故选：B．
2．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰
好落在边BC上的点F处．若AB＝8，DE＝5，则AD的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝8，
∵DE＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝3，
∵矩形ABCD沿AE所在直线折叠，
∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝5，在Rt△CEF中，CF＝ ，
即CF＝ ＝4，
设BF＝x，则
AF＝AD＝BC＝BF+CF＝x+4，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即82+x2＝（x+4）2，
解得：x＝6，
∴AF＝x+4＝10，
故选：B．
3．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝
8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
4.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝10，现把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点
C与C'重合，求AF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝10，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠CDA＝90°，
由折叠得：
CD＝C'D＝5，BC＝BC'＝10，∠CBD＝∠C'BD，
∵∠CBD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠C'BD，
∴FB＝FD，
设AF＝x，则：
FD＝FB＝10﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB2+AF2＝BF2，即：
52+x2＝（10﹣x）2，
解得： ，
∴AF＝ ．
5．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6．在AC上取一点E，以BE
为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（
）A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6；
可得∠BAC＝30°，故∠ABC＝60°；
则以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，
故Rt△BCE中，∠CBE＝∠ABE＝30°，
则CE＝3×tan30°＝ ．
故选：C．
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将点C折叠到AB边的点E处，折痕为
AD，则CD的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解答】解：在直角△ABC中：AB＝ ＝10，
根据折叠可得AC＝AE＝6，CD＝DE，BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在直角△BDE中：（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3．
故选：A．
7．课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对
折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，
则折痕BG的长等于（ ）﹣A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，
∴∠BAG＝90°，
由折叠性质可得：
∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG，
由题意可得：点E为AB中点，
∴AE＝BE＝1，
在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，
∴∠BA′E＝30°，
∴∠A′BE＝60°，
∴∠ABG＝∠A′BG＝30°，
∴BG＝ AB＝ ，
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE
折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：①如图，过A′作PQ∥AD交AB于点P，交CD于点Q，∵PQ所在直线为矩形ABCD的对称轴，
∴PQ⊥AB，PA＝PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B＝2PB，
∴∠PA′B＝30°，
∴∠A′BC＝30°，
∴∠EBA′＝∠ABE＝30°，
∴AE＝ AB＝ ，
②如图，过A′作MN∥CD交AD于点M，交BC于点N，
∵MN所在直线为矩形ABCD的对称轴，
∴AM＝BN＝ AD＝4，MN＝AB＝5，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E＝AE，A′B＝AB＝5，
∴A′N＝ ＝ ＝3，
∴A′M＝MN﹣A′N＝5﹣3＝2，
设AE＝x，则：
A′E＝x，EM＝AM﹣AE＝4﹣x，
在Rt△A′EM中，
A′M2+EM2＝A′E2，即：
22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，∴AE＝ ，
综上，AE的长为 或 ，
故选：D．
9.如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，
若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P
点处，
∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，
∵∠FPH＝90°，
∴FH＝ ＝ ＝5，
∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，
故选：C．
10．把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为
EF，其中AB＝3，BC＝3 ．则△DEF的面积是（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：设DE＝x，∵AB＝3，BC＝3 ，
∴A′E＝AE＝3 ﹣x，A′D＝AB＝3，
∴A′D2+A′E2＝DE2，即：
32+（3 ﹣x）2＝x2，
解得：x＝2 ，
∴DE＝2 ，
S△DEF ＝ ×DE×CD＝ ×2 ×3＝3 ，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2 ，AC＝6，点E在线段AC上，D是线
段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FCDE，当点
G恰好落在线段AC上时，CG＝2，则AE＝ ．
【答案】1
【解答】解：设AE为x，
∵CG＝2，AC＝6，
∴EG＝AC﹣AE﹣CG＝4﹣x，
∵四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FCDE，∠BAC＝90°，AB＝2 ，
∴∠EFG＝∠BAC＝90°，FG＝AB＝2 ，EF＝AE＝x，
在Rt△EFG中，EF2+FG2＝EG2，
即x2+（2 ）2＝（4﹣x）2，解得：x＝1，
∴AE＝1，
故答案为：1．
12．如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的
对应点D'，N为BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A
的对应点为点D'，若AB＝6，BN＝3.5，则A′到CM的距离为 ．
【答案】9.6．
【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥CM，连接A′M，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BN＝3.5，
∴CD＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵△CDM 沿 CM 折叠得到△CD′M，四边形 ABNM 沿 MN 折叠得到四边形
D′A′NM，
∴A′N＝BN＝3.5，A′D′＝AB＝6，CD′＝CD＝6，∠NA′D′＝∠B＝90°，
∠A′D′M＝∠A＝90°，∠CD′M＝∠D＝90°，
∴A′C＝A′D′+CD′＝12，
∴CN＝ ＝12.5，
∴AD＝BC＝BN+CN＝16，
∵点M为矩形AD的中点，
∴DM＝8，
∴D′M＝8，CM＝ ＝10，
∵S△A′CM ＝ ×A′C×D′M＝ ×CM×A′E，∴A′E＝ ＝ ＝9.6，
∴点A′到CM的距离为9.6，
故答案为：9.6．
13．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上
的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的
直角三角形时，BD的长可能是 ．
【答案】3或 或 ．
【解答】解：由折叠性质可得：
∠P＝∠B＝30°，DP＝BD，∠PCD＝∠BCD，
在Rt△ABC中，
∠A＝90°﹣30°＝60°，AB＝2AC＝6，BC＝ AC＝3 ，
①如图，当CP⊥AB时，
△PDE为直角三角形，
∴∠PDE＝90°﹣30°＝60°，∠ACE＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠DCP＝∠DCB＝30°，
∴∠ACD＝∠A＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3；
②如图，当CD⊥AB时，△CPD为直角三角形，
∴BD＝BC•cos∠B＝BC•cos30°＝ ；
③当DP⊥AB时，
△PDE为直角三角形，
∴∠AEC＝∠PED＝90°﹣∠P＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AE＝AC＝3，
在Rt△PDE中，
∵∠P＝30°，
∴DP＝ DE，
∴BD＝DP＝ DE，
∵AB＝AE+DE+BD，
∴6＝3+DE+ DE，
∴DE＝ ，
∴BD＝ DE＝ ，
综上，BD＝3或 或 ，
故答案为：3或 或 ．
14．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．
【解答】解：∵△DEB是由△DEA翻折，
∴AE＝EB，AD＝DB，
设AE＝EB＝x，
∵AC＝8，BC＝6，
∴EC＝8﹣x，
在RT△EBC中，EB2＝EC2+BC2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
∴x＝ ，
∵∠C＝90°，
∴AB＝ ＝10，
∴AD＝DB＝5，
在RT△AED中，∵ED＝ ，
∴ED＝ ＝ ．
15.已知矩形OABC的边长OA＝4，AB＝3，E是OA的中点，分别以所在的直线为x轴，y
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直线l经过C、E两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）如图，将矩形OABC中，将△COE沿直线l折叠后得到△CFE，点F在矩形OABC
内部，延长CF交AB于G点．证明：GF＝GA；
（3）由上面的条件，求四边形AGFE的面积？【解答】（1）解：设直线l的解析式y＝kx+b（k≠0）．
∵矩形OABC的边长OA＝4，AB＝3，E是OA的中点，
∴OC＝AB＝3，OE＝2，
∴E（2，0），C（0，3）．
∴ ，
解得， ，
∴直线l的解析式y＝﹣ x+3
（2）证明：如图2，连接EG．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠COA＝∠OAB＝90°．
又根据折叠是性质得到∠COE＝∠CFE＝90°，OE＝EF，
∴∠EFG＝∠EAG＝90°．
又∵E是OA的中点，
∴OE＝EF，
∴EF＝EA，
∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，
，
∴ Rt△ EFG≌ Rt△ EAG
（HL），
∴GF＝GA；
（3）解：由（2）知，GF＝GA，根据折叠的性质知OC＝CF＝3．∵BG＝AB﹣AG＝3﹣AG，CG＝CF+GF＝3+GA，AE＝2，
∴在直角△CBG中，由勾股定理得：CG2＝BC2+BG2，即（3+AG）2＝（3﹣AG）2+42，
解得，AG＝ ．
∵由（1）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，
∴S
Rt△EFG
＝S
Rt△EAG
，
∴S四边形AGFE ＝2S Rt△EAG ＝2× AE•AG＝2× ×2× ＝ ，即四边形AGFE的面积是 ．
