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专项 04 矩形中典型模型综合应用（4 大类型）
类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形
类型二：面积问题
类型三：最小值问题
类型四：矩形对角线的垂直平分线问题
【类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形】
【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝
2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-1】】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝
10，则AB的长为（ ）
A．5 B．5 C．4 D．3【变式1-2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则CD
的长为 ．
【类型二：面积问题】
【典例2】如图，EF过长方形ABCD对角线的交点O．且分别交AB、CD于点E、F．那么
阴影部分的面积是长方形ABCD面积的（ ）
A． B． C． D．
【变式 2-1】如图，直角三角形 ABC 的面积为 4，点 D 是斜边 AB 的中点，过点 D 作
DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【变式2-2】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD
和BC于点E、F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【类型三：最小值问题】
【典例 3】如图，点 P 是 Rt△ABC 中斜边 AC（不与 A，C 重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P
在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．3 B．3.6 C．3.75 D．4
【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，
过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于
点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【类型四：矩形对角线的垂直平分线问题】
【典例4】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连
接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，则△BED的面积是（ ）cm2．
A．10 B．16 C．20 D．32
【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 的垂直平分线MN
恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（ ）A．2 B．2 C．2 D．4
【变式4-2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，
连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 ．
1．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝
BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）A． B． C． D．8
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B
重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（
）
A． B． C．4 D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上
的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）
A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4
4．如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，
连接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图A、B分别是长方形长和宽的中点，阴影部分面积是长方形的（ ）A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB
于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作
PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不
与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP
的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.59．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6．则AB＝
．
10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、
BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2 ，BC＝4，则图中阴影部分的面积
为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P在AD边上，是不与A，D重合的点，
过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值是 ．
12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和
4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．不确定
13．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，EF与
AC交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求EF的长．14．如图，矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：AB＝DF．
（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．
15．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC
于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接
AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）当AB＝4，BC＝8时，求线段EF的长．
