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专项 04 矩形中典型模型综合应用（4 大类型）
类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形
类型二：面积问题
类型三：最小值问题
类型四：矩形对角线的垂直平分线问题
【类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形】
【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝
2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
故选：B．【变式1-1】】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝
10，则AB的长为（ ）
A．5 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝ BD＝5．
故选：B．
【变式1-2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则CD
的长为 ．
【答案】2
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝2，
∴BD＝2OD＝4，
∴DC＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【类型二：面积问题】
【典例2】如图，EF过长方形ABCD对角线的交点O．且分别交AB、CD于点E、F．那么
阴影部分的面积是长方形ABCD面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，AB∥CD，
∴∠EBO＝∠FDO，
在△EBO与△FDO中，
，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO +S△EBO ＝S△AOB ＝ S矩形ABCD ，
故选：C．
【变式 2-1】如图，直角三角形 ABC 的面积为 4，点 D 是斜边 AB 的中点，过点 D 作
DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B
【解答】解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，
∴CD＝ AB＝AD，
∵DE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
同理可得：△BDF的面积＝△CDF的面积，
∴四边形DECF的面积＝ ×三角形ABC的面积＝ ×4＝2，
故选：B．
【变式2-2】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD
和BC于点E、F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴S△AOE ＝S△COF ，∴S阴影 ＝S△AOE +S△BOF +S△COD ＝S△COF +S△BOF +S△COD ＝S△BCD ；
∵S△BCD ＝ BC•CD＝12，故S阴影 ＝12．
故选：B．
【类型三：最小值问题】
【典例 3】如图，点 P 是 Rt△ABC 中斜边 AC（不与 A，C 重合）上一动点，分别作
PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P
在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．3 B．3.6 C．3.75 D．4
【答案】B
【解答】解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝ ＝ ＝15，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝ MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝ ＝ ＝7.2，
∴MN＝7.2，
∴BO＝ MN＝3.6，
故选：B．【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，
过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4
【答案】D
【解答】解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵△ABC的面积＝ ×4×3＝ ×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：D．
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于
点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（ ）A． B．3 C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD ＝ BD•CM＝ BC•CD，
∴CM＝ ＝ ＝ ，
∴PQ的最小值为 ，
故选：A．
【类型四：矩形对角线的垂直平分线问题】
【典例4】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连
接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，则△BED的面积是（ ）cm2．A．10 B．16 C．20 D．32
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴AB⊥AD，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
设BE＝DE＝xcm，则AE＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝5cm，
∴S△BED ＝ DE•AB＝ ×5×4＝10（cm2），
故选：A．
【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 的垂直平分线MN
恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接CE，
∵点E是AD中点，
∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4，∴BC＝AD＝4，
∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C，
∴CE＝BC＝4，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD＝ ＝ ＝2 ，
∴AB＝CD＝2 ．
故选：C．
【变式4-2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，
连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 ．
【答案】15°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AO＝OC，OG⊥AC，
∴GA＝GC，∠GOC＝90°，
∵∠BOG＝15°，
∴∠COB＝90°﹣15°＝75°，
∴∠OCB＝∠OBC＝ ×（180°﹣∠COB）＝52.5°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣90°﹣52.5°＝37.5°，
∴∠ACG＝37.5°，
∴∠BCG＝∠OCB﹣∠ACG＝52.5°﹣37.5°＝15°，故答案为：15°．
1．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝
BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，
∴CG＝ ，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝ ×2＝ ，即图中重叠（阴影）部分的面积为 ，
故选：B．
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B
重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（
）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，
∴AC⊥BD，AO＝ AC＝10，BO＝ BD＝5，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5 ，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
此时，S△ABO ＝ OA•OB＝ AB•OP，∴OP＝ ＝2 ，
∴EF的最小值为2 ，
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上
的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）
A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4
【答案】A
【解答】解：连接PO，
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，
由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝10，
∴BO＝DO＝5，
∴S△DAB ＝ ×AD×AB＝ ×8×6＝24，
∴S△AOB ＝ S△DAB ＝12，
∴ ×AO×PM+ ×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．
故选：A．
4．如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，
连接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解答】解：作EG⊥BC于G，交AD于F．
则有四边形BGEM，四边形CNEG，四边形AMEF，四边形DFEN都是矩形，
∴S△BME ＝S△BGE ，S△CGE ＝S△CEN ，S△AME ＝S△AEF ，S△DNE ＝S△DEF ，S△ABC ＝S△ADC ，
∴S△ABC ﹣S△AEM ﹣S△CNE ﹣S△CGE ＝S△ADC ﹣S△AEF ﹣S△CNE ，
∴S四边形BGEM ＝S四边形DNEF ，
∵BM＝CN＝2，
∴S△BEM ＝S△DEN ＝ ×2×6＝6，
∴△END和△BEM的面积和＝6+6＝12，
故选：B．
5．如图A、B分别是长方形长和宽的中点，阴影部分面积是长方形的（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，
阴影部分面积＝ab﹣ ，
矩形的面积＝ab，
∴阴影部分面积是长方形的 ，
故选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB
于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
【答案】D
【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM＝ AP，由勾股定理知BC＝ ＝
5，
∵S△ABC ＝ AB•AC＝ BC•AP，
∴AP＝ ，
∴AM＝ AP＝ ＝1.2，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作
PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【答案】D
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为： ＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不
与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP
的最小值是（ ）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝ EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝ AB×CM＝ AC×BC，
∴CM＝ ＝ ＝2.4，
∴CP＝ EF＝ CM＝1.2，
故选：A．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6．则AB＝
．
【答案】3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°，
又∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴AB＝ AC＝ ×6＝3．
故答案为：3．
10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、
BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2 ，BC＝4，则图中阴影部分的面积
为 ．
【答案】4
【解答】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积＝ ×矩形的面积，
∵AB＝2 ，BC＝4，
∴阴影部分的面积＝ ，
故答案为：4 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P在AD边上，是不与A，D重合的点，
过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值是 ．【答案】
【解答】解：如图所示，连接OP，
∵AB＝2，AD＝4，
由勾股定理可得BD＝ ＝2 ，S△ABD ＝ AB•AD＝ ×2×4＝4，
在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝ BD＝ ，
∵S△AOD ＝S△AOP +S△DOP ＝ S△ABD ，
∴ •OA•PE+ •OD•PF＝ ×4＝2，
∴PE+PF＝ ，
故答案为：
12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和
4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，∴S矩形ABCD ＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD ＝ S矩形ABCD ＝6，
∴S△AOD ＝ S△ACD ＝3，
∵S△AOD ＝S△AOP +S△DOP ＝ OA•PE+ OD•PF＝ ×2.5×PE+ ×2.5×PF＝ （PE+PF）＝
3，
解得：PE+PF＝ ．
故选：A．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，EF与
AC交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AC＝ ＝4 ，
∴OA＝OC＝2 ，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，EF⊥AC，
在Rt△ABF中，设AF＝FC＝x，则BF＝8﹣x，
∴AB2+BF2＝AF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴OF＝ ，
∴EF＝2OF＝2 ．
14．如图，矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：AB＝DF．
（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，
∵AE＝BC，
∴AE＝AD，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF；
（2）解：∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝AF＝3，
∵CE＝1，
∴BC＝BE+CE＝3+1＝4，
∴AD＝BC＝4，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝ ＝ ．
15．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC
于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）解：如图，连接AF，
∵AO＝CO，EF⊥AC，
∴AF＝FC，
∵AF2＝AB2+BF2，
∴CF2＝（16﹣CF）2+64，
∴CF＝10．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接
AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）当AB＝4，BC＝8时，求线段EF的长．
【解答】（1）证明：∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、
E、F，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
即AE＝5，
∵AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，
∴AC＝ ，
∴OA＝2 ，
∴OE＝ ，
∴EF＝2OE＝2 ．
