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期末难点特训（四）和一元一次方程应用有关的压轴题
1．春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下：
甲：全场按标价的6折销售；
乙：每满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．
（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不
再送券，且再次购买金额不低于240元）
小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元．
（1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？
（2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家
店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？
【答案】（1）选择乙店更省钱；（2）260元
【分析】（1）分别求出在甲、乙两家店买衣服的价钱，再进行比较，即可得出答案．
（2）设C型裤子的标价为x元，根据“在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额
恰好一样”列出方程，即可得出答案．
【详解】解：（1）选甲店需付款：（340+250）×0.6＝354（元）；
选乙店需付款：340+（250﹣240）＝350（元）；
∵354＞350，
∴选择乙店更省钱．
（2）设C型裤子的标价为x元．
根据题意，得（340+x）×0.6＝340+x﹣240，
解得，x＝260．
答：C型裤子的标价为260元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，明确等量关系是解题的关键．
2．2019年双“十一”期间，天猫商场某书店制定了促销方案：若一次性购书超过300元，其中
300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠．
（1）设一次性购买的书籍原价是500元，实际付款为 元；
（2）若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是多少元？
（3）小冬在促销期间先后两次下单购买书籍，两次所购书籍的原价之和为600元（第一次所购书
籍的原价高于第二次），两次实际共付款555元，则小冬两次购物所购书籍的原价分别是多少元？
【答案】（1）445；（2）400元；（3）第一次所购书籍的原价是450元，第二次所购书籍的原价
是150元．【分析】（1）前300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠，据此解题；
（2）设实际付款x元，则x＞300，根据前300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠，
据此解题；
（3）设第一次所购书籍的原价是b元，则第二次所购书籍的原价是（600﹣b）元，根据题意，前
300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠，据此解题；
【详解】解：（1）由题意知，300×0.95+0.8（500﹣300）=445（元），
故答案为：445；
（2）设所购书籍的原价是x元，则x＞300，
根据题意得：300×0.95+0.8（x﹣300）=365，
解得：x=400，
答：若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是400元；
（3）∵第一次所购书籍的原价高于第二次，
∴第一次所购书籍的原价超过300元，第二次所购书籍的原价低于300元，
设第一次所购书籍的原价是b元，则第二次所购书籍的原价是（600﹣b）元，
由题意知，300×0.95+0.8（b﹣300）+（600﹣b）=555，
解得：b=450，
则600﹣b=150，
答：第一次所购书籍的原价是450元，则第二次所购书籍的原价是150元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3． 年新冠疫情来袭，某市有一批医疗物资需要运送到医院，原计划租用载货量 吨的卡车
若干辆，恰好可以一次全部运完；若租用载货量 吨的卡车，则需要多租 辆，且最后一辆卡车
还差 吨装满，其他卡车满载．
（1）请问这批医疗物资有多少吨？
（2）若载货量 吨的卡车每辆租金为 元，载货量 吨的卡车每辆租金为 元，要使医疗物
资一次性运完，怎样租车更合算？
【答案】（1）这批医疗物资有 吨；（2）要使医疗物资一次性运完，租用载货量 吨的卡车
辆、载货量 吨的卡车 辆最合算．
【分析】（1）设原计划租用载货量 吨的卡车 辆，再根据两种方式均可以运完物资建立方程求
解即可得；
（2）分别求出全部租用载货量 吨的卡车的费用、全部租用载货量 吨的卡车的费用、租用载
货量 吨的卡车 辆和载货量 吨的卡车 辆的费用、租用载货量 吨的卡车 辆和载货量 吨
的卡车 辆的费用，再比较大小即可得．【详解】（1）解：设原计划租用载货量 吨的卡车 辆，
由题意得： ，
解得 ，
则 ，
答：这批医疗物资有 吨；
（2）由题意，分以下四种情况：
①若全部租用载货量 吨的卡车，则需租车5辆，
费用为 （元）；
②若全部租用载货量 吨的卡车，则需租车3辆，
费用为 （元）；
③若租用载货量 吨的卡车 辆、载货量 吨的卡车 辆，
费用为 （元）；
④若租用载货量 吨的卡车 辆、载货量 吨的卡车 辆，
费用为 （元）；
因为 ，
所以要使医疗物资一次性运完，租用载货量 吨的卡车 辆、载货量 吨的卡车 辆最合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用等知识点，依据题意，正确建立方程是解题关键．
4．贵阳市人民广场某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件
数的 倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品
的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获
得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）1950（元）；（2）第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【分析】（1）设第一次购进甲种商品 件，则购进乙种商品（ ）件，根据单价×数量=总价，
即可得出关于x的一元一次方程，可求得甲、乙两种商品得数量；根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于y
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（ ）件，
根据题意得：
解得： ，
∴ （件）．
∴（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得： ，
解得：y=8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方
程.
5．某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌
椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲
组80元修理费，付乙组120元修理费．
(1)该中学库存多少套桌椅？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种
修理方案:a、由甲单独修理；b、由乙单独修理；c、甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又
省钱？为什么？
【答案】（1）该中学库存桌椅960套；（2）选择甲、乙合作修理
【详解】解：（1）设该中学库存x套桌凳，则甲修完需要 天，乙修完需要 天，
由题意得： ，
解方程得：x=960．
答：该中学库存960套桌凳.（2）设①②③三种修理方案的费用分别为 、 、 元，
则 （元），
（元），
（元），
综上可知，选择方案③更省时省钱．
6．一列匀速前进的火车，通过列车隧道.
（1）如果通过一个长300米的隧道AB，从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如
图1），又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长
度；
（2）如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD，从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到
达隧道出口（如图2），其间共用20秒时间，求这个隧道CD的长.
【答案】（1）火车长度为60米；（2）CD的长为540米
【分析】（1）设这列火车的长度为 米，则火车通过隧道时的速度为 米/秒，而火车通过
灯光时的速度为 米/秒，根据这两个速度相等建立方程求出其解即可.
（2）先求出火车的速度，再用速度乘以通过另一个隧道所用的时间加上火车的长度即可求出答案.
【详解】（1）解：设这列火车的长度为 米，则有：
，
;
答：这列火车的长度为60米.
（2）火车的速度 米/秒，另一隧道的长 米.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题
找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含
x的式子表示相关的量，列出等式方程，即可解答.
7．2019年双“十一”期间，天猫商场某书店制定了促销方案：若一次性购书超过300元，其中
300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠.
（1）设一次性购买的书籍原价是a元，当a超过300时，实际付款 元；（用含a的代数式
表示，并化简）
（2）若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是多少元？
（3）小冬在促销期间先后两次下单购买书籍，两次所购书籍的原价之和为600元（第一次所购书
籍的原价高于第二次），两次实际共付款555元，则小冬两次购物所购书籍的原价分别是多少元？
【答案】（1） ；（2）400；（3）450元和150元
【分析】（1）根据题干中的优惠方案用代数式表示即可；
（2）设购书的原价为b元，根据题意列出方程，解之即可；
（3）设第一次购买书籍为c元，根据第一次所购书籍的原价高于第二次判断出第一次原价大于
300，第二次原价小于300，可列方程求解.
【详解】解：（1）（a-300）×80%+300×95%= ；
（2）设购书的原价为b元，因为365＞300，所以b＞300，
则可得方程：（b-300）×80%+300×95%=365
解得b=400，
答：所购书籍的原价是400元；
（3）设第一次购买书籍为c元，根据题意：c＞300，即第一次原价大于300，第二次原价小于
300，根据（1）可列方程为
0.8c+45+（600-c）=555
解得：c=450，
600-450=150（元），
答：小冬两次购物所购书籍的原价分别是450元、150元.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程．
8．有6位同学帮助美术老师装裱美术作品，其中有部分同学装裱过，是熟手，部分同学是生手，
每20分钟，熟手可装裱3件，生手可装裱2件，经过2个小时，6位同学共装裱作品84件.
（1）如果设熟手为 位，那么生手是 位（用 表示）
（2）2小时熟手共装裱 个，生手共装裱 个，（用含 的代数式表示）（3）列方程，求出熟手和生手各几位？
【答案】(1)6-x;(2)18x,72－6x;(3)熟手2人,生手4人.
【分析】(1)根据题意用总人数减去熟手人数即可.
(2)先算出两小时有多少个20分钟,再分别乘以装裱的数量.
(3)根据题意可以得出熟手装裱总数加生手装裱总数共84件.
【详解】(1)一共6位同学,熟手为 位，那么生手6-x位.
(2)2h=120min,120÷20=6,
熟手:6×3x=18x
生手:6×2(6-x)=72－12x
(3)由题意得:
18x+72－12x=84
解得:x=2
则6-x=4.
答:熟手2人,生手4人.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用,关键在于读懂题意,找出有用信息.
9．列方程解应用题：某校组织七年级师生共300人乘车前往“故乡”农场进行劳动教育活动.
（1）他们早晨8：00从学校出发，原计划当天上午10：00便可以到达“故乡”农场，但实际上
他们当天上午9：40便达到了“故乡”农场，已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快10km/h.
求汽车原计划行驶的速度.
（2）到达“故乡”农场后，需要购买门票，已知该农场门票票价情况如右表，该校购买门票时共
花了3100元，那么参加此次劳动教育的教师、学生各多少人？
【答案】（1）汽车原速度为50km/h；（2）老师10人，学生290人
【分析】（1）设汽车原计划行驶的速度为x,根据路程不变得到一元一次方程，即可求解；
（2）设参加此次劳动教育的教师y人，则学生为（300-y）人, 根据题意得到一元一次方程，即可
求解.
【详解】（1）设汽车原计划行驶的速度为x,
根据题意得2x= (x+10)解得x=50
∴汽车原速度为50km/h；
（2）设参加此次劳动教育的教师y人，则学生为（300-y）人,
根据题意得20y+10(300-y)=3100
解得y=10
答：参加此次劳动教育的老师10人，学生290人.
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程求
解.
10．某学校2019学年举行席地绘画大赛.共收到绘画作品480件，其中的优秀作品评出了一、二、
三等奖.
占获奖总数的几分之几 获奖作品的件数
一等
b
奖
二等
c
奖
三等
a 96
奖
（1）则a= ；b= ；c= ；
（2）学校决定为获一等奖同学每人购买一个书包，获得二等奖同学每人购买一个文具盒，获得三
等奖同学每人购买一支钢笔，并且每位获奖同学颁发一个证书，已知文具盒单价是书包单价的 ，
证书的单价是文具盒单价的 ，钢笔的单价是文具盒单价的 ，学校购买书包、文具盒、钢笔共
用4000元，那么学校购买证书共用了多少元？
【答案】（1） ，b=32，c=64；（2）共用576元
【分析】（1）根据所给信息，计算一、二等奖占获奖总数的多少即可求出a，再根据题意列方程、
再解方程即可求出b和c的值；
（2）设文具盒的单价为x元，然后表示出其他物品的单价，最后列出一元一次方程求解即可.
【详解】解：（1）
设获奖作品的件数为x件.根据题意，得 x=b， x=c，ax=96，
解得：b=32，c=64
故答案为 、32、64.
（）设文具盒的单价为x元，则钢笔的单价为 x元，书包的单价为x÷ = x元，证书的
价为 x元.根据题意，得
32× x +64x+96× x=4000
解得x=30
则证书共用了192× x=192× ×30=576.
答：学年购买证书共用576元.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据表格所给信息，设合适的未知数并表示其它量是
解答本题的关键.
11．2020年旅游业收入将迎小高峰，某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．100元/人的门
票，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原
价售票；超过10个人的团队，其中10个人仍按原价售票，超过10人的游客打b折售票．部分购
票信息如下表：
非节假日 节假日
团队人数（人） 10 16
购买门票款（元） 600 1420
（1）分别求出a，b的值；
（2）设节假日期间某旅游团人数为x（x＞10）人，请用含x的代数式表示购票款；
（3）导游小李于10月1日（节假日）带A团，10月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，
共付门票款3600元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？
【答案】（1） ；（2） 元；（3） 团有30人， 团有20人．
【分析】（1）先求得非节假日每张门票的价格，然后由节假日每张门票的价格÷非节假日每张门
票的价格来求a、b的值；（2）根据购票款＝10人原价的票款+（x﹣10）人打折价的票款列出代数式并化简即可；
（3）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，分0≤n≤10和n＞10两种情况计算．
【详解】解：（1）非节假日每张门票的价格为：600÷10＝60（元），60÷100＝0.6，
所以非节假日打6折售票，
所以a＝6，
节假日超过10人部分的每张门票价格为（1420﹣10×100）÷（16﹣10）＝70（元），70÷100＝
0.7，
所以超过10人部分的游客打7折售票，
所以b＝7；
（2）当节假日期间某旅游团人数为x（x＞10）人时，购票款为10×100+（x﹣10）×70＝
（70x+300）（元）；
（3）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，
当0≤n≤10时，100n+60（50﹣n）＝3600，
解得，n＝15，这与n≤10矛盾；
当n＞10时，70n+300+60（50﹣n）＝3600，解得，n＝30，50﹣30＝20．
答：A团有30人，B团有20人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，根据表格提供信息确定a、b的值，是
解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论．
12．成都中考“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮
球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购100个足球，x个排球（x＞
50）．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40
元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠
送1个排球（单买排球按标价计算）．
（1）请用含x的代数式分别表示出购买A、B公司体育用品的费用；
（2）当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，求此时x的值；
（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个．在训练时，每个同学都只进行一种球类训
练，每人需要的球类个数如下表：
足球 排球 篮球
1人用1 1人用1 2人共用1
个 个 个
若学校要满足600名学生同时训练，计划拨出10500元经费采购这批足球与排球，这批经费够吗？若够，应在哪家公司采购？若不够，请说明理由．
【答案】（1）购买A公司体育用品的费用为32x+4000；购买B公司体育用品的费用为40x+3000；
（2）125；（3）够用，在A公司购买．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）列方程求解即可；
（3）设购买足球m个，可知购买排球（350-m）个，分两种情况列不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）购买A公司体育用品的费用为：0.8（50×100+40x）=32x+4000；
购买B公司体育用品的费用为：50×100+40×（x- ）=40x+3000；
答：购买A公司体育用品的费用为32x+4000；购买B公司体育用品的费用为40x+3000；
（2）根据题意，32x+4000=40x+3000，
解得，x=125,
答：当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，此时x为125；
（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个，要满足600名学生同时训练，则需要购买足
球和排球数量为：600-50-50-100×2=300，
设购买足球m个，购买排球（300-m）个，
购买A公司体育用品的费用为：0.8 [50m+40（300-m）]=10500，
解得，m=112.5, 购买足球112个，购买排球188个，总费用为10496元；
购买B公司体育用品，50m+40(300-m- )=10500,
解得，m=150, 购买足球150个，购买排球150个，总费用为10500元；
答：经费够用，可在A公司购买，费用更少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理清数量关系，找到等量关系列方程．
13．近日河北省石家庄市新冠肺炎疫情卷土重来．疫情发生后，河北省委省政府高度重视，并第
一时间启动应急预案，采取最坚决、最果断、最严格、最有效的措施，迅速阻断疫情传播．由于
疫情原因，石家庄急需大量医疗物资．成都市政府迅速组织人员筹集物资，准备运往石家庄．经
过调查，现有 两种运输方式，在运输过程中的人工费用均为200元/时，两种运输方式的收费
项目及收费标准如下表所示：
运输方
途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用（元）
式
100 18 4500
80 20 1200（1）设两地相距 千米， 两种方式所收取的费用分别为 元和 元，请分别写出 与 的关
系和 与 的关系；
（2）如果 种运输方式比 种运输方式的总费用多700元，求成都到石家庄的距离；
（3）如果两地相距1720千米， 种运输方式途中耽误3小时， 种运输方式途中耽误1.5小时，
那么出于节约成本的目的，那么应该选用哪种运输方式更好．
【答案】（1） ， ；（2）成都到石家庄的距离是1600千米；（3）
应该选用A种运输方式更好．
【分析】（1）根据总费用包括人工费，运费，装卸费即可列出y ，y ；
1 2
（2）根据 种运输方式比 种运输方式的总费用多700元，可列方程，解之即可；
（3）根据途中耽误，人工费每耽误1小时增加200，把x=1720代入函数 ， ，
由 即可选出哪种运输方式更好．
【详解】（1） ，
，
， ；
（2） 种运输方式比 种运输方式的总费用多700元，
，
解得x=1600千米，
答：成都到石家庄的距离是1600千米；
（3） x=1720千米，
，
，
，应该选用A种运输方式更好．
【点睛】本题考查函数应用题，掌握列函数的方法，根据 种运输方式比 种运输方式的总费用
多700元利用函数式构造方程，利用函数值的比较决策运输方式是解题关键．
14．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例
如：月用电量为350度时，收费为 （元）．
月用电量（单位：度） 单价（元/度）
不超过200度的部分 0.52
超过200度不超过300度的部分 0.57
超过300度的部分 0.82
（1）当月用电量为180度时，应收费多少？
（2）若小明家某月用电量为 ，请用含x的代数式表示小明家该月的电费．
（3）若小明家12月份的电费为138.2元，请求出小明家12月份的用电量．
【答案】（1）93.6元；（2）当0≤x≤200时，电费为：0.52x元；当200
