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专项 03 直角三角形中锐角平分线模型综合应用
【模型】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，已知 AC=6，
BC=8，AD是△ABC的角平分线，求DC的长.
【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则△ACD≌△AED(AAS)，
∴AE=AC=6.
在Rt△ABC中，由勾股定理
得 =10
易知EB= 设DC=x，
则DE=x，DB=8 - x，
在Rt△DEB中，由勾股定理
解得x=3，∴DC=3.【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿
过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能
求出BD的长吗？请写出求解过程．
【解答】解：能
∵BC2+AC2＝225，AB2＝225
∴AB2＝BC2+AC2．
∴∠C＝90°
∵折叠
∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°
∴BE＝AB﹣AE＝6cm
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．
∴BD2＝（12﹣BD）2+36
∴BD＝
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则AB的长度为 cm．
【答案】4
【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴CD＝DE．
又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC．
又∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AE+BE＝4cm，
∴AB＝4cm．
故填4
【变式1-2】如图，直角三角形纸片的两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿
AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝ ＝ ＝10（cm），
∵△AED是△ACD翻折而成，
∴AE＝AC＝6cm，
设DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm，
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，
即（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝3．
故CD的长为3cm．
【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边
AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 ．【答案】 cm
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝ ＝10，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，
∵AC＝8，
∴CE＝AE﹣AC＝2，
即CE的长为2，
设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得
CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝ ，
即CD长为 cm．
故答案为： cm．
【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿
AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终
点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；
（3）当AP＝CQ时，求t的值？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，
∴BC＝ ＝24cm．
（2）如图，连接PQ，
BP＝7﹣2＝5，
BQ＝6×2＝12，
在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝ ＝13（cm）；
（3）设t秒后，AP＝CQ．则
t＝24﹣6t，
解得 t＝ ．
答：P、Q两点运动 秒，AP＝CQ．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发
沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时， （cm），
①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，BP＝BC＝8，
∴t＝8，
②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，
解得：t＝ ，
综上所述，t＝8或 ；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝8（cm），
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝ ，
∴t＝ ．
综上所述：t的值为16或10或 ．1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边
的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
故选：D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，
已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．4
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，由勾股定理得：DE＝ ＝ ＝5，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝8，
∴AD＝ ＝ ＝4 ，
故选：D．
3．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交
点）．
A．30 B．45 C．60 D．75
【答案】B
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于
点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（ ）A．4 B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，
∴BC＝ ，
在Rt△ACF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴AC＝AG＝9，
设CE＝x，则FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，
∵FG2+BG2＝BF2，即x2+62＝（12﹣x）2，
解得x＝ ，即CE＝ ，
故选：B．
5．若一个直角三角形的周长为 ，斜边上的中线长为1，则此直角三角形的面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵斜边上的中线长为1，
∴斜边长为2，
设两直角边为a，b，
根据题意得a+b＝3+ ﹣2＝1+ ，a2+b2＝4，
∴ab＝ [（a+b）2﹣a2﹣b2]＝ ，
因此这个直角三角形的面积为 ab＝ ．
故选：B．
6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC＝BD，AC
＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则△ADE的周长是 ．
【答案】6cm
【解答】解：如图，连接BE．
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠C＝90°．
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴CE＝DE，
∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AD+AC＝AB﹣BC+AC＝5﹣3+4＝6（cm）．
故答案是：6cm．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若BC＝
20cm，BE＝7.6cm，则△DBE的周长为 cm．
【答案】 27.6
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB
∴DC＝DE
∴△DBE的周长为DB+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝27.6cm．
故填27.6．
8．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将三角形ABC折叠，使
AB落在斜边AC上得到线段AB'，折痕为AD，则BD的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，
∴根据勾股定理得：AC＝ ＝10，
设BD＝x，由折叠可知：DB'＝BD＝x，AB'＝AB＝6，
可得：CB'＝AC﹣AB'＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△CDB'中，
根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
则BD＝3．故答案为：3．
9．如图，有一块直角三角形纸片ABC，∠C＝90°．两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将
该纸片沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则折痕AD＝ cm．
【答案】3 ．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°
∴AB＝10cm，
∵AE＝6cm（折叠的性质），
∴BE＝4cm，
设CD＝x，
则在Rt△DEB中，
42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3cm．
∴CD＝3cm，
在Rt△ACD中，AD＝ ＝3 cm．
故答案为3 ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，
BD＝5，则CE的长度是 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，
∴AB＝5+5＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝6，
设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴CE＝ ，
故答案为： ．
