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专项 07 勾股定理之风吹荷花模型综合应用（2 大类型）
“印度荷花问题”
湖静浪平六月天，荷花半尺出水面;
忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现;
残花离根二尺遥，试问水深尽若干?
——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年）
【模型】读诗求解“出水 3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有 6尺，求
水深几何请你算”。
【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 4.5 尺.
【解析】设水深AP＝x尺， PB＝PC＝（x＋3）尺，
根据勾股定理得：PA²＋AC²＝PC²，x²＋4²＝（x＋3）².
解得 x=4.5.
答∶水深 4.5 尺.【典例1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这
根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：D．
【变式1-1】小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如
图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（
）
A．1m B．2m C．3m D． m
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1m，
则OA＝ m．故选：D．
【变式1-2】印度数学家什迦逻（1141﹣﹣1225）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可
鉴，面上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原地
五尺远，能算诸君请解题，湖水深浅知几何？”（ ）
A．12尺 B．6尺 C．5尺 D．5.5尺
【答案】A
【解答】解：设湖水深x尺，根据图形结合分析可得：x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12（尺），
故选：A．
【典例2】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，
AD＝2米，则BE＝ 米．
【答案】2
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝ ＝ ＝
8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），
在Rt△DCE中，CE＝ ＝ ＝8（米），
∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），
故答案为：2．
【变式2-1】（2020春•镇原县期末）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的
距离为3m，梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于
4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长（梯子AB的长为5m）．【答案】BB′的长为1m
【解答】解：由题意可得出：AO＝3m，A′O＝4m，AB＝A′B′＝5m，
∴在Rt△AOB中，BO2＝ ＝4（m），
在Rt△A′OB′中，B′O2＝ ＝3（m），
∴BB′的长为：4﹣3＝1（m）．
答：BB′的长为1m．
【变式2-2】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 DE＝1m，将它往前推
送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终
拉得很直，求绳索AD的长度．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高12cm．若这
支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在 Rt△ ABC 中 ： AC ＝ ＝ ＝ 15
（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，
出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其
大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇
AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶
端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为 尺．
【答案】12
【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，
解得h＝12，
∴水深为12尺，
故答案是：12．
3．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把
荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为 2尺，则池塘深
尺．
【答案】3.75
【解答】解：若设池塘深x尺．则荷花的长是（x+0.5）尺．
根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，
解之得：x＝3.75
故答案为：3.75．
4．有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面的部分为1
尺，如果把该芦苇的顶端沿水池边垂直的方向拉到岸边，发现芦苇顶端恰与水面齐平，
则芦苇的长度是 尺．
【答案】13
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）．
故答案为：13．
5．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为
13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．【答案】12；（12﹣ ）．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴ （m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD＝ （m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣ ）m．
故答案为：（12﹣ ）．
6．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引
葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池
塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直
的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多
少？（画出几何图形并解答）
【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，即芦苇长13尺，水深12尺．
7．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底
部8m处，求此树原高是多少米？（图1）
有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，
至少飞多少米？（图2）
一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则
梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3）
【解答】（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以AC＝ ＝10m；
∴此树原高＝10+6＝16m．
（2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D点飞到A点，所以最短距离为：
AD＝ ＝ m；
（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，则BC＝ ＝6m，
现将梯子顶端下移至D点，则BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，
BE＝ ＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m．8．细心观察图形，解答问题：
（1）OA ＝ ，OA ＝ ，OA ＝ ，OA ＝ ；
2 3 4 n
（2）△OA A 的周长＝ ；
8 9
（3）若一个三角形的面积是 ，计算说明它是第几个三角形？
【解答】解：（1）OA ＝ ＝ ＝ ，
2
OA ＝ ＝ ＝ ，
3
OA ＝ ＝ ＝ ＝2，
4
OA ＝ ＝ ＝ ．
n
故答案为： ， ，2， ；
（2）△OA A 的周长＝OA +OA +A A ＝ + +1＝2 +4，
8 9 8 9 8 9
故答案为：2 +4；
（3）设它是第n个三角形，则 × ×1＝2 ，
∴ ＝4 ，
∴n＝32，
答：它是第32个三角形．
