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专项 08 相似三角形种 8 字型（2 种类型）
基本模型：
【类型1：8字型】
【典例1】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口 B处立一根垂直于
井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于
点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【变式1-1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井
口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（
）
A．2米 B．3米 C． 米 D． 米
【变式1-2】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1-3】如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：
ED＝1：2，则S△AOE ：S△COB ＝．（ ）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE
交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．3：5
【变式2-2】如图，E是 ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接
BF，CD＝3CF，则S△ ▱
ADF
：S△BEF 等于（ ）
A．4：1 B．3：1 C．4：3 D．9：4
【典例3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接
AC交BE于点F．
（1）求证：BC＝CD+ED；
（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．【变式3-1】如图，在 ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点
E． ▱
（1）求证：△BCF∽△DEC．
（2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝ ．
【变式3-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC
于点F，交BC于点G．
（1）求证： ；
（2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长．
【变式3-3】如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD
于点N，ON＝1． ▱
（1）求证：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的长；
（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
【类型2：反8字型】【典例4】已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，
且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证： ；
（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．
【变式4-1】如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）
A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF
C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC
【变式4-2】如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝
1，PD＝2，求PA的长度．1．如图，已知D，E分别在直线AB，AC上，且DE∥BC，若 ＝ ，则 的值是（
）
A． B． C．2 D．
2．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，BC：DC＝1：2，S△ACB ＝2，则S△DCE 等于（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交
点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的
延长线于点F，▱若DE＝3，DF＝4，则 ABCD的周长为（ ）
▱
A．21 B．28 C．34 D．485．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE
关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若 ＝ ，
CE＝CQ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
6．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中
共有相似三角形有 对．
7．如图所示，S矩形ABCD ＝36，在边AB，AD上分别取点E，F，使得AE＝3EB，DF＝
2AF．DE与CF的交点为O，则S△FOD ＝ ．
8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并
延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 ．9．如图，AD与BC相交于点O，已知：BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm．
（1）求证：AB∥CD；
（2）当AD与BC垂直时，求AB和CD的长．（结果保留根号）
10．如图，点F为 ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E．
（1）求证：△A▱DF∽△ECF；
（2）若BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．
11．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长
线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
