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第 01 讲 勾股定理
1.基本概念
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
表达形式：在RtΔABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对
边分别为a,b,c，则有：①c2 =a2 +b2；②a2 =c2 −b2；③b2 =c2 −a2．
2.勾股定理逆定理
若三角形的三边长a,b,c满足 ，则这个三角形是直角三角形。
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
①先找出最大边（如c）
②计算 与 ，并验证是否相等。
若 = ，则△ABC 是直角三角形；若 ≠ ，则△ABC 不是
Rt△。
注意：
在判断一个三角形是不是直角三角形时，a2+b2是否等于c2需
通过计算说明，不能直接写成a2+b2=c2.3. 两线之和最小值
在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
①两定点在直线m两侧： ②两定点在直线同侧：
A
A
B
m
m
B
4. 一个点到一条线画垂线段的距离最小。
例题1
将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．5、12、13 C．9、14、15 D．12、16、20
例题2
如图所示，在 的正方形网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上，则
是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
例题3
如图，在长方形 中， cm， cm，将此长方形折叠，使点 与点 重
合，折痕为 ，则 的面积为________ .
例题4
如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点 到点 的距离为5cm，要从点
到点 经棱 拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.1．下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，12 D． ， ，
2.如图所示，在 的正方形网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上，则
是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3.已知a，b，c是三角形的三边长，且(a−5) 2+|b−12|+(c−13) 2=0，那么此三角形
是（ ）A．以a为斜边的直角三角形
B．以c为斜边的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．锐角三角形
4. ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列说法错误的（ ）
△
A．如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果 ，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果 ，则△ABC是直角三角形
D．如果∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是直角三角形
5．在Rt ABC中，若斜边AB＝3，则AC2+BC2等于( )
△
A．6 B．9 C．12 D．18
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一
个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大
正方形的面积为25，则小正方形的边长为A．9 B．6 C．4 D．3
7.已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B
与D重合，折痕为EF，则BE的长为( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．如图，在长方形 中， cm， cm，将此长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为 ，则 的面积为________ .
【答案】6
9．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
10．一个透明的圆柱形的玻璃杯，测得其底面半径为3cm，高为8cm，今有一
根长度为12cm的细吸管斜放在杯子中，则吸管露出杯口外的长度最少为
________.
11.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称
它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH
都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若
EF=2，DE=8，则AB的长为______．
【答案】10．12．如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点 到点 的距离
为5cm，要从点 到点 经棱 拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.
13．若 的三边 ， ， 满足条件 ，试判断 的
形状.
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折
至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
15．如图，把长方形纸片 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，点 落
在点 处.（1）试说明 ；
（2）设 ， ， ，试猜想 ， ， 之间的关系，并说明理由.
16．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则线段AD
△
的长度为多少？
【答案】
17．如图，点 是正方形 内一点，将 绕点 顺时针旋转 到 的位
置，若 ，求 的度数．18．如图，在∠ACB=90°中，ΔABC，AC=BC，点P是ΔABC内一点，且PA=3，
PB=1，PC=2，求∠BPC的大小.
19.如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒
的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒．
备用图
（1） ___________ ；
（2）若点 恰好在 的角平分线上，求此时 的值：
（3）在运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．20.如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D
落在BC边上的点F处，折痕为AE．以点A为原点，分别以AD所在的直线为x轴，
AB所在的直线为y轴建立坐标系.
（1）写出点B、D、E、F的坐标；
（2）在坐标轴上是否存在点G，使△AFG是以AF为腰长的等腰三角形？若存在，
请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
