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专题 4.1 一次函数
目录
变量间的关系.....................................................................................................................................1
一次函数的概念.................................................................................................................................3
正比例函数的概念.............................................................................................................................4
正比例函数解析式.............................................................................................................................5
一次函数的图象与性质.....................................................................................................................6
一次函数增减性.................................................................................................................................7
比较大小.............................................................................................................................................8
图象共存.............................................................................................................................................8
由平移确定一次函数的表达式.......................................................................................................10
一次函数性质综合...........................................................................................................................10
一次函数综合运用...........................................................................................................................11
变量间的关系
我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远
不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、
密切相关．
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
在某一变化过程中，有两个量，例如 和 ，对于 的每一个值， 都有惟一的值与
之对应，其中 是自变量， 是因变量，此时也称 是 的函数．
在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例
如：圆的面积 与圆的半径 存在相应的关系： ，这里 表示圆周率；它的
数值不会变化，是常量， 随着 的变化而变化， 是自变量， 是因变量；
【例1】父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面的表格：
海拔高度 0 1 2 3 4 5
20 14 8 2
温度
下列有关表格的分析中，不正确的是A．表格中的两个变量是海拔高度和温度
B．自变量是海拔高度
C．海拔高度越高，温度就越低
D．海拔高度每增加 ，温度升高
【变式训练1】某商店销售一批玩具时，其收入 （元 与销售数量 （个 之间有如下关系：
销售数量 1 2 3 4
（个
收入 （元
则收入 与销售数量 之间的关系式可表示为
A． B． C． D．
【变式训练2】太阳能热水器里的水温会随着太阳照射时间的变化而变化．在这个变化过程
中，自变量是
A．热水器里的水温 B．太阳照射时间
C．太阳光强弱 D．热水器的容积
【变式训练3】下列四个图象中，不是 是 的函数的是
A． B．
C． D．一次函数的概念
一般地，形如 （ ， 是常数， ）的函数，叫做一次函数，当 时，
即 ，这时即是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判
断是否能化成以上形式．
⑵当 ， 时， 仍是一次函数．
⑶当 ， 时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
【例2】以下函数中，属于一次函数的是
A． B．
C． 为常数） D． 、 为常数）
【变式训练1】下列函数中是一次函数的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列函数中，是一次函数的是
A． B． C． D．
【变式训练3】下列函数① ；② ；③ ；④ ；⑤
中，是一次函数的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】已知函数 ， 是 的一次函数，则 的值是
A．1 B． C．1或 D．任意实数
【变式训练1】已知函数 是一次函数，则 的值为A． B． C． D．
【变式训练2】若函数 是一次函数，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【变式训练3】当 为何值时，函数 是一次函数
A．2 B． C． 和2 D．3
【例4】已知 是一次函数．
（1）求 的值；
（2）若点 在这个一次函数的图象上，求 的值．
【变式训练1】已知 是一次函数．
（1）求 的值；
（2）求 时， 的值；
（3）当 时， 的值．正比例函数的概念
【例5】下列函数中，是正比例函数的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列式子中，表示 是 的正比例函数的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列式子中，哪个表示 是 的正比例函数
A． B． C． D．
【变式训练3】下列函数中，是正比例函数的是
A． B． C． D．
正比例函数解析式
【例6】点 在正比例函数 的图象上，则 的值为
A． B．15 C． D．
【变式训练1】已知 关于 成正比例，且当 时， ，则当 时， 的值为
A．3 B． C．12 D．
【变式训练2】若 与 成正比例，当 时， ，则 与 的函数解析式为
．
【变式训练3】若 与 成正比例， 与 成正比例，且当 时 ，当 时，，则 与 的函数关系式为 ．
【例7】已知 与 成正比例，且当 时， ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）当 时，求 的值；
（3）请你写出这个函数的一条性质．
【变式训练1】已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例，当 时，
；当 时， ，求 与 之间的函数关系式．一次函数的图象与性质
一次
函数
，
符号
y y y y y y
图象
O x O x O x O x O x O x
性质 随 的增大而增大 随 的增大而减小
【例8】已知一次函数 的图象如图，则点 在第 象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式训练1】一次函数 的图象不可能是下面的
A． B．
C． D．【变式训练2】一次函数 在平面直角坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
【变式训练3】若一次函数 的图象经过点 ，点 ，则该函数图象不经
过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
一次函数增减性
⑴当 时，一次函数 的图象从左到右上升， 随 的增大而增大；
⑵当 时，一次函数 的图象从左到右下降， 随 的增大而减小．
【例9】下列函数中， 随 的增大而增大的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列函数的图象不经过第二象限，且 随 的增大而增大的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列函数中， 随 的增大而减少的函数是
A． B． C． D．
【变式训练3】下列函数中，函数值 随自变量 增大而减小的是A． B． C． D．
比较大小
【例10】点 和点 都在直线 上，则 与 的大小关系为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知正比例函数 的图象上两点 ， ， ， ，当
时， ，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】若点 ， 都在直线 上，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法比较大小
【变式训练3】若点 ， ， ， 在直线 上，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
图象共存
【例11】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致是
A． B．C． D．
【变式训练1】如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数 和 、 为常
数，且 的图象是
A． B．
C． D．
【变式训练2】将一次函数 与 的图象画在同一坐标系中，正确的是
A． B．C． D．
【变式训练3】直线 与直线 在同一坐标系中的大致图象是
A． B．
C． D．
由平移确定一次函数的表达式
【例12】在平面直角坐标系中，将直线 平移后得到直线 ，则下列
平移方法正确的是
A．将 向上平移4个单位长度 B．将 向下平移6个单位长度
C．将 向左平移3个单位长度 D．将 向右平移3个单位长度
【变式训练1】在平面直角坐标系中，将直线 平移后得到直线 ，则
下列平移方法正确的是
A．将 向上平移2个单位长度 B．将 向上平移4个单位长度C．将 向左平移2个单位长度 D．将 向右平移3个单位长度
【变式训练2】若直线 与直线 关于直线 对称，则 、 值分别为
A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
【变式训练3】已知直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ，且直线 与直线
关于 轴对称，则 的值为
A． B．1 C．2 D．3
一次函数性质综合
【例13】关于函数 的图象与性质，下列说法错误的是
A．图象不经过第三象限
B．当 时，函数值 有最小值3
C． 随 的增大而减小
D．图象是与 平行的一条直线
【变式训练1】对于一次函数 ，下列结论错误的是
A．函数值随自变量增大而增大
B．函数图象与 轴正方向成 角
C．函数图象不经过第四象限
D．函数图象与 轴交于负半轴
【变式训练2】对于函数 ，下列说法：①函数图象经过点 ；② 随着 的增
大而减小；③函数图象与 轴的交点是 ；④函数图象与坐标轴围成的三角形面积是9，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3】关于一次函数 ，下列说法不正确的是
A．图象经过点 B．图象与 轴交于点
C．图象不经过第二象限 D．函数值 随 的增大而增大
一次函数综合运用
【例14】已知一次函数的图象过点 与 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的周长．
【变式训练1】已知一次函数 的图象经过点 和点 ．
（1）请在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据图象说明：函数值 随着自变量 的增大而 ；（填“增大”或“减小”
（3）求此一次函数的解析式，并写出函数图象与 轴的交点坐标．
【变式训练2】如图，直线 分别与 轴、 轴相交于 、 两点．将 折叠，使 边
落在 边上，点 与点 重合，折痕为 ．
（1）直接写出图中相等的线段；
（2）求点 坐标；
（3）求直线 的表达式．一．选择题（共8小题）
1．在圆的周长计算公式 中，对于变量和常量的说法正确的是
A．2是常量， ， ， 是变量 B．2， 是常量， ， 是变量
C．2， ， 是常量， 是变量 D．2， ， 是常量， 是变量
2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．这里，因变量是
A．骆驼 B．沙漠 C．体温 D．时间
3．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则圆周长 与 的关系式为
．下列判断正确的是
A．2是变量 B． 是变量 C． 是变量 D． 是常量
4．下面分别给出了变量 ， 之间的对应关系，其中 是 的函数的是
A． B．
C． D．
5．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升 分钟，则油箱中剩余油量
（升 与流出时间 （分钟）的函数关系是A． B． C． D．
6．在函数 中，自变量 的取值范围是
A． B． C． D． 且
7．根据以下程序，当输入 时，则输出结果
A． B． C． D．
8．某市乘出租车需付车费 （元 与行车里程 （千米）之间函数关系的图象如图所示，
那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是
A．0.71元 B．2.3元 C．1.75元 D．1.4元
二．填空题（共4小题）
9．在圆的面积公式 中，常量是 ．
10．自变量 与因变量 的关系如图，当 每增加1时， 增加 ．11．函数 中的常量是 ．
12．如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲
线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人
数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预
测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是 ．（填上你认为正确的说法的序号）
三．解答题（共3小题）
13．已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与
铝用量有如下关系：
1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
底面半径
6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
用铝量
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当易拉罐底面半径为 时，易拉罐需要的用铝量是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．
14．希望中学学生从 2014 年 12 月份开始每周喝营养牛奶， 单价为 2 元盒， 总价 元随营养牛奶盒数 变化 ． 指出其中的常量与变量， 自变量
与函数， 并写出表示函数与自变量关系的式子 ．
15．如图是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）护士每隔 小时给病人量一次体温；
（3）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度；
（4）他在4月8日12时的体温是 摄氏度；
（5）图中的横虚线表示 ；
