专题4.1一次函数中的面积问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 4.1 一次函数中的面积问题 【例题精讲】 【例1】如图，直线 过点 ， ， ． （1）求直线 的函数解析式和 的值； （2）直线 分别与 轴 轴交于点 、 ，请写出 、 的坐标． （3）求 的面积． 【解答】解：（1）设直线 解析式为 ， 将 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 解析式为 ， 把 代入 得： ， 的值是 ； （2）在 中，令 得 ， ，在 中，令 得 ， ， ； （3）如图： ， ， ， ， ， ， 的面积为 ． 【例2】如图，已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 坐标为 ， 连接 ． （1）求 的面积； （2）在直线 上是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出点 坐标，若不存 在，请说明理由． 【解答】解：（1）当 时， ，， 当 时， ， ， ， 点 坐标为 ， ， ， ； （2）存在， ， ， ， ， ， ，即 ， ， 把 代入 得， ，解得 ， 把 代入 得， ，解得 ， 或 ． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 ． （1）求直线 的表达式； （2）求 的面积； （3）动点 在射线 上运动，是否存在点 ，使 的面积与 的面积相等，若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设直线 解析式为 ， 将 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 解析式为 ； （2）过 作 于 ，如图： ， ， ， ， ， ；（3）存在， 如图：过 作 于 ， 的面积与 的面积相等， ， ， 直线 解析式为 ， ， ， ， ． 直线 解析式为 ， 当 时， ， 的坐标为 ． 【题组训练】 2．如图，已知次函数的图象过点 ， ，与正比例函数 的图象交于点 求： （1）一次函数的解析式； （2） 的面积．【解答】解：（1）设一次函数为 ， 一次函数的图象过点 ， ， ，解得 ， 故一次函数表达式为： ， （2）由 ，解得 ， 点 ， ， 的面积为： ． 3．如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ． （1）求 ， 两点的坐标； （2） 轴上有一点 ，且 ，求 的面积． 【解答】解：（1）当 时， ， 点 的坐标为 ；当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ． 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （2） 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ， ， 点 坐标为 或 ， 或6， 或 ， 三角形 的面积为4或12． 4．如图，已知一次函数 图象经过点 ，且与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． （1）求 的值； （2）求 、 两点的坐标； （2）求 的面积．【解答】解：（1） 一次函数 图象经过点 ， ， ， 的值为 ． （2）当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ， ； 当 时， ， 点 的坐标为 ． （3） 点 的坐标为 ， ， ． 的面积为3． 5．已知一次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点 ． （1）求这个函数的解析式；（2）若在第一象限有一点 ，且 的面积为4，求 的值． 【解答】解：（1）把 ， 代入 得： ， 解得： ， 则一次函数解析式为 ； （2）把 代入一次函数解析式得： ， ， ，即 ， 解得： 或 （舍去）， 则 的值为3． 6．直线 ，经 ， ， 两点． （1）求直线 的解析式； （2）如图，若直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，若点 为 的中点，求 的 面积． 【解答】解：（1） 直线 经过 ， ， 两点， ，解得： ， 直线 的解析式为 ； （2） 直线 的解析式为 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， ， ， 点 为 的中点， ， ， ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ，与 轴交于 点 ，经过点 的另一直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． （1）求点 的坐标及直线 的函数解析式； （2）求四边形 的面积． 【解答】解：（1）当 时， ，则 点坐标为 ； 直线 经过点 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 直线 经过 ， ， 点坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 分别代入得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）四边形 的面积 ． 8．如图，已知一次函数 的图象经过 ， 两点，并且交 轴于点 ， 交 轴于点 ． （1）求 和 的值； （2）求 的面积． 【解答】解：（1） 一次函数 的图象经过 ， 两点，， 解得 ． （2）由（1）知，一次函数的解析式为： ， 把 代入 ， 得 ， 所以 点坐标为 ， 所以 的面积 ． 9．如图，直线 过点 ， ， ． （1）求直线 的函数解析式和 的值； （2）求 的面积． 【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 ，得： ，解得： ， 直线 的解析式为 ． 当 时， ， 点 的坐标为 ， 即 的值为 ． （2）设直线 与 轴交于点 ，连接 ， ，如图所示． 当 时， ， 点 的坐标为 ． ． 10．如图，一次函数 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，点 的坐标是 ， 是一次函数 在 轴上方这部分上的一点，连接 ． （1）求一次函数的解析式； （2）求 的面积．【解答】解：（1）把 代入直线 得， ，解得： ， 答：一次函数的解析式为 ； （2）当 时， ， 点 的坐标为 ； 点 的坐标为 ． ， ． 答： 的面积为3． 11．如图，已知直线 经过点 和点 ．试求： （1）直线 的解析式． （2）若点 在直线 上，求 的值． （3）直线 与坐标轴围成的三角形面积． 【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ， 根据题意得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ； （2） 点 在直线 上， ， 解得 ； （3）当 时， ，解得 ，则直线 与 轴的交点坐标为 ， ， 当 时， ，则直线 与 轴的交点坐标为 ， 直线 与坐标轴围成的三角形面积 ． 12．在平面直角坐标系中，一条直线经过 ， 两点． （1）求直线 的解析式； （2）求直线 与两坐标轴交点的坐标； （3）求直线 和坐标轴围成三角形的面积． 【解答】解：（1）设直线解析式为 ， 将 ，与 两点代入得 ， 解得 ， 直线 解析式为 ； （2）将 代入 得 ， 直线 与 轴交于点 ， 将 代入 得 ，解得 ，直线 与 轴交于点 ， ； （3） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ， 直线 和坐标轴围成三角形的面积为 ． 14．如图，一次函数 的图象过 、 两点，与 轴交于 点． （1）求此一次函数的解析式； （2）求 的面积； 【解答】解：（1）根据题意得： ，解得： ， 则此一次函数的解析式为 ； （2）当 时， ，解得 ，则 ， ． 15．在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y＝x+4﹣c（c为常数），其图象与y轴交 于点A，与x轴交于点B． （1）当c＝2时，OA＝ 2 ； （2）若△OAB的面积为8． ①求出满足条件的一次函数表达式； ②若点 A在y轴正半轴，点 B在x轴负半轴上，且点 C 在线段 AB上，当 S△OAC ＝ 7S△OBC 时，请直接写出点C的坐标． 【解答】解：（1）当c＝2时，y＝x+2，当x＝0时，y＝2， ∴A（0，2）， ∴OA＝2； 故答案为：2； （2）①对于y＝x+4﹣c（c为常数）， 当x＝0时，y＝4﹣c， 当y＝0时，x＝c﹣4， ∴A（0，4﹣c），B（c﹣4，0）， ∴OA＝|4﹣c|，OB＝|c﹣4|， ∵△OAB的面积为8， ∴ ×|4﹣c|×|c﹣4|＝8， ∴（c﹣4）2＝16， 解得：c＝8或0， ∴一次函数表达式为：y＝x﹣4或y＝x+4； ②当点C在线段AB上时， ∵AC＝7BC，AC+BC＝AB＝4 ， ∴8BC＝4 ， ∴BC＝ ， ∴C（﹣ ， ）； 综上所述，点C的坐标为（﹣ ， ）． 16．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，且 ， ． （1）求直线 的函数表达式； （2）若 是第一象限内的直线 上一点，当 的面积为6时，求点 的坐标．【解答】解：（1） ， ， ， ， 把 ， 分别代入 得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）设 ， 的面积为6， ， 解得 ， 点 的坐标为 ． 17．在平面直角坐标系中，已知一次函数 与 的图象都经过 ， 且分别与 轴交于点 和点 ． （1）求 ， 的值； （2）设点 在直线 上，且在 轴右侧，当 的面积为15时，求点 的坐 标．【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 把 分 别 代 入 与 得 ， ， 解得 ， ； （2）设 ， ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ； ， ，解得 ， 点 的坐标为 ． 18．如图，过点 的直线 交 轴于点 ，将点 先向右平移2个单位，再向下平移 3个单位得到点 ，点 恰好也在直线 上． （1）求直线 的解析式及点 的坐标；（2）点 是直线 上一点，且 的面积是2，求点 的坐标． 【解答】解：（1） 将点 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点 ， ， 设直线 的解析式为 ， 直线 过 、 点， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 令 ，则 ， ； （2）设 点的横坐标为 ， 的面积是2， ， ，即 ， ， ，当 时， ； 当 时， ； 点 的坐标为 或 ． 19．如图，在直角坐标系 中，直线 过 和 两点，且分别与 轴， 轴交于 ， 两点． （1）求直线 的函数解析式； （2）若点 在 轴上，且 的面积为6．求点 的坐标． 【解答】解：（1）设直线 的函数关系式为 ， 把 ， 代入得 ， 解方程组得 ， 直线 的函数关系式为 ； （2）设 ， 当 时， ， ， ，的面积为6， ， ， 或 ． 20．如图，一次函数 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 是直线 上一 点，直线 交 轴于点 ， ； （1）求直线 的函数解析式； （2）若点 是线段 上一动点，连接 ， ，若 的面积是 面积的2倍， 求 点坐标． 【解答】解：（1） 点 是直线 上一点， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， 解得 ， 直线 的函数解析式为 ；（2）设 ， 一次函数 与 轴， 轴分别交于点 ， ， 当 时， ，当 时， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是 面积的2倍， ， 解得 ， ， ． 21．如图，直线 的解析式为： ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 和点 ． （1）求直线 的表达式； （2）求 的面积； （3）已知点 为 上一点，且 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标．【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ， 把 、 代入得 ， 解得 ． 所以直线 的解析式为 ； （2）把 代入 ，可得： ， 解得： ， 所以 点坐标为 ， 所以 的面积 ； （3）设 ， 的面积是 面积的2倍， ， 解得 或0， 点 的坐标 或 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， 点坐标为 ， ． （1）求直线 的解析式； （2）若 的面积为2，求 点坐标．【解答】解：（1） ， ， ， ， ． ， 设直线 的解析式为 ， ， ， 直线 的解析式为 ； （2）过点 作 轴于点 ， ， ， ， 点横坐标为1， 当 时， ， ．23．如图，已知正比例函数 的图象经过点 ，点 在第四象限，过点 作 轴，垂足为 ，点 的横坐标为4，且 的面积为8． （1）求正比例函数的解析式． （2）在 轴上能否找到一点 ，使 的面积为10？若存在，求点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【解答】解：（1） 点 的横坐标为4，且 的面积为8， ， 解得 ， ， 把 代入 得 ， 解得 ， 正比例函数解析式为 ； （2）存在． 设 ， 的面积为10， ， 或 ， 点坐标为 或 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 ， 轴交于 ， 两点，正比例函数 的图象 与 交于点 ．（1）若点 是直线 上的一个动点，连接 ，当 的面积是 面 积的2倍时，请求出符合条件的点 的坐标； （2）一次函数 的图象为 ，且 ， ， 不能围成三角形，求出 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， 设 ， ， ，解得： 或14， 点 的坐标为 或 ； （2）当 或 时， ， ， 不能围成三角形， 即 或 ， 当 过点 时，将点 坐标代入 并解得： ； 故当 的表达式为： 或 或 ．故 的值为 或2或1． 25．如图，已知长方形 中，边 ， ．以点 为原点， 、 所在 的直线为 轴和 轴建立直角坐标系． （1）点 的坐标为 ，写出 ． 两点的坐标； （2）若点 从 点出发，以3单位 秒的速度向 方向移动（不超过点 ，点 从原点 出发，以2单位 秒的速度向 方向移动（不超过点 ，设 、 两点同时出发， 秒 后，写出 的面积 与 之间的函数关系式． 【解答】解：（1） 四边形 是长方形， ． ， ， ； （2）当 运动 秒时， ， ． ． 26．如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别与 轴、 轴交于点、 ，并与直线 交于点 ． （1）求直线 的解析式和点 的坐标； （2）当 时，直接写出 的取值范围 ； （3）点 是线段 上一个动点（不与点 重合）， 设点 的横坐标为 ， 的面积为 ． ①求 与 间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； ②当 时，直接写出 的值 ． 【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ， 将 和 代入，得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 解方程组得 ， ， ；（2） ， 直线 在直线 的下方， 由图象可知，当 时， ， 故答案为： ； （3）①设 ， ， ， ， ， ， ， 在 之间，且不与 重合， ， 即： 与 的函数关系式为 ； ② ， ， 故答案为： ． 28．如图，已知点 ，点 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，点 是 轴上一动点． （1）求直线 的解析式； （2）联结 、 ．若 ，求点 的坐标；（3）联结 、 交线段 于点 ，且 ．求 的面积． 【解答】解：（1）过 点作 轴交于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， 解得 ， ； （2）设直线 的解析式为 ，， 解得 ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， ， 解得 ， ， ； （3）作 点关于直线 的对称点 ，连接 与 轴交于 ，与线段 交于 ， 由对称性可知， ， ， ， ， ， 设 ， ， ①， ②， 联立①②可得 ， ， ， ， ．29．如图，直线 为 ， ，点 关于直线 的对称点 在直线 上． （1）求直线 的解析式． （2）求点 的坐标． （3）若 交 于点 ，在线段 上是否存在一点 ，使 与 的面积相等？ 若存在求出 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ，， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）在 中， ， 点 、点 关于直线 对称， 设 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 点在直线 上， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图：连接 ，与 的面积相等， 与 的面积相等， ， ， ， 直线 的解析式为 ， 设直线 的解析式为 ， 在直线 上， ， 直线 的解析式为 ， 联立 ， ， ． 30．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ， 点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的 点 处，直线 交 于点 ． （1）求点 的坐标； （2）求 的面积；（3） 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请直接写出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当 时， ， 点 的坐标为 ； 当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ． 在 中， ， ， ． 由折叠的性质，可知： ， ， ， 点 的坐标为 ； （2）由折叠的性质，可知： ， ， ， ， ． 又 ， ． 在 和 中，， ， ； （3）存在，设点 的坐标为 ，则 ． ，即 ， ， ， 解得： 或 ， 轴上存在一点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．