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专项 05 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2 大类
型）
弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.
（一）内弦图模型：如图，在正方形 ABCD 中，AE⊥BF 于点 E，BF⊥CG 于点 F，
CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论： △ ABE ≌△ BCF ≌△ CDG ≌△ DAH .
（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上
的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论： △ AHE ≌△ BEF ≌△ CFG ≌△ DGH .
【类型一：内弦图模型】
【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角
形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一
倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．56 B．24 C．64 D．32
【答案】A
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝82+62＝100
所以x＝10
所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．
故选：A．
【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边
在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为 S ，S ，S ，已知S ＝4，则
1 2 3 1
S 为（ ）
3
A．8 B．16 C．4 D．4 +4
【答案】B
【解答】解：∵S ＝AC2＝4，
1
∴AC＝2，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴S ＝AB2＝16，
3
故选：B．
【变式1-2】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角
形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）A．14 B．16 C．14 D．14
【答案】D
【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝ ＝14 ．
故选：D．
【变式1-3】公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．
如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【答案】A
【解答】解：如图，
∵勾a＝3，弦c＝5，
∴股b＝ ＝4，
∴小正方形的边长＝4﹣3＝1，
∴小正方形的面积＝12＝1，
故选：A．
【类型二：外弦图模型】【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNPQ 的面积分别为 S 、S 、S ．若
1 2 3
S +S +S ＝60，则S 的值是（ ）
1 2 3 2
A．12 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m+S ，S ＝S ﹣4m，
1 2 3 2
因为S +S +S ＝60，
1 2 3
所以4m+S +S +S ﹣4m＝60，
2 2 2
即3S ＝60，
2
解得S ＝20．
2
故选：C．
【变式2】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直
角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为
S ，S ，S ，若S +S +S ＝45，则S 的值是（ ）
1 2 3 1 2 3 2
A．12 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m+S ，S ＝S ﹣4m，
1 2 3 2
∵S +S +S ＝45，
1 2 3
∴4m+S +S +S ﹣4m＝45，
2 2 2即3S ＝45，
2
解得S ＝15．
2
故选：B．
1．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部
分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是
（ ）
A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2
【答案】C
【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，
∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，
∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，
∴直角三角形 ①的面积＝ （cm2），
故选：C．
2．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而
成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
【答案】C
【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，
∴EF＝ ；
故选：C．
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其
直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4，则小正方形与大正方形的面积比是
（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：10
【答案】C
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，
∴小正方形的边长为2，
根据勾股定理得：大正方形的边长＝ ＝2 ，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
4．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4× ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如
图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．76 B．72 C．68 D．52
【答案】A
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：A．
6．如图：是由四个直角三角形所围成的最著名的赵爽弦图，由弦（c）所围成的正方形面
积为12，以勾（a）股（b）之差相乘的中间小正方形面积为 1，则（a+b）2的值是（
）A．11 B．12 C．23 D．25
【答案】
【解答】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝大正方形的面积+四个直角三角形的面积和＝
12+（12﹣1）＝23．
故选：C．
7．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 E
的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为 cm2．
【答案】98
【解答】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，
则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积
＝d2，
又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，
∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．
即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．
故答案为：98．
8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是
我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段
得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2
中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ．
【答案】16
【解答】解：由题意作出如下图，
得AC＝ ，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，
则大正方形面积＝AC2＝34，
△ADC面积＝ （5×3﹣2×3）＝4.5，
阴影部分的面积S＝34﹣4×4.5＝16，
故答案为：16．
9．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在 Rt△ABC中，AC＝b，
BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则a+b的值
为 ．【答案】8
【解答】解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，
∴a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，
∴4× ab＝34﹣4＝30，
∴2ab＝30，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8．
故答案为：8．
10．如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正
方形的面积是 17，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别为 a，b，则
（a+b）2的值是 ．
【答案】33
【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大
正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，
∴ ，即 ，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+16＝33．
故答案为：33．
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所
示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积
为57，则小正方形的边长为 ．【答案】
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝107，
∴a2+2ab+b2＝107，
∵大正方形的面积为57，
∴2ab＝107﹣57＝50，
∴小正方形的面积为57﹣50＝7，
故小正方形的边长为 ．
故答案为： ．
12．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝
4，AB＝5．四边形EFGH的面积是 ．
【答案】1
【解答】解：因为AB＝5，所以S正方形ABCD ＝5×5＝25．
Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5，
则BF＝ ＝3，
所以S
Rt△ABF
＝ ×3×4＝6，
四个直角三角形的面积为：6×4＝24，
四边形EFGH的面积是25﹣24＝1．
故答案为113．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，
思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与
一 个 小 正 方 形 的 面 积 之 和 ， 即 ， 从 而 得 到 等 式 c2 ＝
，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得
到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个
问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求
CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，
求x的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中 …（2分）
由面积的两种算法可得： …（4分）
解得：CD＝ …（5分）
（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2…（6分）
在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2…（8分）
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）
解得 ＝ （10分）14．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题
这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问
题：
（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股
定理；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求
CD的长度．
【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：
（b﹣a）2，
∴c2＝4× ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2
即c2＝a2+b2．
（2）在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴由勾股定理，得：AB＝ ＝5
∵CD⊥AB，
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CD
∴CD＝ ．
