文档内容
专题 09 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2 大类
型）
专题说明
勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘徽青朱出入法、欧几里得面
积法等），理解证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入
法解决一些问题；体验知识的迁移和方法的运用过程，从而提高分析、类比的
能力，提高解决问题的能力；感受勾股定理中折射出的数学文化，体验数学美。
解题思路
弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.
（一）内弦图模型：如图，在正方形 ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH
于点G，DH⊥AE于点H，则有结论： △ AB E ≌△ BC F ≌△ CDG ≌△ DAH .
（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的
点，且四边形EFGH是正方形，则有结论： △ AH E ≌△ BE F ≌△ CFG ≌△ DGH .【典例分析】
【类型一：内弦图模型】
【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直
角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围
周长是（ ）
A．56 B．24 C．64 D．32
【答案】A
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为 x，
则
x2＝82+62＝100
所以x＝10
所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．
故选：A．
【变式1-1】（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”
的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC＝6，BC＝4，将四
个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数
学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．56 B．24 C．64 D．32【答案】A
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为 x，
则
x2＝82+62＝100
所以x＝10
所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．
故选：A．
【变式1-2】（2022秋•锡山区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了
勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等
直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边
长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正
方形的面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝ ，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，
∴ab＝4，
∴大正方形的面积＝4× ab+5＝13，
故选：B．
【变式1-3】（2021春•饶平县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”
的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE＝5，BE＝
12，则EF的长是（ ）A．7 B．8 C．7 D．7
【答案】C
【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长＝12﹣5＝7，
∴EF＝ ；
故选：C．
【类型二：外弦图模型】
【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼
接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为
S 、S 、S ．若S +S +S ＝60，则S 的值是（ ）
1 2 3 1 2 3 2
A．12 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m+S ，S ＝S ﹣4m，
1 2 3 2
因为S +S +S ＝60，
1 2 3
所以4m+S +S +S ﹣4m＝60，
2 2 2
即3S ＝60，
2
解得S ＝20．
2
故选：C．
【变式2-1】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正
方形 MNPQ 的面积分别为 S ，S ，S ，若 S +S +S ＝45，则 S 的值是
1 2 3 1 2 3 2
（ ）
A．12 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m+S ，S ＝S ﹣4m，
1 2 3 2
∵S +S +S ＝45，
1 2 3
∴4m+S +S +S ﹣4m＝45，
2 2 2
即3S ＝45，
2
解得S ＝15．
2
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，
根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，
故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作
出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理
的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+（b
﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+c2＝
2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为： （a+b）（a+b）＝ （a2+b2）+ab；
也可看作是 2 个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：
ab×2+ c2＝ab+ c2，
∴ab+ c2＝ （a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【夯实基础】
1．（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角
三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长
为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外
围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（ ）A．6 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【解答】解：根据题意得：OB＝OC＝3，4（AB+AC）＝24，即 AB+AC＝
6，
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即（6﹣AC）2＝
32+（3+AC）2，
解得：AC＝1，
∴OA＝3+1＝4，
∴ ，
∴该飞镖状图案的面积＝4S ＝24，
△AOB
故选：D．
2．（2022•费县校级二模）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方
形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为4，若
用 x，y 表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：① x2+y2＝
49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵大正方形面积为49，
∴大正方形边长为7，
在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，
故说法①正确；
∵小正方形面积为4，
∴小正方形边长为2，
∴x﹣y＝2，
故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴4× xy+4＝49，
∴2xy+4＝49，
故说法③正确；
∵2xy+4＝49，
∴2xy＝45，
∵x2+y2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49+45，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝ ，
故说法④错误；
故选：A．
3．（2022秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全
等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形
的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则（a+b）2的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【解答】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是13，∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是 ＝3，
又∵直角三角形的面积是 ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故选：C．
4．（2021秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示
意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边 BC＝5，将四个
直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学
风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）
A．76 B．57 C．38 D．19
【答案】A
【解答】解：设AC＝AD＝x，则BD＝30﹣5﹣2x＝25﹣2x，
∵BD2＝BC2+CD2，
∴52+（2x）2＝（25﹣2x）2，
∴x＝6，
∴BD＝25﹣2x＝13，AD＝6，
∴这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．
故选：A．
5．（2022秋•新郑市校级月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由
八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EPGH正方
形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若S +S +S ＝2022，则S 的值是（ ）
1 2 3 1 2 3 2A．672 B．673 C．674 D．675
【答案】C
【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S ＝（a+b）2，S ＝a2+b2，S ＝（a﹣b）2，
1 2 3
∵S +S +S ＝2022，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝2022，
1 2 3
∴3（a2+b2）＝2022，
∴3S ＝2022，
2
∴S 的值是674．
2
故选：C．
6．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项 A中：（a+b）（a+b）× ＝ ab×2+ c2，化简得：a2+b2
＝c2，故选项A不符合题意；
选项B中：（a+b）2＝ ab×4+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项B不符合题意；选项C中：c＝ ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；
选项D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D符合
题意；
故选：D．
7．（2022•馆陶县一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的
是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
【答案】B
【解答】解：由图1可得，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
即图1可以说明平方差公式；
由图2可得，
（a+b）2＝ ab×4+c2，
化简，得：a2+b2＝c2，
即图2可以说明勾股定理；
故选：B．
8．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意
图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE＝5，BE＝13，则
EF2的值是（ ）A．128 B．64 C．32 D．144
【答案】A
【解答】解：∵AE＝5，BE＝13，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴小正方形的面积为：（ ）2﹣ ×4＝194﹣130＝64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2＝128，
故选：A．
【能力提升】
9．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法
运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连
同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】B
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为
c，根据题意得： ，
解得：c2＝27，
解得：c＝3 或﹣3 （舍去），
故大正方形的边长为3 ，
故选：B．
10．（2022秋•代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长
的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓
（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，
正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S ＝42，求
1 2 3 1 2 3
S 的值．
2
【解答】解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，
大正方形的面积＝4× ab+（a﹣b）2，
∴4× ab+（a﹣b）2＝c2，
化简可得，a2+b2＝c2；（2）24÷4＝6，
设AC＝x，则AB＝6﹣x，
依题意得：
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
∴该“勾股风车”图案的面积为： ×（3+1）×3×4
＝ ×4×3×4
＝24．
答：该“勾股风车”图案的面积为24；
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则
S ＝S ﹣4a，S ＝S +4a，
2 1 2 3
两式相加，可得2S ＝S +S ，
2 1 3
又∵S +2S +S ＝42，
1 2 3
∴4S ＝42，
2
∴S ＝10.5．
2
11．（2022秋•吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同
一图形的面积可以探求相应的数量关系．
如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成
的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为 a、b（a＜b），斜边长
为 c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为 （ a + b ） 2 、 c 2 + 2 ab
，由此可发现a，b，c之间的数量关系为 a 2 + b 2 ＝ c 2 ．
【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图 2，a，
b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以
说明．【解答】解：（1）大正方形的面积＝（a+b）2；或大正方形的面积＝
c2+2ab；
∴（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2，
故答案为：（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2；
（2）结论仍然成立．
理由：如图2中，过点F作FH⊥CD于点H．
这个几何图形的面积＝正方形BCHF的面积+正方形ETHD的面积+2个直角
三角形的面积＝正方形ABJE的面积+2个正方形的面积，
∴a2+b2+ab＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2．
12．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点
A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S ＝S +S +S ，
梯形ABCD △ABE △BEC △DEC
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a2+b2＝c2．
13．（2022春•玉山县月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一
个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数
式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数
和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
（1）如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的 ，求直角三角
形的长直角边AC的长；
（2）小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边
分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．
【解答】解：（1）如图，
设大正方形面积为5x2，
∴AB＝ x，
∵小正方形的面积占总面积的 ，
∴小正方形面积为x2，
∴CD＝x，
∵四个直角三角形全等，
∴AD＝BC＝1，
∴AC＝AD+CD＝x+1，
在Rt△ABC中，
AC2+BC2＝AB2，
即（x+1）2+12＝（ x）2，
解得：x＝﹣ （舍）或x＝1，
∴AC＝x+1＝1+1＝2；
（2）如图，∵四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，
∴AE＝AC＝2，
∴CE＝AC+AE＝4，
在Rt△BCE中，
BE＝ ＝ ＝ ，
这个风车的周长为：4×（AE+BE）＝8+4 ．
14．（2022秋•榕城区期中）知识探究：
如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1
完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3
的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体
的关系完成第（1）（2）题．
请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示：
图2中正方形ABCD的面积： （ m ﹣ n ） 2 + 2 m n ．
图3中正方形ABCD的面积： （ m + n ） 2 ﹣ 2 m n ．
（2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
之间的等量关系 （ m ﹣ n ） 2 ＝（ m + n ） 2 ﹣ 4 mn 或者（ m + n ） 2 ＝（ m ﹣ n ）
2 +4 mn ． ．
知识应用：
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；
②已知：a＞0，a﹣ ＝ ，求：a+ 的值．【解答】解：（1）图2中，正方形ABCD面积为AB2，
由图1得AB2＝m2+n2，
∴由图中正方形EFGH面积加上四个直角三角形面积等于正方形 ABCD的面
积可得：
m2+n2＝（m﹣n）2+2mn；
图3中正方形ABCD的面积为AB2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．
故答案为：（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn．
（2）∵图2中正方形EFGH的面积为（m﹣n）2，
而S ＝S ＝S ＝S ＝ ．
△ABG △DAF △CDE △BCH
∴图2中正方形ABCD的面积＝（m﹣n）2+4× ＝（m﹣n）2+2mn．
又∵图3中正方形ABCD的面积＝（m+n）2﹣2mn，
图2与图3中正方形ABCD的边长都是图1中直角三角形的斜边，
∴图1中正方形ABCD的面积＝图2中正方形ABCD的面积．
故（m﹣n）2+2mn＝（m+n）2﹣2mn．
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．
（3）由（1）可得：
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝25﹣24＝1；
，
∴ ，
又a＞0，∴ ．
15．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角
形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直
角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮
廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S
1 2 3 1 2 3
＝40，则S ＝ ．
2
【解答】解：（1）S ＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S ＝c2﹣
小正方形 小正方形
4× ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝ ×4×3×4
＝24．故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为
y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 S ，S ，S ，
1 2 3
S +S +S ＝40，
1 2 3
∴得出S ＝8y+x，S ＝4y+x，S ＝x，
1 2 3
∴S +S +S ＝3x+12y＝40，
1 2 3
∴x+4y＝ ，
∴S ＝x+4y＝ ．
2
故答案为： ．
16．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边
为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾
股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
【解答】解：图形的总面积可以表示为：c2+2× ab＝c2+ab，
也可以表示为：a2+b2+2× ab＝a2+b2+ab，
所以，c2+ab＝a2+b2+ab，
所以，a2+b2＝c2．
17．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四
边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，
∴S ＝（a+b）2，S ＝c2，S ＝ ×ab，
正方形ABCD 正方形EFGH △BEF
∵S ＝S +4S ，
正方形ABCD 正方形EFGH △BEF
∴（a+b）2＝c2+4× ×ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2．
18．（2021 秋•和平区校级期中）如图，其中△ABH、△BCG、△CDF 和
△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据
这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设 AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c
＝20，b﹣a＝4．
（1）填空：正方形EFGH的面积为 16 ，四个直角三角形的面积和为
384 ．
（2）求a+b的值．
【解答】解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，∴S ＝HE2＝16，
正方形EFGH
∵AD＝c＝20，
∴S ＝AD2＝400，
正方形ABCD
∴四个直角三角形的面积和＝S ﹣S ＝400﹣16＝384，
正方形ABCD 正方形EFGH
故答案为：16；384；
（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，
∴4× ab＝384，解得2ab＝384，
∵a2+b2＝c2＝400，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．
∴a+b＝28（负值舍去）．
