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专题 1.1 勾股定理
目录
已知两边求第三边.............................................................................................................................1
已知两边求第三边（需要分类讨论）............................................................................................2
勾股定理求面积.................................................................................................................................2
求斜边的高.........................................................................................................................................3
证明勾股定理的内容.........................................................................................................................4
判断勾股数.........................................................................................................................................6
勾股数与倍数.....................................................................................................................................6
勾股定理逆定理.................................................................................................................................7
勾股定理的应用（简单的实际应用）............................................................................................8
勾股定理的应用（最短长度）.........................................................................................................9
勾股定理的应用（台风问题）.......................................................................................................10
折叠问题...........................................................................................................................................12
已知两边求第三边
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么
.
勾股定理的适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角
形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定
理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，可求第三边.
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系.
③可运用勾股定理解决一些实际问题.【例1】如图，在三角形 中，已知 ， ， ，则 的大小有可能
是
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式训练1】直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为
A．13 B．14 C． D．15
【变式训练2】在 中， ．若 ， ，则
A．5 B．6 C．8 D．10
【变式训练3】设直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ．已知 ，
，则 的值为
A．2 B．6 C．5 D．36
已知两边求第三边（需要分类讨论）
【例2】已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为
A．30 B． C． 或30 D．36
【变式训练1】已知3，4， 是一个直角三角形的三条边长，则实数 的相反数为
A．5 B． C．5或 D． 或
【变式训练2】一个直角三角形的两边长分别为 、 ，则第三条边长为A． B． C． D． 或
【变式训练3】若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是
A．13 B．13或 C． D．12或13
勾股定理求面积
【例3】在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积
是
A．30 B．40 C．50 D．60
【变式训练1】在 中， ， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已
知 ， ，则 的面积为
A．96 B．98 C．108 D．120
【变式训练2】如图，在 中， ， ， ，以 为边作正方形
，则正方形 的面积为
A．5 B．9 C．16 D．25
【变式训练3】 中， ， ，高 ，则 的面积为
A．66 B．126 C．54或44 D．126或66求斜边的高
若直角三角形两直角边的边长为 和 ，斜边长为 ，则斜边上的高 ．
【例4】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边上的高为
A．10 B．16 C．4.8 D．48
【变式训练1】直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高
A．6 B．8 C． D．
【变式训练2】等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为
A．24 B．7 C．6 D．5
【变式训练3】直角三角形的一直角边长 ，斜边长 ，则其斜边上的高是
．
证明勾股定理的内容
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图
的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大
图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【例5】如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三
角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是 ，每个直角三角形
较短的一条直角边的长是 ，则小正方形的边长为A． B． C． D．
【变式训练1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形
设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，若 ，大
正方形的面积为14，则小正方形的面积为
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2】4个全等的直角三角形的直角边分别为 、 ，斜边为 ．现把它们适当拼
合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请
试一试．
【变式训练3】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三
角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别
为 、 ，斜边长为 ．图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，
即 ，所以 ．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角
三角形拼成一个直角梯形 ，其中 ， ，根据拼图证明勾
股定理．【定理应用】在 中， ， 、 、 所对的边长分别为 、 、 ．
求证： ．
判断勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ，
， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数.
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等
③用含字母的代数式表示 组勾股数：
m2 −n2,2mn,m2 +n2 (m>n
丢番图发现的：式子 的正整数）
毕达哥拉斯发现的：
2n+1,2n2 +2n,2n2 +2n+1
（
n>1
的整数）
柏拉图发现的：
2n,n2 −1,n2 +1
（
n>1
的整数）.
【例6】下列各组数中，是勾股数的是
A．1.5，2，2.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1， ，
【变式训练1】下列各组数不是勾股数的是
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1
【变式训练2】下列选项中不是勾股数的是
A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15【变式训练3】有下列各组数：①3，4，5；② ， ， ；③0.5，1.2，1.3；④1，
， ．其中勾股数有
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
勾股数与倍数
【例7】将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
【变式训练1】直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
【变式训练2】将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍， ，可以得到勾股数6，8，10；
9，12，15；12，16，20； ，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也
写出三组基本勾股数 ， ， ．
（答案不唯一）
【变式训练3】已知 、 、 是一组勾股数．把这三个数分别扩大2倍，所得的3个数还
是勾股数吗？扩大 倍呢？证明你的结论．勾股定理逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其
中 为斜边.
①若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，
时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三
角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角
三角形，但是 为斜边.
③勾股定理的逆定理在描述时，不能说成：当“斜边”的平方等于两条“直角
边”的平方和时，这个三角形是直角三角形.
【例8】下列各组数中，能构成直角三角形的为
A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13
【变式训练1】判断下列四组数据，不可以作为直角三角形三条边的是
A．0.3，0.4，0.5 B．4，3，5 C．8，15，17 D．1，2，3
【变式训练2】在下列以线段 ， ， 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
A． ， ， B． ， ，
C． D． ， ，
【变式训练3】已知在 中， 、 、 所对的边分别是 、 、 ，则添加下列
条件，不能判定 是直角三角形的是A． B．
C． D．
【例9】有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少．
【变式训练1】如图，把一块直角三角形 土地划出一个三角形
后，测得 米， 米， 米， 米．
（1）求证： ；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
勾股定理的应用（简单的实际应用）
【例10】如图，有一个羽毛球场地是长方形 ，如果 ， ．若你要从
走到 至少要走
A． B． C． D．
【变式训练1】一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
【变式训练2】如图所示，甲渔船以8海里 时的速度离开港口 向东北方向航行，乙渔船
以6海里 时的速度离开港口 向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙
两渔船相距
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【变式训练3】多走几步路，就可以留下一片期待的绿色．如图，学校有一块长方形草坪，
有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．请你算一算，其实这
些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草，留下不文明的形象．（假设1步为勾股定理的应用（最短长度）
【例11】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，
则一条长16的直吸管露在罐外部分 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围
是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高
．若这支铅笔长为 ，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，将一根长为 的吸管，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形
水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为 ，则 的取值范围是 ．
【变式训练3】一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为 ，高为 ，吸管放
进杯里（如图），杯口外面至少要露出 ，为节省材料，管长 的取值范围是．
勾股定理的应用（台风问题）
【例12】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周
围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向
由点 行驶向点 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上两点 ， 的距离分别为
和 ，且 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求证： ；
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式训练1】如图，有两条公路 ， 相交成 ，沿公路 方向离 点80米处
有一所学校 ，当重型运输卡车 沿道路 的方向行驶时，以 为圆心，50米长为半径
的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 与学校 的距离越近噪声影响越大，若
重型运输卡车 沿道路 方向行驶的速度为5米 秒．
（1）求卡车 对学校 的噪声影响最大时，卡车 与学校 的距离；
（2）求卡车 沿道路 方向行驶一次，它给学校 带来噪声影响的总时间．【变式训练2】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过 ，如
图，一辆小汽车在该笔直路段 上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪 的正
前方 的点 处， 后小汽车行驶到点 处，测得此时小汽车与车速检测仪 间的距
离为 ．
（1）求 的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
折叠问题
【例13】已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点
与点 重合，折痕为 ，则 的面积为
A． B． C． D．【变式训练1】如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在
点 处，则重叠部分 的面积为 ．
【变式训练2】如图，矩形纸片 中， ， ，现把矩形纸片 沿对角
线 折叠，点 与 重合，求 的长．
【变式训练3】如图所示，折叠长方形一边 ，点 落在 边的点 处，已知
厘米， 厘米．
（1）求 与 的长．
（2）求 的长．1．在 中，若斜边 ，则 等于
A．5 B．10 C．20 D．25
2．如图，在 中， ， ， ，则
A．12 B．13 C．14 D．15
3．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的
大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边
与较长的直角边 的比 的值是
A． B． C． D．
4．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为 ，则斜边长为
A． B． C． D．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1， ，3
6．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是A． B．
C． D．
7．下列各组数中，是勾股数的是
A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D． ， ，
8．如图，一根长 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端 ．如果
梯子的顶端下滑 ，那么梯子的底端将向右滑动
A． B． C． D．
9．如图， 在 中， ， ，正方形 的面积为 100 ，则
正方形 的面积为 ．
10．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是 ．
11．如图是“赵爽弦图”， 、 、 和 是四个全等的直角三角形，
四边形 和 都是正方形．如果 ， ，则 ．12．如图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．
13．如图所示，已知 中， 于 ， ， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的长；
（3）求证： 是直角三角形．
14．如图，在 中， ， 是线段 上一点， ，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的周长．
15．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 ，较短的直角边为 ，斜边长为 ，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周
长为24， ，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形
，正方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 ．
