文档内容
专题 09 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2 大类
型）
专题说明
勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘徽青朱出入法、欧几里得面
积法等），理解证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入
法解决一些问题；体验知识的迁移和方法的运用过程，从而提高分析、类比的
能力，提高解决问题的能力；感受勾股定理中折射出的数学文化，体验数学美。
解题思路
弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.
（一）内弦图模型：如图，在正方形 ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH
于点G，DH⊥AE于点H，则有结论： △ AB E ≌△ BC F ≌△ CDG ≌△ DAH .
（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的
点，且四边形EFGH是正方形，则有结论： △ AH E ≌△ BE F ≌△ CFG ≌△ DGH .【典例分析】
【类型一：内弦图模型】
【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直
角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围
周长是（ ）
A．56 B．24 C．64 D．32
【变式1-1】（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”
的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC＝6，BC＝4，将四
个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数
学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．56 B．24 C．64 D．32
【变式1-2】（2022秋•锡山区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了
勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等
直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边
长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正
方形的面积为（ ）A．12 B．13 C．14 D．15
【变式1-3】（2021春•饶平县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”
的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE＝5，BE＝
12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
【类型二：外弦图模型】
【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼
接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为
S 、S 、S ．若S +S +S ＝60，则S 的值是（ ）
1 2 3 1 2 3 2
A．12 B．15 C．20 D．30
【变式2-1】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由
八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正
方形 MNPQ 的面积分别为 S ，S ，S ，若 S +S +S ＝45，则 S 的值是
1 2 3 1 2 3 2
（ ）A．12 B．15 C．20 D．25
【变式2-2】（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，
根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，
故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作
出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理
的是（ ）
A． B．
C． D．
【夯实基础】
1．（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角
三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长
为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外
围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（ ）A．6 B．12 C．16 D．24
2．（2022•费县校级二模）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方
形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为4，若
用 x，y 表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：① x2+y2＝
49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
3．（2022秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全
等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形
的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则（a+b）2的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
4．（2021秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示
意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边 BC＝5，将四个
直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学
风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）
A．76 B．57 C．38 D．19
5．（2022秋•新郑市校级月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EPGH正方
形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若S +S +S ＝2022，则S 的值是（ ）
1 2 3 1 2 3 2
A．672 B．673 C．674 D．675
6．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B．
C． D．
7．（2022•馆陶县一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的
是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
8．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意
图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE＝5，BE＝13，则
EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
【能力提升】
9．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法
运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连
同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
10．（2022秋•代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长
的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓
（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S ＝42，求
1 2 3 1 2 3
S 的值．
2
11．（2022秋•吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同
一图形的面积可以探求相应的数量关系．
如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成
的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为 a、b（a＜b），斜边长
为c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为 、 ，由此
可发现a，b，c之间的数量关系为 ．
【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图 2，a，
b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以
说明．12．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点
A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
13．（2022春•玉山县月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一
个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数
式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数
和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
（1）如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短
直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的 ，求直角三角
形的长直角边AC的长；
（2）小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边
分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．14．（2022秋•榕城区期中）知识探究：
如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1
完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3
的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体
的关系完成第（1）（2）题．
请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示：
图2中正方形ABCD的面积： ．
图3中正方形ABCD的面积： ．
（2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
之间的等量关系 ．
知识应用：
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；
②已知：a＞0，a﹣ ＝ ，求：a+ 的值．
15．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直
角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮
廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S
1 2 3 1 2 3
＝40，则S ＝ ．
2
16．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边
为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾
股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．17．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四
边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．
18．（2021 秋•和平区校级期中）如图，其中△ABH、△BCG、△CDF 和
△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据
这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设 AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c
＝20，b﹣a＝4．
（1）填空：正方形EFGH的面积为 ，四个直角三角形的面积和为
．
（2）求a+b的值．
