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专项 06 勾股定理之大树折断模型综合应用（2 大类
型）
“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有
竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，
一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的
竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）
【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角
边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.
【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.
【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.
由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55.
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺
此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与
其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，
求出答案.【典例1】如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，
则大树断裂之前的高度为（ ）
A．9米 B．15米 C．21米 D．24米
【答案】D
【解答】解：由题意得 BC＝9，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得：AB＝
＝15米．
所以大树的高度是15+9＝24米．
故选：D．
【变式1】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B
恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树高为（ ）
A． 米 B． 米 C．4 米 D．（ +1）米
【答案】D
【解答】解：Rt△ABC中，AC＝1米，AB＝3米；
由勾股定理，得：BC＝ ＝ 米；
∴树的高度为：AC+BC＝（ +1）米；
故选：D．
【典例2】我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，
委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”
译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，
堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳
索AC的长为 尺．【答案】
【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
x2﹣（x﹣3）2＝82，
解得：x＝ ，
答：绳索长为 尺．
故答案为： ．
【变式2】折竹抵地（源自《九章算术》）：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问
折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰
好抵地，抵地处离原竹子处3尺远．则原处还有 尺竹子．（1丈＝10尺）
【答案】4.55
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故答案为：4.55．1．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度
的结果是 ．
【答案】 18 米
【解答】解：大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵AB＝5米，AC＝12米，
∴BC＝ ＝13米，
大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米．
故答案为：18米．
2．《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者
高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面
处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 尺．
【答案】4.55
【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，
由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，
解得x＝4.55，
∴折断处离地面的高度为4.55尺，
故答案为：4.55．
3．如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一
棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，
则这棵大树折断前有 米（保留到0.1米）．【答案】 13.6
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ≈8.6米，
5+8.6＝13.6米．
故答案为：13.6．
4．如图，受台风影响，马路边一棵大树在离地面 6m处断裂，大树顶端落在离底部8m处，
则大树折断之前高为 m．
【答案】16
【解答】解：设树的总高度为h，由勾股定理得：BC2＝AC2+AB2，
BC＝ ＝ ＝10m，
∵AC＝6m，∴h＝AC+BC＝10+6＝16m．
5．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有 米．
【答案】8
【解答】解：∵32+42＝25， ＝5，5+3＝8m，
∴树折断之前的高度为8米．
故答案为：8．
6．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高
度是 m．【答案】16
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m，旗杆离地面6m折断，且旗
杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为 ＝10m，
所以旗杆折断之前高度为10m+6m＝16m．
故此题答案为16m．
7．如图，受强台风“罗莎”的影响，张大爷家屋前 9m远处有一棵大树，从离地面6m处
折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时会砸到张大爷的房子吗答：
（“会”和“不会”请选填一个）
【答案】不会
【解答】解：由题可知大树倒下后树尖距树根的距离＝ ＝8m＜9m，故大树不
会砸到房子．
8．如图所示，某商场有一段楼梯，高BC为2米，楼梯最高点和最低点的距离AB为4米，
如果在楼梯上铺上地毯，那么要使用的地毯长度是 米 ．
【答案】 （ 2 +2 ）
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝4．
∴AC＝ ＝2 ．
由题意可得，楼梯所有台阶的高度之和等于 BC，楼梯所有台阶的水平距离之和等于AC．
∴地毯的长度为：AC+BC＝（2 +2）米．
故答案为：（2 +2）米．
9．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，
系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立
着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚
有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部 8尺处时绳索用尽．问绳
索长是多少尺？
【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
即x2﹣（x﹣3）2＝82，
解得x＝ ，
答：绳索长为 尺．
10．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从高地面 5米处吹断，倒下的旗杆的顶端
落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，
∴BC＝ ＝13m，
∴旗杆的高＝AB+BC＝13+5＝18m．
答：这根旗杆被吹断裂前有18米高．11．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶
端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，
∴BC＝ ＝ ＝10m，
∴旗杆的高＝AB+BC＝2.8+10＝12.8m．
答：这根旗杆被吹断裂前至少有12.8米高．
12．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，
∠ABC等于45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度为多少米？（答
案保留根号）
【解答】解；由题意得，在△ACB中，∠C＝90°
∵∠ABC＝45°
∴∠A＝45°
∴∠ABC＝∠A
∴AC＝BC（2分）
∵BC＝4∴AC＝4（3分）
由AC2+BC2＝AB2得
AB＝ ；（5分）
所以此树在未折断之前的高度为（4+ ）米．（6分）
13．某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为 7m的电线杆AC，被台风从离地面2m的B处
吹断裂，倒下的电线杆顶部C′是否会落在距离它的底部4m的快车道上？说说你的道
理．
【解答】解：根据题意，AB＝2m，则BC＝7﹣2＝5m，于是AC′＝ ＝ ，
又因为 ＞4，
∴电线杆顶部C′会落在距它的底部4m的快车道上．
