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专项 07 一元二次方程的实际应用（5 大类型）
类型一 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
类型二 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
类型三 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠
卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
类型四 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
类型五 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则类型六 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公
式列出方程.
【典例1】（2022•金平区校级模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让
人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面
向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率
不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
【变式1-1】（2022•安徽模拟）据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电
动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．
设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．24.9（1+2x）＝30.3
B．24.9×2（1+x）＝30.3
C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3
D．24.9（1+x）2＝30.3
【变式1-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党
的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长
率为x，可得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
【变式1-3】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度
的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．根据题
意列方程正确的是（ ）
A．250(1+x) 2=900 B．250(1+x%) 2=900
C．250(1+x)+250(1+x) 2=900 D．250+250(1+x)+250(1+x) 2=900
【典例2】（2022•咸丰县模拟）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流
感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则
可列方程（ ）
A．（1+x）2＝121 B．（1﹣x）2＝121
C．x+x（1+x）＝121 D．1+x+（1+x）2＝121
【变式2-1】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种
植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小
分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式2-2】（2022•和平区一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出
同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则
下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【变式2-3】（2022春•新昌县期末）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【典例3】（2022春•广饶县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，
有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（ ）
A． x（x﹣1）＝66 B． ＝66
C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66
【变式3-1】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为
单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-3】（2022•鸡冠区校级一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物
与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共
有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【典例4】（2022春•金东区期末）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一
款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；
根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影
响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？
【变式4-1】（2022春•泰州期末）今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当
商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，
在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品
每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？【变式4-2】（2022春•新泰市期末）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，
报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．
当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平
均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量
就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
【变式4-3】（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本
价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千
克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少
元？【典例5】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，
一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？
【变式5-1】用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为
xcm，则可列方程为（ ）
A．x(30−x)=200 B．x(30+x)=200
C．x(60+x)=200 D．x(60−x)=200
【变式5-2】（2022春•蚌埠期末）如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园
ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留
2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．【变式5-3】（2022春•槐荫区期末）如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有
两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
【典例6】（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝
24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发
沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运
动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【变式6-1】（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝
6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移
动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之
停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s【变式6-2】（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝
25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，
沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【变式6-3】（2022春•肥东县期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从
点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以
2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
问经过几秒后，P，Q两点的距离是4 cm？1．（2022春•平桂区 期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降
价率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20
2．（2022春•南谯区期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间要赛一
场，计划安排15场比赛，则比赛组织者邀请球队的数量是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
3．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有 64人患了流感．设每
轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
4．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第
二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若
设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36
5．（2022春•两江新区期末）某中学连续三年开展植树活动，已知2020年植树500棵，
2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可以列方
程为（ ）
A．500（1+x）2＝720
B．500（1+x%）2＝720
C．500（1+2x）＝720
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
6．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形
临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为
x米，则下列各方程中，正确的是（ ）1 1
A． x（55﹣x）＝375 B． x（55﹣2x）＝375
2 2
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
7．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），
另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．
设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
8．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度
相同的三条丝绸花边，若丝绸花边的面积为650cm2，设花边的宽度为xcm.根据题意得
方程 .
9．（2022春•海门市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 144个人患了流感，
每轮传染中平均一个人传染了几个人？
10．（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛
的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
11．某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬
衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈
利达到1200元？
12．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开
始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降
价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要
盈利2940元，每件应降价多少元？
13．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原
空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正
方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方
栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
14．（2022春•庐阳区校级期中）如图，把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个
小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．
（1）用含x的代数式表示EF、FG；
（2）当长方体纸盒的底面EFGH的面积等于300cm2，求小正方形的边长．
15．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为
更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x
（元）（0
