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专项 06 一元二次方程的根与系数关系（4 大类型）
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题锦囊：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理。
【典例1】设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（ ）
A．2022 B．﹣2022 C．2020 D．﹣2020
【答案】A
【解答】解：根据题意，得a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴a+b﹣ab＝1+2021＝2022，
故选：A．
【变式1-1】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2022的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】D
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，∴a+b+2022
＝﹣1+2022
＝2021．
故选：D．
【变式1-2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2020a﹣2020b的
值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣2017 C．2017 D．2023
【答案】C
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．
∴ab﹣2020a﹣2020b＝ab﹣2020（a+b）＝﹣3﹣2020×（﹣1）＝2017，
故选：C．
【变式1-3】已知x 、x 是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则 的值为（
1 2
）
A．4 B．﹣4 C． D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意得x +x ＝6，x x ＝3，
1 2 1 2
则 ＝ ＝ ＝4，
故选：A．
【典例2】已知x ，x 是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则x 2+2x ﹣x 的值为（
1 2 2 2 1
）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵x 是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根，
2
∴x 2+3x ﹣1＝0，
2 2
∴x 2＝﹣3x +1，
2 2
∴原式＝﹣3x +1+2x ﹣x
2 2 1
＝﹣（x +x ）+1，
1 2∵x ，x 是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣3，
1 2
∴原式＝﹣（﹣3）+1＝4．
故选：A．
【变式2-1】设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，a2﹣a﹣2021＝0，
即a2＝a+2021，
∴a2+b＝a+b+2021＝1+2021＝2022．
故选：A．
【变式2-2】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（
）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的实根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m2+4m+2n＝﹣2m+1+4m+2n＝2（m+n）+1，
∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝2×（﹣2）+1＝﹣3．
故选：B．
【变式2-3】若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（
）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【答案】A
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
【典例3】关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x 、x 是方程的两个实根，且x +x +x x ＝m2﹣4m，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m
＝m2+8m+16﹣8m
＝m2+16＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x +x ＝﹣（m+4），x x ＝2m，
1 2 1 2
∵x +x +x x ＝m2﹣4m，
1 2 1 2
∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，
解得m＝1或4，
即m的值为1或4．
【变式3-1】已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤ ，
即k的取值范围是k≤ ；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣3，x x ＝k﹣2，
1 1 1 2
∵（x +1）（x +1）＝﹣1，
1 2∴x x +（x +x ）+1＝﹣1，
1 2 1 2
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【变式3-2】已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x ，x ，若x +x ＝6，求m的值．
1 2 1 2
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x ＝m+3，x ＝m﹣3．
1 2
∵x +x ＝6，
1 2
∴2m＝6，
解得：m＝3．
【典例4】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x 和x ，且 ，求m的值．
1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
即m＞﹣1；
（2）由根与系数的关系可知：x +x ＝2，x •x ＝﹣m，
1 2 1 2
∵ ，
∴x 2+x 2+（x x ）2＝（x +x ）2﹣2x x +（x x ）2＝7，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
而m＞﹣1，
∴m的值为1．
【变式4-1】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝x x +1，（x +x ）2﹣2x x ＝x x +1，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即（x +x ）2＝3x x +1，
1 2 1 2
∴（ ）2＝﹣ +1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m ＝4，m ＝﹣1，
1 2
经检验，m ，m 都是分式方程的解，
1 2
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
【变式4-2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 、x ，且x 2+x 2﹣x x ＝13，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x +x ＝m﹣3，x x ＝﹣m，
1 2 1 2
∵x 2+x 2﹣x x ＝13，
1 2 1 2∴（x +x ）2﹣3x x ＝13，即（m﹣3）2+3m＝13，
1 2 1 2
整理得：m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，
所以m﹣4＝0或m+1＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1．
1．若x ，x 是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x +x ，x x 的值分别是（
1 2 1 2 1 2
）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
【答案】D
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，
1 2
∴x+x =5，xx=6，
1 2 1 2故答案为：D．
2.（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则 + ﹣ 的值是
（ ） α β α β αβ
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵ ， 是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣1， α＝﹣β2，
∴α+β﹣ ＝﹣αβ1+2＝1，
故α选：β B．αβ
1 1
3．已知x ，x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
【答案】B
【解答】解：∵x 与x 是方程x2−x−1=0的根，
1 2
∴x +x =1，x ⋅x =−1 ，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=−1.
x x x x
1 2 1 2
故答案为：B.
4．已知m，n是方程 x2−10x+1=0 的两根，则代数式 m2−9m+n 的值等于
（ ）
A．0 B．−11 C．9 D．11
【答案】C
【解答】解：∵m，n是方程x2−10x+1=0 的两根，
∴m2−10m+1=0 ， m+n=10 ，
∴m2−10m=−1 ，
∴m2−9m+n=m2−10m+m+n=−1+10=9 .
故答案为：C.
5．若 x ，x 是方程 x2﹣4x﹣2022＝0 的两个实数根，则代数式 x 2﹣2x +2x 的值等于
1 2 1 1 2
（ ）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
【答案】C【解答】解：∵x 是方程x2﹣4x﹣2022＝0的实数根，
1
∴x 2﹣4x ﹣2022＝0，
1 1
∴x 2＝4x +2022，
1 1
∴x 2﹣2x +2x ＝4x +2022﹣2x +2x ＝2022+2（x +x ），
1 1 2 1 1 2 1 2
∵x ，x 是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝4，
1 2
∴x 2﹣2x +2x ＝2022+2×4＝2030．
1 1 2
故选：C．
6．已知 a，b 是关于 x 的方程 x2+3x−2009=0 的两根，则 a2−a−4b 的值是
（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【解答】解：∵a，b 是关于 x 的方程 x2+3x−2009=0 的两根，
∴a2+3a−2009=0，a+b=−3 ，
∴a2=2009−3a ，
∴a2−a−4b
= 2009−3a−a−4b
= 2009−4(a+b)
=2009+12
=2021
故答案为：D.
2021
7．已知方程 x2−2021x+1=0 的两根分别为m、n，则 m2− 的值为（ ）
n
A．1 B．−1 C．2021 D．−2021
【答案】B
【解答】解：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，
∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，
1
∴m2＝2021m-1， m=
n
2021
∴m2﹣ ＝2021m-1-2021m=-1.
n
故答案为：B.8．设x，x 是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x＋x＝ ，xx＝ .
1 2 1 2 1 2
【答案】3；－1
【解答】解：∵x，x 是方程x2－3x－1＝0的两个根，
1 2
∴x +x =3，x ⋅x =−1 .
1 2 1 2
故答案为：3，-1.
9．若关于x的一元二次方程 x2−bx+2=0 有一个根为1，则方程另一个根为
.
【答案】2
【解答】解：设方程的另一个根为x，
2
根据题意得，x·1=2，
2
解得：x=2，
2
∴方程的另一个根为2.
故答案为：2
m n
10．若一元二次方程x2+√3x−2=0的两根分别为m与n，则 + = ．
n m
7
【答案】−
2
【解答】解：∵一元二次方程x2+√3x−2=0的两根分别为m与n，
根据根与系数的关系得m+n=−√3，mn=−2，
m2+n2 (m+n) 2−2mn (−√3) 2 −2×(−2) 7
所以原式= = = =− ．
mn mn −2 2
7
故答案为：− ．
2
11．已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x，x，且(x+1)⋅(x +1)=8，求m的值．
1 2 1 2
【解答】（1）解：∵a=1，b=−(2m−2)，c= m2−2m，
∴△=b2−4ac =[−(2m−2)]2-4(m2-2m)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵(x+1)⋅(x +1)=8，
1 2
整理得xx+(x +x )+1=8，
1 2 1 2
∵x+x =2m-2，xx=m2-2m，
1 2 1 2∴m2-2m+2m-2+1=8，
∴m2=9，
∴m=3或m=-3．
12．已知方程mx2﹣4x+1＝0的两个实数根为x 和x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若x +x +x x ＝ m，求m的值．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵方程mx2﹣4x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：m≤4且m≠0，
∴m的取值范围为m≤4且m≠0．
（2）∵x ，x 是方程mx2﹣4x+1＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
又∵x +x +x x ＝ m，
1 2 1 2
∴ + ＝ m，
解得：m ＝2 ，m ＝﹣2 ，
1 2
经检验，m ＝2 ，m ＝﹣2 是原方程的解，m ＝2 不符合题意，舍去，
1 2 1
∴m的值为﹣2 ．
13．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的值．
1 2 1 1 2 2
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝ ，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤ ，
综上所述，k的取值范围为k≤ ；
（2）∵x 和x 是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x +x x ＝4﹣x ，即x +x +x x ＝4，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴ + ＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
14．已知关于 x 的方程 x2−3ax−3a−6=0 ，
（1）求证：方程恒有二不等实根；
（2）若 x ，x 是该方程的两个实数根，且 (x −1)(x −1)=1 ，求 a 的值.
1 2 1 2
【解答】（1）证明： ∵Δ=b2−4ac=(−3a) 2−4×1(−3a−6)
=9a2+12a+24
=(3a+2) 2+20>0
∴ 方程恒有二不等实根.
（2）解：由根与系数的关系 x +x =3a，x x =−3a−6
1 2 1 2
∵(x −1)(x −1)=1
1 2
∴x x −(x +x )+1=1
1 2 1 2
∴−3a−6−3a+1=1∴a=−1 .
15．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数 k，使得 x+x ＝1﹣x x 成立？若存在，求出 k 的值；若
1 2 1 2
不存在， 说明理由．
【解答】（1）解：∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根根据题意得Δ=4(k−1) 2−4k2=4−8k≥0，
1
解得k≤
2
（2）解：存在．
根据根与系数关系x +x =2(k−1)，x x =k2，
1 2 1 2
∵x+x ＝1﹣x x，
1 2 1 2
∴2(k−1)=1−k2，
解得k =−3，k =1，
1 2
1
∵k≤ ．
2
∴存在实数k=-3，使得x+x ＝1﹣x x．
1 2 1 2
16．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x 、x ，且满足x 2+x 2＝11，求k的值．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣ ，
即k的取值范围是k＞﹣ ；
（2）根据根与系数的关系得：x +x ＝﹣（2k+1），x •x ＝k2﹣2，
1 2 1 2
∵方程的两个实数根为x 、x ，且满足x 2+x 2＝11，
1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣2x •x ＝11，
1 2 1 2
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞﹣ ，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．17．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ ＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若 ＝4m，求m的值
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ ＝0有两个不相等的实
数根，
∴ ，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）∵x ，x 是一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ ＝0的实数根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
∵ ＝ ＝4m，即 ＝4m，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得：m ＝﹣1，m ＝2．
1 2
又∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x ，x 满足 ，求实数m的值．
1 2
【解答】解（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×1⋅m＝m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即Δ＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个实数根x ，x
1 2∴x +x ＝m+2，x x ＝m．
1 2 1 2
∵ ，
∴（m+2）2﹣2m＝16+m，
即m2+m﹣12＝0，
解得：m＝﹣4或m＝3
∴实数m的值为﹣4或3．
