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专项 06 一元二次方程的根与系数关系（4 大类型）
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题锦囊：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理。
【典例1】设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（ ）
A．2022 B．﹣2022 C．2020 D．﹣2020
【变式1-1】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2022的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【变式1-2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2020a﹣2020b的
值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣2017 C．2017 D．2023
【变式1-3】已知x 、x 是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则 的值为（
1 2
）A．4 B．﹣4 C． D．2
【典例2】已知x ，x 是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则x 2+2x ﹣x 的值为（
1 2 2 2 1
）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【变式2-1】设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【变式2-2】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（
）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【变式2-3】若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（
）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【典例3】关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x 、x 是方程的两个实根，且x +x +x x ＝m2﹣4m，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【变式3-1】已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
【变式3-2】已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x ，x ，若x +x ＝6，求m的值．
1 2 1 2【典例4】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x 和x ，且 ，求m的值．
1 2
【变式4-1】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不
相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
【变式4-2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 、x ，且x 2+x 2﹣x x ＝13，求m的值．
1 2 1 2 1 21．若x ，x 是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x +x ，x x 的值分别是（
1 2 1 2 1 2
）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
2.（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则 + ﹣ 的值是
（ ） α β α β αβ
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
1 1
3．已知x ，x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
4．已知m，n是方程 x2−10x+1=0 的两根，则代数式 m2−9m+n 的值等于
（ ）
A．0 B．−11 C．9 D．11
5．若 x ，x 是方程 x2﹣4x﹣2022＝0 的两个实数根，则代数式 x 2﹣2x +2x 的值等于
1 2 1 1 2
（ ）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
6．已知 a，b 是关于 x 的方程 x2+3x−2009=0 的两根，则 a2−a−4b 的值是
（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2021
7．已知方程 x2−2021x+1=0 的两根分别为m、n，则 m2− 的值为（ ）
n
A．1 B．−1 C．2021 D．−2021
8．设x，x 是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x＋x＝ ，xx＝ .
1 2 1 2 1 2
9．若关于x的一元二次方程 x2−bx+2=0 有一个根为1，则方程另一个根为
.
m n
10．若一元二次方程x2+√3x−2=0的两根分别为m与n，则 + = ．
n m
11．已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x，x，且(x+1)⋅(x +1)=8，求m的值．
1 2 1 212．已知方程mx2﹣4x+1＝0的两个实数根为x 和x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若x +x +x x ＝ m，求m的值．
1 2 1 2
13．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的值．
1 2 1 1 2 2
14．已知关于 x 的方程 x2−3ax−3a−6=0 ，
（1）求证：方程恒有二不等实根；
（2）若 x ，x 是该方程的两个实数根，且 (x −1)(x −1)=1 ，求 a 的值.
1 2 1 2
15．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数 k，使得 x+x ＝1﹣x x 成立？若存在，求出 k 的值；若不
1 2 1 2
存在， 说明理由．
16．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x 、x ，且满足x 2+x 2＝11，求k的值．
1 2 1 2
17．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ ＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若 ＝4m，求m的值
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x ，x 满足 ，求实数m的值．
1 2
