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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 05 一元二次方程的根与系数的关系
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022九上·福建竞赛）已知二次函数 的图象交x轴于A(x ，0)，B(x ，0)
1 2
两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3 B．-5 C．-3 D．5
【答案】C
【完整解答】解：依题意 为方程 的两根，且 .
所以 ， .
所以 ，
所以 面积 .
解得 ，经检验符合题意，
.
因为函数 的图象与x轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求.
所以 .
故答案为：C.
【思路引导】易得x+x=4，xx= ，则AB=|x -x|= ，根据三角形的面积
1 2 1 2 1 2
公式可得a的值，然后求出b的值，据此计算.2．（2分）（2021九上·内江期末）已知方程 的两根分别为m、n，则
的值为（ ）
A．1 B． C．2021 D．
【答案】B
【完整解答】解：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，
∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，
∴m2＝2021m-1，
∴m2﹣ ＝2021m-1-2021m=-1.
故答案为：B.
【思路引导】根据一元二次方程根的概念可得m2-021m+1＝0，根据根与系数的关系可得mn=1，则m2＝
2021m-1，m= ，接下来代入待求式中计算即可.
3．（2分）（2021九上·永定期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x＝-2，
1
x＝4，则m-n的值是（ ）
2
A．-10 B．10 C．-6 D．6
【答案】D
【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x＝-2、x＝4，
1 2
∴x+x＝﹣m＝-2+4，解得：m＝﹣2，
1 2
x•x＝n＝-2×4，解得：n＝-8，
1 2
∴m-n＝﹣2-（-8）＝6.
故答案为：D.
【思路引导】设x 与x 是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用
1 2
一元二次方程根与系数x+x= ，x•x＝ ，可得x+x＝﹣m，x•x＝n，据此分别求出m、n的值，再
1 2 1 2 1 2 1 2代入计算即可.
4．（2分）（2021九上·南海期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另外
一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解： 是一元二次方程 的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为： ，
∴ ，解得： ，
故答案为：C．
【思路引导】设方程的另一个根为n，根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，所以
，再求出n的值。
5．（2分）（2020九上·惠城期末）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项不正确的是
（ ）
A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝0
【答案】D
【完整解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D．【思路引导】利用一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
6．（2分）（2021九上·上城期中）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，
0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x，y），
1 1
N（x，y）（x＜x），则|x﹣x|最小值为（ ）
2 2 1 2 1 2
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】C
【完整解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
∴ ＝1.
∴m＝1.
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3.
则 ，
∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①，
∴x+x＝2﹣k，xx＝﹣1，
1 2 1 2
∴（x﹣x）2＝（x+x）2﹣4xx＝（2﹣k）2+4，
1 2 1 2 1 2
要使|x﹣x|最小，则（x﹣x）2最小，
1 2 1 2
∴（k﹣2）2+4最小，
即k＝2时，|x﹣x|最小值为2.
1 2
故答案为：C.
【思路引导】根据点A、B的坐标结合对称轴可得m＝1，从而得出点A与点B的坐标，求出抛物线的解
析式，联立抛物线与直线方程可得x2+(k-2)x-1＝0，由根与系数的关系可得x+x＝2-k，xx＝-1，则(x-x)2
1 2 1 2 1 2
＝(x+x)2-4xx＝(2-k)2+4，据此解答.
1 2 1 2
7．（2分）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c=0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论：
① 如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根；② 如果M与N有实数根，则M有一个根
与N的一个根互为倒数；③ 如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M的两
根符号相同，那么N的两根符号也相同；其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【完整解答】解：①∵方程M：ax2＋bx＋c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，
∴对于方程N：cx2＋bx＋a＝0，△=b2-4ac＞0，即方程N有两个不等的实数根；故正确；
②设x 是方程M的一个根，
1
∴ax2＋bx＋c=0，
1 1
∴c( )2+b +a=0，
故 是方程N的一个根；故正确；
③当x=-1时分别代入方程M和方程N得：a-b+c=0和c-b+a=0，故错误；
④∵方程M有两根符号相同，
∴ ＞0，
∴a，c同号，
∵对于方程N，
∵a，c同号，
∴ ＞0，
∴方程N的两根符号也相同；故正确.
故答案为：B.
【思路引导】利用一元二次方程根的判别式，分别求出两方程的b2-4ac，可对①作出判断；利用一元二次
方程根与系数的关系，可对②作出判断；将x=-1分别代入两方程，再进行比较，可对③作出判断；根据两
根的符号相同，可判断出两个方程的a，c同号，可对④作出判断，综上所述，可得出正确结论的序号。
8．（2分）（2018九上·福田月考）设x，x 是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x2+x2的值为（ ）
1 2 1 2
A．3 B．9 C． D．15
【答案】D
【完整解答】∵x，x 是一元二次方程x2+3x-3=0的两个实数根，
1 2
∴x+x=-3，xx=-3，
1 2 1 2则x2+x2=（x+x）2-2xx=9+6=15．
1 2 1 2 1 2
故答案为：D．
【思路引导】完全平方公式的应用， x2+x2 =（x+x）2-2xx 根据韦达定理：x+x=- ,x×x= .列出关
1 2 1 2 1 2， 1 2 1 2
系式，整理求解即可。
9．（2分）关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程
同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②
；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【完整解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦
达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据
得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得
， ，则 ， ，故结论
②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ，
，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小
于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时，，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；故答案为：D.
【思路引导】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用
一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综
上所述，可得出答案。
10．（2分）（2021九上·毕节期末）已知 是关于x的一元二次方程 的
两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（ ）
A． 或1 B． 或3 C． D．3
【答案】D
【完整解答】解：根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3.
故答案为：D.
【思路引导】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得 ， ，由
可求出m的范围，由 = 可得关于m的方程并解之即可.
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）11．（2分）（2021九上·兴宁期末）若m、n是方程x²－3x－1=0的解，则m²－4m－n的值是 ．
【答案】-2
【完整解答】解： 是方程 的解，
，
，
，
、 是方程 的解，
，
．
故答案为：-2．
【思路引导】先求出 ，再求出 ，最后代入求解即可。
12．（2分）（2021九上·萍乡期末）一元二次方程 的两根为 ， ，则
．
【答案】1
【完整解答】根据题意得x＋x＝3，xx＝2，
1 2 1 2
所以x＋x−xx＝3−2＝1．
1 2 1 2
故答案为1．
【思路引导】利用一元二次方程根与系数的关系先求出x＋x＝3，xx＝2，再代入求解即可。
1 2 1 2
13．（2分）（2021九上·高州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，
1
x，则x2+x2的值是
2 1 2
【答案】7
【完整解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，
1 2
∴ ，
∴x2+x2= ，
1 2故答案为：7．
【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，再利用完全平方公式将代数式
x2+x2 化简为 求解即可。
1 2
14．（2分）（2021九上·玉林期末）已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则
的值为 .
【答案】-7
【完整解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴
，
故答案为：-7.
【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，将待求式子去括号，再合并后整
体代入计算即可.
15．（2分）（2021九上·五常期末） 设x，x 是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则 的值为
1 2
．
【答案】
【完整解答】解：∵x，x 是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x+x= ，xx= ．
1 2 1 2 1 2∴ ．
【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系可得x+x= ，xx= ，再将 变形为
1 2 1 2
，最后将数据代入计算即可。
16．（2分）（2021九上·海安月考）已知关于x的方程 ，其中p、q都是实
数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
【答案】3
【完整解答】解：依题意，
设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，
，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，
解得
.
故答案为：3.
【思路引导】设y=x2+2px-3p2+5，y=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y 的顶点，设x=-
1 2 1 3
p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x+x=-2p，xx=10-7p2，x=-p，然后结合
1 2 1 2 3可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
17．（2分）（2020九上·东台期末）若a≠b，且 则 的值
为
【答案】1
【完整解答】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
【思路引导】由 ，得到 的两个根，由此根据根与系数的
关系即可解答.
18．（2分）（2019九上·渠县月考）关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是
x、x，且 ，则 的值是 ．
1 2
【答案】13
【完整解答】解：∵x、x 分别是该一元二次方程的根
1 2
=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-1）=m2-8m+4≥0
△又∵x+x=m x ·x=2m-1
1 2 1 2
又∵ x2+x2=7
1 2
∴（ x+x）2- 2x ·x=7
1 2 1 2
∴m2-2（2m-1）=7
整理，得 m2-4m-5=0解得 m=-1 m =5
1 2
当m=-1时，△=（-1）2-8×（-1）+4=13＞0
当m=5时，△=52-8×5+4=-11＜0，不符合题意；
∴m=-1
∴（ x-x）2= x2+x2-2x·x=7-2（2m-1）=7-2×（-2-1）=13.
1 2 1 2 1 2
【思路引导】先利用一元二次方程根与系数的关系得x+x=m、x·x=2m-1，然后将x2+x2=7变形为（
1 2 1 2 1 2
x+x）2- 2x ·x=7，从而求出m的值，然后利用△≥0的条件验证得m的值，从而可解。
1 2 1 2
19．（2分）设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ .
【答案】2016
【完整解答】解：由题意得：m+n=-2, m2＋2m－2018＝0 ,即m2＋2m=2018
则 m2＋3m＋n＝m2+2m+m+n =2018-2=2016.
故答案为：2016.
【思路引导】 因为m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根， 则m、n代入方程满足方
程，由根与系数的关系求得m+n的值，则原式经过简单变形值可求.
20．（2分）（2018九上·福田月考）设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．
【答案】8
【完整解答】首先由a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系得a＋b＝－1；
又∵a是方程x2＋x﹣9＝0的实数根，
∴a2＋a－9＝0，
∴a2＋a＝9，
∴a2＋2a＋b
＝（a2＋a）＋（a＋b）
＝9＋（－1）
＝8
即a2＋2a＋b的值为8．
故答案为8．【思路引导】一元二次方程实数根的意义，将根代入方程原式成立，得到一个关于a的关系式。再根据根
与系数的关系得到一个，然后将两关系式结合求解即可。
三、解答题(共8题；共60分)
21．（4分）（2021九上·克东期末）已知关于x的一元二次方程 两个不相等的实
数根 ， ，若 ，求m的值．
【答案】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根
∴由根与系数关系得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴
∴ ．
【思路引导】先求出 ， ， 再利用一元二次方程根的判别式求解即
可。22．（4分）（2021九上·成都月考）已知 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c
的值．
【答案】解：设另一根为x，由根与系数的关系得：
1
【思路引导】 设另一根为x，由根与系数的关系可得2+ +x=4，(2+ )·x=c，求出x 的值，进而可
1 1 1 1
得c的值.
23．（10分）（2021九上·宜宾期末）已知关于x的一元二次方程 有两个实数
根 ， .
（1）（5分）求实数m的取值范围；
（2）（5分）若 ，求m的值.
【答案】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以
即实数m的取值范围为 ；
（2）解： ，（舍去）或
【思路引导】（1）根据题意可得判别式≥0，代入求解可得m的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x+x=3-2m，xx=m2，结合x+x=6-x x 可得m的值.
1 2 1 2 1 2 1 2
24．（9分）（2021九上·福州月考）已知抛物线 经过 两点.
（1）（3分）求b的值；
（2）（3分）当 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）（3分）若方程 的两实根 ，满足 ，且 ，
求P的最大值.
【答案】（1）解： 抛物线 经过 两点，
此抛物线的对称轴为直线 ，
解得 ；
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ，
则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
由对称性可知， 时的函数值与 的函数值相同，
要使得当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，
①当这个公共点是顶点时，
则关于 的一元二次方程 只有一个实数根，
所以其根的判别式 ，
解得 ；
②当这个公共点不是顶点时，则当 时， ；当 时， ，
即 ，
解得 ，
综上， 的取值范围是 或 ；
（3）解： 方程 的两实根为 ，且 ，
，即 ，
，
解得 ，
，
整理得： ，
则在 内， 随 的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
【思路引导】（1）根据二次函数图象的坐标特点求出对称轴，即可求出b值； （2）根据二次函数的性质
求出二次函数的增减趋势，再根据对称性可得x= - 1与x =2的函数值相同，然后根据当- 2
