文档内容
专题2.2 解一元二次方程-配方法（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；
2、理解并掌握用配方法解一元二次方程；
3、掌握运用配方法解实际应用问题。
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）
方法是根据平方根的意义开平方考点2 解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k
的值是（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．±2
【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝22 B．x ＝x ＝﹣22
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝22 D．x ＝﹣22，x ＝22
1 2 1 2
【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣
1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式 1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则 m的取值范围是
（ ）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81．【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣ ＝0．
【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（
）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
【变式 3-1】（2021 秋•渝中区校级期末）一元二次方程 x2﹣6x+1＝0 配方后可化为
（ ）
A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35
【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形
式，则k等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：
（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．【变式4-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【变式4-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【变式4-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0
【考点3 配方法的应用】
【典例5】（2022春•滨海县期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求
△ABC的周长．【变式5-1】（2022春•蜀山区校级期中）阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，
可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如：求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+6＝（x ）2+ ；
（2）代数式﹣x2﹣8x有最 （填“大”或“小”）值为 ；
（3）如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是
20m，珊栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【变式5-2】（2022春•锦江区校级期中）若a，b，c满足a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，试判断
△ABC的形状，并说明理由．【变式5-3】（2021秋•平舆县期末）阅读下列材料．
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2
﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小
关系．
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ．
∴x2﹣2x+3 0（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图1所示的长方形的长、宽分别是3a+2、2a+5，求长方形的面积S （用含a的
1
式子表示）；如图2所示的长方形的长、宽分别是5a、a+5，求长方形的面积S （用含
2
a的式子表示）；
（3）比较（2）中S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
专题2.2 解一元二次方程（知识解读）【直击考点】
【学习目标】
4、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；
5、理解并掌握用配方法解一元二次方程；
6、理解并掌握用公式法解一元二次方程；
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（4）
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（5）
方法是根据平方根的意义开平方考点2 解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
考点3 解一元二次方程-公式法：
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k
的值是（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．±2
【答案】B
【解答】解：把x＝2代入x2﹣k＝0得4﹣k＝0，解得k＝4．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝22 B．x ＝x ＝﹣22
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝22 D．x ＝﹣22，x ＝22
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵（x﹣22）2＝0，
∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，
解得：x ＝x ＝22，
1 2
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣
1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣m＝0得1﹣m＝0，
解得m＝1．
故选：D．
【变式 1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则 m的取值范围是
（ ）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
【答案】B
【解答】解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．
故选：B．
【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81．
【答案】（1） 无解（2）x ＝ ，x ＝﹣
1 2
【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝﹣8＜0，
∴方程无实数根；
（2）∵64（x+1）2＝81，
∴（x+1）2＝ ，∴x+1＝± ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣ ＝0．
【答案】x1＝ ，x2＝﹣
【解答】解：2（x﹣1）2﹣ ＝0，
移项，得2（x﹣1）2＝ ，
（x﹣1）2＝ ，
开方，得x﹣1＝ ，
解得：x1＝ ，x2＝﹣ ．
【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．
【答案】x ＝6，x ＝﹣4．
1 2
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣25＝0，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，
则x ＝6，x ＝﹣4．
1 2
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（
）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
【答案】C
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【变式 3-1】（2021 秋•渝中区校级期末）一元二次方程 x2﹣6x+1＝0 配方后可化为
（ ）
A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【答案】B
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形
式，则k等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴k＝4，
故选：D．
【变式3-3】（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15
【答案】A
【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣6，
配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，
∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
∴a＝﹣3，b＝3．
故选：A．
【例4】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：
（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣10． （2） ． （3）x ＝4，x ＝﹣2
1 2 1 2
【解答】解：（1）移项得：x2+8x＝20，
配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36，开方得：x+4＝±6，
解得：x ＝2，x ＝﹣10．
1 2
（2）移项得：x2+ x＝ ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ．
（3）化简得：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x ＝4，x ＝﹣2．
1 2
【变式4-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【答案】x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
开方得x﹣2＝± ，
所以x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【变式4-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【答案】x ＝ +4，x ＝﹣ +4
1 2
【解答】解：x2﹣8x+13＝0，
移项，得：x2﹣8x＝﹣13，
配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，
即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝± ，
∴x ＝ +4，x ＝﹣ +4．
1 2
【变式4-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0
【答案】x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：3x2+4x﹣7＝0，
3x2+4x＝7，
x2+ x＝ ，
x2+ x+（ ）2＝ +（ ）2，
（x+ ）2＝ ，
x+ ＝± ，
x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【考点3 配方法的应用】
【典例5】（2022春•滨海县期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求
△ABC的周长．
【答案】（1）1，0； （2） （3）11．
【解答】解：（1）∵a2﹣2a+1+b2＝0，∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
∴a＝1，b＝0，
故答案为：1，0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4＝0，
即：（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
则：x﹣y＝0，y+2＝0，
解得：x＝y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2
＝ ；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣5＝0，
解得：a＝1，b＝5，
∵5﹣1＜c＜5+1，
即4＜c＜6，且c是正整数，
∴c＝5，
即三角形三边分别为1，5，5，
∴△ABC的周长为1+5+5＝11．
【变式5-1】（2022春•蜀山区校级期中）阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，
可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如：求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+6＝（x ）2+ ；（2）代数式﹣x2﹣8x有最 （填“大”或“小”）值为 ；
（3）如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是
20m，珊栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）﹣2，2； （2）大，16； （3）50m2
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，
故答案为：﹣2，2；
（2）∵﹣x2﹣8x＝﹣（x2+8x）＝﹣（x2+8x+16﹣16）＝﹣（x+4）2+16，
又∵（x+4）2≥0，
∴﹣（x+4）2≤0，
∴﹣（x+4）2+16≤16，
∴﹣x2﹣2x的最大值为16，
故答案为：大，16；
（3）设矩形花圃的宽为xm，则长为（20﹣2x）m，
∴矩形的面积S＝（20﹣2x）x＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，S有最大值50（m2），此时，20﹣2x＝10（m），
∴当花圃的宽为5m，长为10m时花圃面积最大，最大面积为50m2．
【变式5-2】（2022春•锦江区校级期中）若a，b，c满足a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，试判断
△ABC的形状，并说明理由．
【答案】△ABC是等边三角形
【解答】解：∵a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，
∴a2﹣4a+4+b2﹣4b+4+a2+b2+8+|c﹣2|＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+|c﹣2|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣2＝0．
∴a＝b＝c＝2，
∴△ABC是等边三角形．
【变式5-3】（2021秋•平舆县期末）阅读下列材料．利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2
﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小
关系．
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ．
∴x2﹣2x+3 0（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图1所示的长方形的长、宽分别是3a+2、2a+5，求长方形的面积S （用含a的
1
式子表示）；如图2所示的长方形的长、宽分别是5a、a+5，求长方形的面积S （用含
2
a的式子表示）；
（3）比较（2）中S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】（1）1，2，＞；
（2）S ＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S ＝5a（a+5）＝5a2+25a；
1 2
（3）S ＞S ．
1 2
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，
∴x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞2，
∴x2﹣2x+3＞0；
故答案为：1，2，＞；
（2）根据题意得：S ＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，
1
S ＝5a（a+5）＝5a2+25a；
2
（3）S ＞S ，理由为：
1 2
S ﹣S ＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a）
1 2
＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a
＝a2﹣6a+10
＝（a2﹣6a+9）+1
＝（a﹣3）2+1，∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1≥1＞0，
即S ﹣S ＞0，
1 2
则S ＞S ．
1 2
