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专项 07 一元二次方程的实际应用（5 大类型）
类型一 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
类型二 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
类型三 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠
卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送n(n−1)张卡片。
类型四 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
类型五 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则类型六 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公
式列出方程.
【典例1】（2022•金平区校级模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让
人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面
向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率
不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
【解答】解：（1）设进馆人次的月增长率为x，
依题意得：128（1+x）2＝288，
解得：x ＝0.5＝50%，x ＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
1 2
答：进馆人次的月平均增长率50%．
（2）学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率50%，
∴第四个月的进馆人次为288×（1+50%）＝432（人次）．
∵432＞400，
∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．
【变式1-1】（2022•安徽模拟）据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电
动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．
设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．24.9（1+2x）＝30.3B．24.9×2（1+x）＝30.3
C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3
D．24.9（1+x）2＝30.3
【答案】D
【解答】解：依题意得：24.9（1+x）2＝30.3．
故选：D．
【变式1-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党
的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长
率为x，可得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
【答案】C
【解答】解：设平均每年的增长率是x，根据题意可得：
4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．
故答案为：C
【变式1-3】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度
的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．根据题
意列方程正确的是（ ）
A．250(1+x) 2=900 B．250(1+x%) 2=900
C．250(1+x)+250(1+x) 2=900 D．250+250(1+x)+250(1+x) 2=900
【答案】D
【解答】解：根据题意列方程得：
250+250(1+x)+250(1+x) 2=900 ．
故答案为：D．
【典例2】（2022•咸丰县模拟）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流
感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则
可列方程（ ）A．（1+x）2＝121 B．（1﹣x）2＝121
C．x+x（1+x）＝121 D．1+x+（1+x）2＝121
【答案】A
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
1+x+x（1+x）＝121．
即：（1+x）2＝121，
故选A．
【变式2-1】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种
植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小
分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝57，
整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x ＝7，x ＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
故选：B．
【变式2-2】（2022•和平区一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出
同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则
下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
1+x+x•x＝1+x+x2＝91．
故选：C．【变式2-3】（2022春•新昌县期末）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
根据题意，可得（1+x）2＝121，
解得x ＝10，x ＝﹣12（舍去），
1 2
答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；
（2）根据题意，121×10＝1210（名），
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【典例3】（2022春•广饶县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，
有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（ ）
A． x（x﹣1）＝66 B． ＝66
C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66
【答案】A
【解答】解：依题意得： x（x﹣1）＝66．
故选：A．
【变式3-1】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为
单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：设八年级共有x个班，依题意得： x（x﹣1）＝21，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x ＝﹣6（不合题意，舍去），x ＝7，
1 2
∴八年级共有7个班．
故选：C．
【变式3-3】（2022•鸡冠区校级一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物
与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共
有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【答案】D
【解答】解：设这个班级共有学生x人，则每个学生需赠出（x﹣1）件礼物，
依题意得：x（x﹣1）＝1980，
解得：x ＝45，x ＝﹣44（不合题意，舍去），
1 2
∴这个班级共有学生45人．
故选：D．
【典例4】（2022春•金东区期末）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一
款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；
根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影
响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？
【解答】解：设销售单价应降低x元，
根据题意，得（25﹣15﹣x）（80+ ）＝1280，
解得x ＝2或x ＝6，
1 2
答：销售单价应降低2元或6元．
【变式4-1】（2022春•泰州期末）今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当
商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，
在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品
每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
1 2
答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，
依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250，
解得：m ＝5，m ＝﹣70（不合题意舍去）．
1 2
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
【变式4-2】（2022春•新泰市期末）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，
报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．
当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平
均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量
就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
【解答】解：（1）设这种商品的涨价x元，根据题意得，
（40+x﹣30）（600﹣10x）＝12000，
解得，x ＝20，x ＝30，
1 2
40+20＝60，40+30＝70，
答：这种商品的售价应定为60元或70元；
（2）600﹣20×10＝400，600﹣30×10＝300，
答：这时商家每月能售出该香椿商品400件或300件．
【变式4-3】（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本
价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千
克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少
元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，40），（30，20）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
解得：x ＝25，x ＝35．
1 2
又∵要让利消费者，
∴x＝25．
答：销售价应定为每千克25元．
【典例5】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，
一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？
【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是xm，则与墙垂直的边的长是 m，
依题意得：x• ＝200，
整理得：x2﹣40x+400＝0，
解得：x ＝x ＝20，
1 2
∵20＜25，
∴鸡场的面积能达到200m2，此时与墙平行的边的长是20m．（2）鸡场的面积不能达到210m2，理由如下：
设与墙平行的边的长是ym，则与墙垂直的边的长是 m，
依题意得：y• ＝210，
整理得：y2﹣40y+420＝0．
∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×420＝﹣80＜0，
∴该方程没有实数根，
即鸡场的面积不能达到210m2．
【变式5-1】用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为
xcm，则可列方程为（ ）
A．x(30−x)=200 B．x(30+x)=200
C．x(60+x)=200 D．x(60−x)=200
【答案】A
60
【解答】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为 −x=30−x(cm)，
2
根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x(30−x)=200
故答案为：A．
【变式5-2】（2022春•蚌埠期末）如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园
ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要
预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则矩形花园AB的长为 （60﹣x+2）米，
依题意得： （60﹣x+2）x＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，解得：x ＝12，x ＝50，
1 2
∵28＜50，
∴x ＝50（不合题意，舍去），
2
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
（2）不能，理由如下：
设矩形花园BC的长为y米，则矩形花园AB的长为 （60﹣y+2）米，
依题意得： （60﹣y+2）y＝500，
整理得：y2﹣62y+1000＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣62）2﹣4×1×1000＝﹣156＜0，
∴该方程无实数根，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【变式5-3】（2022春•槐荫区期末）如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有
两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
【解答】解：（1）设小路的宽为x米，
根据题意，得（50﹣x）（30﹣x）＝924，
解得x＝8或x＝72（不合题意，舍去），
答：小路的宽为8米；
（2）200×（50×30﹣924）＝115200（元），
答：修建两条小路的总费用为115200元．
【典例6】（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝
24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发
沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运
动时间为ts．（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BH＝ BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DH＝ AB＝6cm．
根据题意，得 ﹣ ×（12﹣2t）﹣ ×（24﹣4t）×6﹣ ×2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t ＝2，t ＝4，
1 2
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
【变式6-1】（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝
6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移
动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之
停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得： ×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t ＝3，t ＝5．
1 2
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
【变式6-2】（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝
25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，
沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【答案】10
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x ＝10，x ＝0（舍去），
1 2
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
【变式6-3】（2022春•肥东县期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以
2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
问经过几秒后，P，Q两点的距离是4 cm？
【解答】解：设经过t秒后，P，Q两点的距离是4 cm，
根据题意，得（2t）2+（6﹣t）2＝（4 ）2，
整理，得（5t﹣2）（t﹣2）＝0，
解得t ＝ ，t ＝2．
1 2
当t＝2时，2t＝4＜8，符合题意，
答： 秒或2秒后，P，Q两点间的距离等于4 cm．1．（2022春•平桂区 期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降
价率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
20（1﹣x）2＝8，
故选：C．
2．（2022春•南谯区期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间要赛一
场，计划安排15场比赛，则比赛组织者邀请球队的数量是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解答】解：设比赛组织者邀请了x支球队，
依题意得： x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣5（不合题意，舍去），
1 2
∴比赛组织者邀请了6支球队．
故选：D．
3．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有 64人患了流感．设每
轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
【答案】D
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x ＝7，x ＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，
∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选：D．
4．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若
设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36
【答案】B
【解答】解：设1人每次能教会x名同学，根据题意可得：
1＋x＋x（1＋x）＝36，
即（x＋1）2＝36，
故答案为：B
5．（2022春•两江新区期末）某中学连续三年开展植树活动，已知2020年植树500棵，
2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可以列方
程为（ ）
A．500（1+x）2＝720
B．500（1+x%）2＝720
C．500（1+2x）＝720
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
【答案】A
【解答】解：根据题意得：500（1+x）2＝720，
故答案为：500（1+x）2＝720．
故选：A．
6．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形
临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为
x米，则下列各方程中，正确的是（ ）
1 1
A． x（55﹣x）＝375 B． x（55﹣2x）＝375
2 2
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】C【解答】解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，
根据题意可得，x(55-2x)=375，
故答案为：C．
7．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），
另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．
设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
【答案】C
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝xm，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（20+1﹣2x）m．
依题意得：（20+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
8．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度
相同的三条丝绸花边，若丝绸花边的面积为650cm2，设花边的宽度为xcm.根据题意得
方程 .
【答案】(60−2x)(40−x)=60×40−650
【解答】解：设花边的宽度为xcm，根据题意得方程
(60−2x)(40−x)=60×40−650
故答案为： (60−2x)(40−x)=60×40−650
9．（2022春•海门市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 144个人患了流感，
每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝144，
解得x ＝11，x ＝﹣13（舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染11个人．
10．（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛
的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
依题意得： x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
答：共有10个队参加比赛．
11．某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增
加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬
衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈
利达到1200元？
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每
天的销售量为（20＋2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20＋2x）＝1200，
解得：x＝10，x＝20.
1 2
当x＝10时，20＋2x＝40；
当x＝20时，20＋2x＝60.
∵要使库存减少最快，
∴x＝20.
答：当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元.
12．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开
始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的
降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天
要盈利2940元，每件应降价多少元？
【解答】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，
解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，
答：每次下降的百分率为10%；
（2）解：设每件应降价x元，
根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，
解得：x＝60，x＝11，
1 2
∵尽快减少库存，
∴x＝60，
答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．
13．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原
空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在
正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地
方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
【解答】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）
m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x=30，x=-21（不合题意，舍去）．
1 2
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）
m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，解得：y=1，y=58（不合题意，舍去）．
1 2
答：小道的宽度为1m．
14．（2022春•庐阳区校级期中）如图，把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个
小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方
体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．
（1）用含x的代数式表示EF、FG；
（2）当长方体纸盒的底面EFGH的面积等于300cm2，求小正方形的边长．
【解答】解：（1）EF＝（30﹣2x）cm，FG＝ ﹣x＝（20﹣x）（cm）；
（2）根据题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
解得：x ＝5，x ＝30（不合题意，舍去），
1 2
答：小正方形的边长为5cm．
15．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为
更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x
（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售
价多少元？
【解答】（1）解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
{110=k+b
将点(1，110)、(3，130)代入一次函数表达式得： ，
130=3k+b{k=10
解得： ，
b=100
故函数的表达式为：y=10x+100；
（2）解：由题意得：(10x+100)×(55−x−35)=1760，
整理，得x2−10x−24=0．
解得x =12，x =−2（舍去）．
1 2
所以55−x=43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
16．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天
的销售量将增加120千克.
根据他们的对话，解决下面所给问题：
（1）超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果
的销售价为每千克多少元？
（2）设该水果超市一天可获利润 y 元.求当该商品每件售价为多少元时，该网店一
天所获利润最大？并求最大利润值.
【解答】（1）解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
x
（38﹣x﹣22）（160+ ×120）＝3640，
3
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为：38﹣9＝29元.
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元.
（2）解：设降低x元，由题得
x
y=（38﹣x﹣22）（160+ ×120）
3
∴y= − 40x2+480x+2560
=-40(x − 6) 2 +4000
当x=6时，y最大=4000.∴售价为38﹣6＝32元.
答：水果的销售价为每千克32元时，超市每天一天获利最大为4000元.
17．（2022•灞桥区校级四模）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，
决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如
图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇
1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽AB．
【解答】解：设这个茶园的宽AB为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x ＝15，x ＝20，
1 2
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的宽AB为20m．
18．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙
扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 A款钥匙 B款钥匙
扣 扣
价格
进货价 30 25
（元/件）
销售价 45 37
（元/件）
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件
数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进 A、B两款冰墩墩钥匙扣
共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，
才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多
少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣
30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售
利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售
出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，
依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a ＝30，a ＝34．
1 2
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
19．（2021秋•喀什地区期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部
捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出
6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个
区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为
（28﹣x）米的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，
整理得：x2﹣48x+176＝0，
解得：x ＝4，x ＝44（不合题意，舍去）．
1 2
答：小路的宽应为4米．
23．（2022•碑林区校级二模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，
该
20.（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P
从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移
动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB ＝ •PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t ＝2，t ＝4．
1 2
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
当点Q到达C点时，此时t＝ ，
S△PQB ＝ × ×（6﹣t）＝4∴t＝ ＞ ，
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
21．（2021秋•本溪期末）某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）
（x为正整数）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每件T恤衫的成本价是45元，当100＜x≤500件（x为正整数）时，服装厂如
果想获得8000元利润，求一次批发多少件时所获利润为8000元？
【解答】解：（1）当0＜x≤100且x为正整数时，y＝80；
当100＜x≤500且x为正整数时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（100，80），（500，60）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴此时y与x的函数关系式为y＝﹣ x+85；
当x＞500且x为正整数时，y＝60．
故y与x的函数关系式为y＝ ．
（2）当100＜x≤500且x为正整数时，y＝﹣ x+85．依题意得：（y﹣45）x＝8000，
即（﹣ x+85﹣45）x＝8000，
整理得：x2﹣800x+160000＝0，
解得：x ＝x ＝400．
1 2
答：一次批发400件时所获利润为8000元．
22．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50
本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第
二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售
（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价
降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，
如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
【解答】（1）解：设学生纪念品的成本为x元，根据题意得：
50x+10(x+8)=440
解得：x=6
∴x+8=6+8=14.
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元.
（2）解：第二周单价降低x元后，这周销售的销量为400+100x；
由题意得出：400×（10-6）+（10-x-6）（400+100x）+（4-6）[（1200-400）-
（400+100x）]=2500，
即1600+（4-x）（400+100x）-2（400-100x）=2500，
整理得：x2-2x+1=0，
解得：x=x =1，
1 2
∴6-1=5．
答：第二周的销售价格为5元．
