专题2.2用配方法求解一元二次方程（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.2 用配方法求解一元二次方程 【学习目标】 1.能根据平方根的意义解形如 的方程； 2.理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程，体会转化的数学思想； 3.理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程； 4.通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法； 【知识梳理】 1.一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成 则 . 2.一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； （4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 且 为偶数时，才使用配方法，否 则可以考虑使用公式法来更加简单。 【高频考点精讲】 【高频考点1】直接开平方法解一元二次方程的条件 例1．（2022•环江县九年级期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是 （ ） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【分析】根据直接开平方法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是 解题的关键． 变式1. （2022•南岗区校级九年级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围 是 ． 【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可． 【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3无实数解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3． 故答案为：m＜﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关 键． 【高频考点2】用直接开平方法解一元二次方程 例2．（2021•梁溪区校级期中）解方程：（1）x2＝9；（2）4x2﹣25＝0． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2＝9，∴x ＝3，x ＝﹣3； 1 2 （2）∵4x2﹣25＝0，∴4x2＝25，则x2 ，∴x ，x ． 1 2 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是 解题的关键． 变式1.（2021•广州校级期中）解方程： （1）4（2x﹣1）2﹣36＝0．（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2． 【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）直接开平方法解一元二次方程，关键 把方程化为x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解． 【解答】解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣ 1 （2）解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1）， 解得：y ，y ． 1 2 【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项 移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直 接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b 同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把 方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解， 要仔细观察方程的特点． 【高频考点3】用配方法解一元二次方程 例3．（2022·浙江杭州市·八年级期中）解方程： 解：两边同时加_________，得 ________ ________ 则方程可化为（_______）2=________ 两边直接开平方得_____________ 即_________或_____________ 所以 __________， ___________．【答案】9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】解：两边同时加9，得 9 9，则方程可化为 1， 两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以 -2， -4． 故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4． 【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项 的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次 方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 变式1. （2022·江苏初三月考）用配方法解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】（1） ；（2）原方程无实数根；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上 一半的平方，再进行配方即可求解；（3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可 求解；（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（5）先将方程整理后， 再进行配方即可求解；（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解． 【解析】（1） 配方，得 ， ． （2） 移项，得 ． 配方，得 ． ， 原方程无实数根．（3） 移项，得 ． 配方，得 ， ． （4） 移项，得 ．配方，得 ， ． （5） 原方程化为一般形式为 ． 移项，得 ． 配方，得 ， ． （6） 原方程化为一般形式为 ． 二次项系数化为1得 ． 配方，得 ， ． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加 上一次项系数一半的平方． 【高频考点4】利用一元二次方程的配方求参数的值 例4．（2021·山东聊城市·九年级一模）用配方法解方程 ，将方程变为 的形式，则 _____． 【答案】1 【分析】先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：3x2-6x+2=0， , , ，即 m=1．故填 1． 【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的 关键． 变式1.（2022•津南区期中）一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m 的值分别是（ ） A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8 【分析】方程配方后确定出所求即可． 【解答】解：方程x2﹣8x+c＝0，配方得：x2﹣8x+16＝16﹣c，整理得：（x﹣4）2＝16﹣c，由配方结果为（x﹣m）2＝11，∴m＝4，c＝5．故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【高频考点5】一元二次方程的几何解法 例5．（2021•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方 法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个 面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．” 小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的 面积为36，则该方程的正数解为（ ） A．6 B．3 3 C．3 2 D．3 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为 ，先计算出大正方形的 面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【解答】解：x2+6x+m＝0，x2+6x＝﹣m， ∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x＝36，设4a＝6，则a ， 同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的 矩形，得到大正方形的面积为36+（ ）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为 3＝3 3．故选：B． 【点评】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的高频考点是长方形、正方形的面 积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列 出方程． 变式1.（2022•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中 用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长 为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方 形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+ ＝35+ ，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝ ． 【分析】观察图形可知，图形中缺少的正方形的边长是 1，由此可知，大正方形的边长为 x+1，化简即求． 【解答】解：由已知可得，图形中所缺正方形为边长为1的正方形， ∴大正方形的边长为x+1，∴（x+1）2＝36，∴x+1＝6，∴x＝5．故答案为1，1，5． 【点评】本题考查一元二次方程的解；能够通过正方形面积与边长的关系建立等式，利用 配方法求解方程是解题的关键． 【高频考点6】利用一元二次方程的直接开平方法或配方法解新定义问题 例6．（2021•零陵区期中）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x ＝﹣4+2 ，x ＝﹣4﹣2 ． 1 2 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x ＝c，x ＝d． 1 2 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 ， ， ， ． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可； （2）利用“平均数法”解方程即可． 【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40． （x+5）2﹣32＝40，（x+5）2＝40+32．直接开平方并整理，得．x ＝2，x ＝﹣12． 1 2上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，故答案为：5、3、2、﹣12； （2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4． （x+2）2﹣42＝4，（x+2）2＝4+42．∴x＝﹣2±2 ，∴x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 ． 1 2 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键。 变式1.（2022•市中区期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学 的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似． 例如：解方程x2＝﹣1， 解得：x ＝i，x ＝﹣i． 1 2 同样我们也可以化简 2i； 读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝ ，i4＝ ，i6＝ ，i2020＝ ； （2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0． 【分析】（1）根据由题意i2＝﹣1，则i3＝i2•i，i4＝i2•i2，然后计算； （2）利用直接开平方法求解即可；（3）利用配方法求即可． 【解答】解：（1）i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1； i2020＝（i2）1010＝1；故答案为﹣i，1，﹣1，1； （2）∵（x﹣1）2＝﹣1，∴（x﹣1）2＝i2，∴x﹣1＝±i，∴x ＝1+i，x ＝1﹣i． 1 2 （3）x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，∴x﹣2＝±2i解得：x ＝2+2i，x ＝2﹣ 1 2 2i． 【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解 题的关键． 【高频考点7】配方法的应用 配方思想的主要应用:①证明代数式的正负性；②比较代数式大小；③求代数式的最值等。 例7．（2022•历城区九年级期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式， 例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1． 根据以上材料，解答下列问题： （1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，判断x2﹣2x+3与0的大小关系， ∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ；所以x2﹣2x+3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）； （2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值； （3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数． 【分析】（1）模仿题干的例题配方即可，利用平方的非负性与0比较大小；（2）将多项式配方，根据平方的非负性求出多项式的最小值； （3）对多项式进行配方即可证明多项式的值总为正数． 【解答】解：（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2， ∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+2＞0，∴x2﹣2x+3＞0，故答案为：1；2；＞； （2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18， ∵（x+3）2≥0，∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18； （3）证明：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0， ∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 变式7. （2021•南京九年级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣ 2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加 一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方 法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解 的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝ （x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当 x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m﹣7． （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值； （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论； （3）将多项式配方后可得结论． 【解答】解：（1）原式＝m2﹣6m﹣7＝m2﹣6m+9﹣9﹣7＝（m﹣3）2﹣16 ＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）＝（m+1）（m﹣7）． （2）a2+b2﹣4a+6b+20＝a2﹣4a+4+b2+6b+9+7＝（a﹣2）2+（b+3）2+7． ∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0 ∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值为：7． （3）a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28 ＝a2﹣2a（b+1）+b2+2b+1+b2﹣6b+9+18＝[a﹣（b+1）]2+（b﹣3）2+18． ∵[a﹣（b+1）]2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴当a﹣（b+1）＝0，b﹣3＝0时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值． 即当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值18． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． 【能力提升】 一．选择题 1．（2022·山东滨州·二模）一元二次方程 ，配方后可变形为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得． 【详解】解：移项得：x2-8x=1， 配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和 根据不同方程灵活选择方法是解题的关键． 2.（2022•镇江校级期中）已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q ＝0配方后是（ ） A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【解答】解：∵方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7， ∴x2﹣2px+p2＝7， ∴﹣6＝﹣2p， 解得：p＝3， 即（x﹣3）2＝7， ∴x2﹣6x+9﹣7＝0， ∴q＝2， 即（x+3）2＝7， 即（x+p）2＝7， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4x2 m2x10 3．（2022·全国初三课时练习）若方程 的左边可以写成一个完全平 m 方式，则 的值为（ ） A．2 B．2或6 C．2或6 D．2或6 【答案】B 【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的结构，而4x2=（2x）2，即可求解． 【解析】−(m−2)=±2×2×1，∴m−2=±4，即m−2=4或m−2=−4， 得m=−2或m=6.故选B.【点睛】考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 4．（2022·全国九年级专题练习）若代数式M 10a2b27a8，N a2b25a1，则 M N的值（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 【答案】B 【分析】此题可直接用多项式M 减去多项式N ，然后化简，最后把得出的结果与零比较确 定M N的正负． 【详解】解：由于M 10a2b27a8，N a2b25a1， 则M N M 10a2b27a8(a2b25a1)9a212a7 9a212a43(3a2)23�3 所以M N一定是正数．故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是需注意整式的加减运算；另外题中含有的 配方得完全平方式的思想，同学们也需要灵活掌握． 5．（2022·全国九年级专题练习）不论x,y为何实数，代数式x2y22y4x6的值（ ） A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数 【答案】A 【分析】对原式进行配方处理，形成含有完全平方的形式，再运用非负性即可判断． 【详解】原式＝  x24x4    y22y1  1x22y121， ∵x22 0，y12 0，∴x22y1211，即：原式的值总不小于 ，故选： 1 A． 【点睛】本题考查运用配方法形成完全平方公式判断代数式的值的范围，准确配方并理解 完全平方式的非负性是解题关键． 6．（2022·重庆九年级期中）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A． 化为 B． 化为 C． 化为 D． 化为 【答案】A 【分析】根据配方法的步骤：①将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右边；③方程 两边同时加上一次项系数一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答． 【详解】解：A、 化为 ，即 ，此选项错 误，符合题意； B、 化为 ，即 ，此选项正确，不符合题意；C、 化为 ，即 ，此选项正确不 符合题意；D、 化为 ，即 ，此选项正 确，不符合题意；故选：A． 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键． 7.（2022•乐亭县期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（ ） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 【分析】根据非负数的性质可知（x﹣1）2≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x﹣1） 2＝m+1有解，由此求出m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，∴m+1≥0，∴m≥﹣1．故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如 x2＝p 或（nx+m）2＝p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 8.（2022•钦州期末）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝ x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（ ） A．x ，x B．x ＝6，x ＝﹣6 C．x ＝3，x ＝﹣3 D．x ＝3 ，x ＝﹣ 1 2 1 2 1 2 1 2 3 【分析】先根据新定义得出y′＝3x2，再结合y′＝18知3x2＝18，据此利用直接开平方法 求解即可． 【解答】解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝18，∴3x2＝18，则x2＝6，∴x ，x 1 2 ，故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是 解题的关键． 二．填空题 9.（2022•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝ a2+b2，a★b ，则方程3☆x＝x★12的解为 ． 【分析】根据题中的新定义将方程化为普通方程，利用完全平方公式将方程左边的多项式 分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来 求解． 【解答】解：根据题中的新定义得：3☆x＝9+x2，x★12＝6x， 所求方程化为：9+x2＝6x，即（x﹣3）2＝0， 解得：x ＝x ＝3． 1 2 故答案为：x ＝x ＝3 1 2【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程时， 首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一 个为0转化为两个一元一次方程来求解． 10.（2022•樊城区期末）实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如 min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝ ． 【分析】先判断出x2﹣1＜x2，从而由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，再利用直接开平 方法求解即可． 【解答】解：∵x2﹣1＜x2， ∴由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1， 则x2＝2， ∴x ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是 解题的关键． 11.（2022·浙江杭州市·八年级期中）解方程： 解：两边同时加_________，得 ________ ________ 则方程可化为（_______）2=________ 两边直接开平方得_____________ 即_________或_____________ 所以 __________， ___________． 【答案】9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】解：两边同时加9，得 9 9，则方程可化为 1， 两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以 -2， -4． 故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4． 【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项 的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次 方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 12.（2022•福州期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 8x，则x＝ ．【分析】解此题关键是理解题意： 8x，即（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x ﹣1）＝8x，解此方程即可． 【解答】∵ 8x∴（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）＝8x，∴x2﹣4x+1＝0 ∴x2﹣4x+4＝﹣1+4 ∴（x﹣2）2＝3 ∴x＝2± ． 【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最 好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解题时还要注意审题，学会学 以致用． 三．解答题 13．（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0． 【答案】x＝2+ ，x＝2﹣ 1 2 【分析】根据配方法即可求解． 【详解】解：x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， （x﹣2）2＝6， x﹣2＝± ， 解得x＝2+ ，x＝2﹣ ． 1 2 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的 倍数． 14．（2022·宁夏固原·九年级期末）用配方法解方程 【答案】 ， 【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】解： ， 移项得： ， 配方得： ，即 ， 开方得： ， 解得 ， ；【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 15．（2022·四川广安·九年级期末）用配方法解方程： ． 【答案】 ， 【分析】根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解． 【详解】解： ． 移项，得 ． 配方，得 ， 即 ． 两边同时开平方，得 ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键． 16.（2022•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 【分析】（1）利用非负数的性质得到4m﹣1≥0，然后解不等式即可； （2）先把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1中求出m，则方程化为（x﹣1）2＝1，然后利 用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，解得m ； （2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m ， ∴方程化为（x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝±1，解得x ＝2，x ＝0， 1 2 ∴方程的另一个根为0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如 x2＝p 或（nx+m）2＝p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 17．（2022·河南南阳·九年级期末）下面是聪聪同学解一元二次方程的过程，请认真阅读 并完成相应任务． ． 解： ，…………………………………第一步 ，……………………………………………第二步 ，即 ，………………第三步，………………………………………………第四步 ．………………………………………………第五步 (1)任务一： 填空：①以上解方程的步骤中，第______步利用完全平方公式配方． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请直接写出该一元二次方程的正确解． (3)任务三：除上述错误外，请你根据平时的学习经验，写出一条利用配方法解一元二次方 程时要注意的事项． 【答案】(1)①三；②四， 开平方时有两个平方根，过程中只写出了一个； (2) ， ；(3)答案不唯一，如移项要变号． 【分析】（1）①根据完全平方公式即可得出答案，②由一个正数有两个平方根，从而得出 答案； （2）根据配方法求解一元二次方程即可得出答案； （3）根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出配方时的注意事项． 【解析】 (1)解：①由完全平方公式 可得， ， 第三步利用完全平方公式配方； ② 一个正数有两个平方根，过程中 只写出了一个平方根， 第四步开始出现错误，这一步错误的原因是 开平方时有两个平方根，过程中只写出了 一个； 故答案为：①三；②四， 开平方时有两个平方根，过程中只写出了一个； (2)解： ． ， ， ， 即 ， ，， ， (3)解：因为利用配方法求解一元二次方程的步骤为：①把原方程化为一般形式；②方程两 边同除以二次项系数，使二次项系数为1 ，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加 上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； .⑤进一 步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是 一个负数，则方程有一-对共轭虚根． 所以利用配方法解一元二次方程时要注意的事项不唯一，可以是移项时要变号，也可以是 开平方时有两个平方根等． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 18.（2022•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第 12页的“数学实验 室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构 图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方 程x2+10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为 x2+10x﹣39＝0，所以有x（x+10）＝39． 展示1：阿尔•花拉子米构图法 如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两 个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以 拼成如图2的大正方形． （1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积， 可以将原方程化为（x+ ）2＝39+ ； 展示2：赵爽构图法 如图3，用4个长都是（x+10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形． （2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x的代数式表示）；另一方面， 它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 4×39+ ，故可得原方程的 一个正的根为 ． （3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2+2x＝3的配方结果（请在相应位置画 出图形，需在图中标注出相关线段的长度）． 【分析】（1）观察图形即可求解；（2）先观察图形填空，再直接开平方即可求解；（3）根据拼图方法直观地表示方程x2+2x＝3的配方结果． 【解答】解：（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为5；通过不同的方式表达大正方 形面积，可以将原方程化为（x+5）2＝39+25；故答案为：5，5，25； （2）图3中，大正方形面积可以表示为（2x+10）2（用含x的代数式表示）；另一方面， 它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+100， 则（2x+10）2＝4×39+100，（2x+10 ）2＝256，2x+10＝±16，解得x ＝3，x ＝﹣13． 1 2 故原方程的一个正的根为x＝3．故答案为：2x+10，100，x＝3； （3）如图所示： 【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，根据示例和方程的特点构建几何图形并 完成分割是解题的关键． 19．（2022·福建省福州屏东中学）我们己学完全平方公式：a22abb2 (ab)2，观察 下列式子： x24x2  x24x4  2(x2)22，  (x2)2 0，x24x2(x2)222，原式有最小值是-2； x22x3  x22x1  2(x1)22，  (x1)2 0，x22x3(x1)222，原式有最大值是-2； 并完成下列问题：（1）求代数式2x24x1的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长 方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务． x x ①用含 的式子表示花圃的面积；②请说明当 取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 【答案】（1）代数式2x24x1的最小值是1；（2）①花圃的面积为x1002x 平方米； ②当x15米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【分析】（1）将代数式2x24x1配方可求解； （2）①利用长方形的面积=长×宽可得结论；②利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）2x24x1=2  x22x11  12(x1)21，∴原式有最小值是1；（2）①根据题意，花圃的面积为：x1002x 平方米； ②由①可知：x1002x2x252 1250，当x15米时，花圃的最大面积为1250平 方米． 【点睛】本题考查了非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用 配方法可以确定最值问题． 20．（2021·江苏八年级期中）先阅读后解题： 若m22mn26n100，求m和n的值． 解：等式可变形为：m22m1n26n90 即(m1)2(n3)2 0 因为(m1)2 0，(n3)2 0， 所以m10，n30 即m1，n3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利 用配方法，解决下列问题：（1）已知x2y24x10y290，求yx的值； （2）已知 ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2b24a6b110，则   ABC的周长是________； （3）在实数范围内，请比较多项式2x22x3与x23x4的大小，并说明理由． 1 【答案】（1） ；（2）7；（3） ，理由见解析． 25 2x22x3x23x4 【分析】（1）利用分组分解法进行配方即可解题；（2）根据题意进行分组配方，解得 a1,b3，再利用三角形三边关系解得c的值即可解题；（3）利用作差法解题． 【详解】解：（1）x2y24x10y290 x24x4y210y250 (x2)2(y5)2 0 因为(x2)2 0，(y5)2 0， x20,y50 x2,y5 1 yx 52  ； 25 （2）2a2b24a6b110 2a24a2b26b90 2(a1)2(b3)2 0 因为(a1)2 0，(b3)2 0，a1,b3 2c4 a、b、c都是正整数， c3 abc1337， 故答案为：7； （3）2x22x3(x23x4) 2x22x3x23x4 x2x1 1 1  x2x( )2( )21 2 2 1 3 (x )2 2 4 1 Q(x )2 0 2 1 3 3 (x )2  0 2 4 4 2x22x3x23x4． 【点睛】本题考查配方法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关 知识是解题关键． 21．（2022·重庆市蜀都中学校）阅读材料：把形如ax2bxc的二次三项式（或其一部 分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a22abb2 (ab)2 1  2 3 例如： ， ， x2  x2是 的三种不同形式的配方 (x1)23 (x2)22x 2  4 x22x4 （即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）．）阅读材料解决下 列问题： （1）比照上面的例子，写出x24x2三种不同形式的配方； （2）将a2abb2配方（至少两种形式）； （3）已知a2b2c2ab3b2c40，求abc的值． 【答案】（1）x24x2(x2)22，x24x2(x 2)2(2 24)x， x24x2( 2x 2)2x2；（2）a2abb2 (ab)2ab， 1 3 a2abb2 (a b)2 b2 ；（3）4 2 4 【分析】（1）（2）根据题中所给的已知材料可得x2-4x+2和a2+ab+b2的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．【详解】解：（1）x24x2的三种配方分别为： x24x2x24x42(x2)22， x24x2x2  2 2 2 2x2 2x4x(x 2)2(2 24)x， x24x2  2x 2   2 2 2 2 2xx2( 2x 2)2x2； （2）a2abb2 a22abb2ab(ab)2ab， 1 1  2 3 1 3 a2abb2 a22a b b  b2 (a b)2 b2； 2 2  4 2 4 （3）a2b2c2ab3b2c4 1 3 (a2ab b2)( b23b3)(c2 2c1)， 4 4 1 3 (a2ab b2) (b24b4)(c2 2c1)， 4 4 1 3 (a b)2 (b2)2(c1)2 2 4 =0， 1 从而有a b0， ， ， 2 b20 c10 即a1，b2，c1， abc4． 【点睛】本题考查了根据完全平方公式：a22abb2 (ab)2进行配方的能力． 22．（2022·云南师范大学实验中学九年级月考）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以 逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6， ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）求代数式x2+4x+2020最小植． （2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值． 16 （3）设a＞0，求a2+ 的最小值，并求出此时a的值． a2 【答案】（1）2016；（2）-25，8；（3）8，2 【分析】（1）配方后即可确定最小值；（2）将原式分为2组：（x2﹣ 4xy+4y2）+（2x2+16x）+7配方后即可确定最小值；（3）将原式变为：4 4 2 4 a2-2a +  +2a ，然后配方确定最小值即可． a a a 【详解】解：（1）x2+4x+2020＝x2+4x+4+2016＝（x+2）2+2016， 又∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+2016≥2016，∴代数式x2+4x+2020最小值为2016； （2）3x2﹣4xy+4y2+16x+7＝（x2﹣4xy+4y2）+（2x2+16x）+7＝（x2﹣4xy+4y2）+2 （x2+8x+16）﹣32+7 ＝（x﹣2y）2+2（x+4）2﹣25， ∵（x﹣2y）2≥0，2（x+4）2≥0，∴（x﹣2y）2+2（x+4）2﹣25≥﹣25， ∴代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值为﹣25，此时（x﹣2y）2＝0，（x+4）2＝0， ∴x＝﹣4，y＝﹣2，∴xy＝（﹣4）×（﹣2）＝8； 16 4 4 2 4  4 2  4 2  4 2 （3）∵a2+ ＝a2-2a +  +2a ＝a-  +8，又∵a-  0，∴a-  +88， a2 a a a  a  a  a 16 4 4 ∴a2+ 的最小值为8，此时，a- =0，即a= ，∴a＝±2，∵a＞0，∴a＝2． a2 a a 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 23．（2022·河南八年级期中）老师在讲完乘法公式 ab2 a2 2abb2的多种运用后， 要求同学们运用所学知识解答：求代数式x24x5的最小值？同学们经过交流、讨论，最 后总结出如下解答方法： 解：x24x5x24x41x221 ∵x22 0 即当x2时， x22 的值最小，最小值是0， ∴x2211 当 x22 0时，x221的值最小，最小值是1， ∴x24x5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题（1）当x______时，代数式x26x12的最小值是 ______； （2）若yx22x3，当x______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个 值是______； （3）若yx23x5，求yx的最小值． 【答案】（1）3，3； （2）1，大，2； （3）当x1时， yx 的最小值为6． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，可确定最小值； （2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．【详解】（1）∵x26x12x323， ∴当x3时，有最小值3；故答案为3，3． （2）∵yx22x3x122， ∴当x1时最大值2；故答案为1，大，2． （3）∵yx23x5∴xy x22x5x126， ∵x12 0，∴x1266，∴当x1时，yx的最小值为6． 【点睛】本题考查了配方法的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行 配方．