文档内容
第 01 讲 探索勾股定理
课程标准 学习目标
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上
①掌握勾股定理；
的点一一对应关系；
②会证明勾股定理。
3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有
关的计算和证明。
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么
a2 b2 c2
.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2
，
b2 c2 a2
，
c2 ab2 2ab
.
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
√n
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
【即学即练1】
1．（2024·福建宁德·二模）在 中， ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．11 C．13 D．17
2．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称
为三角形某边的“中偏度值”．如图， 中， ， ， ， 是 边上的高，
则 中 边的“中偏度值”为 ．
知识点02 勾股定理证明
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求
法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到
等式 ，化简使得结论 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方
程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 如图2放置，其三边长分
别为a，b，c， ，显然 ．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形 ，梯形 的面积，再探究这三个图形面积之间的关
系，证明勾股定理： （提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）；
【方法迁移】
（2）如图3，在 中， 是 边上的高， ，求 的值．
题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长
【典例1】（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是
．
【变式1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路 （
）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若 ，那么建
好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ．【变式2】（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角 中， ， ，则 的长为
【变式3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜
边长为 ．
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为
400，则正方形C的边长为 ．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形 的边长分别为直角三角形的三边长，
若正方形 的边长分别为4和8，则正方形 的面积为 ．
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在 中， ，分别以 、 、
为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当 ， 时，则阴影部分的面
积为 ．
【变式3】（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
若正方形 的面积依次为5、13、30，则正方形 的面积为 ．题型三 利用等面积法求直接斜边上的高问题
【典例1】 （23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均
在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ．
【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 的顶点 在边长为 的正方形
网格的格点上， 于点 ．则 的长为 ．
【变式2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均
为1，点A，B，C都在格点上，求 边上的高长＝ ．
【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示， 的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格
的格点上， 于点D，则BD的长为 ．题型四 勾股定理与无理数
【典例1】 （23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点 A 表示的实数是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点 所表示的数为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点 表示的数是1，点 表示的数是 ，
于点 ，且 ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点 ，则点 表示
的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段
于点A，且 长为1个单位长度，若以点C为圆心， 长为半径的弧交数轴于0和1之间的点
P，则点P表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
题型五 勾股定理与折叠问题
【典例1】 （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边
，将 折叠，顶点 与点 重合，折痕为 ，则 的长为 ．【变式1】（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片 中， ，沿 和
将纸片折叠，使点B和点C都落在边 上的点P处，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图已知长方形 中 ， ，在
边 上取一点E，将 折叠使点D恰好落在 边上的点F，则 的长为 ．
【变式3】（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在等腰直角三角形 中， ，
，点P是边 上任意一点，连接 ，将 沿 翻折，点B的对应点为 ，当 有一
边与 垂直时， 的长为 ．
题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【典例1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习） 中，斜边 ，则 的值是
．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所
示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ，若 ， ，则 ．【变式2】（22-23八年级下·山西大同·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点A在 的斜边 上，则 的值为 ．
【变式3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线 交于点O．若
， ， ，则 ．
题型七 利用勾股定理证明线段平方关系
【典例1】 （23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在 中， ．
(1)求证： ；
(2)当 ， ， 时，求 的值．
【变式1】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知 与 都是等腰直角三角形，其中
， 为 边上一点．(1)试判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明 三者之间的关系．
【变式2】（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在 中，已知 ，D是斜边 的中点，
交 于点E，连接
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长.
【变式3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰 中， ， ，点
F是直线AB上一个动点，作等腰 ，且 ，连接 ．
(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证： ；
(3)若 ，则 ______．题型八 勾股定理的证明方法
【典例1】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个
文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有 余种．其中我国汉
代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾
股定理：
如果直角三角形 的两条直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 ．
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其
中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，
都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中 ．求证： ．
【变式2】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．
数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些
数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在 和 中， ，（点 ， ， 在一条直线上），
， ， ．
证明： ；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出 的结果．
【变式3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了
证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，
两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1： ______；
方法2： ______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若 ， ，求阴影部分的面积．一、单选题
1．（23-24八年级下·湖北随州·期末）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知 ，
，则b为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．18
2．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图
所示，正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．
3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，则 边
上的高为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．7
4．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图 是第七届国际数学教育大会 会徽，在其主体图案中选择两
个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 所示的四边形 ．若 ， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证
几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）．A． B．
C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·江西上饶·期末）在 中， ， ， ，则 边的长是
．
7．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）在 中， ，若 ， ，则 ，
．
8．（23-24八年级下·广东广州·期中）在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则
边上的高为 ．
9．（23-24八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 ，
，现将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 ．
10．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，已知 ，以 ， 为边分别向外作等腰直角三角
形 和等腰直角三角形 ，连接 、 ，连接 ，若 ， ，则 的值为三、解答题
11．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，求 的长．
12．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
的顶点都在小正方形网格线的交点上．求 的周长及 边上的高．
13．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）在 中， ，将 沿直线
折叠，使B落在 的三等分点 处，求 的长．14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在 中， ，求证：
；
（ ）在 中， ， ， 边上的高 ，求边 的值．
15．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图 ，已知四边形 中， ，垂足为 ，求证： ．
(2)解决问题：如图 ，在 中， ， ， ，分别以 的边 和
向外作等腰 和等腰 ，连接 ，求 的长．16．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不
同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ；
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看
它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）；
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角 中， ，三边长分别为a、b、c，已知 ， ，求 的值．
②如图3，四边形 中，对角线 ， 互相垂直，垂足为O， ，在直角 中，
， ，若 的周长为2，则 的面积= ．
