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勾股定理期中期末重要题型复习(10 类热点题型讲练)
目录
【考点一 判断是否是一组勾股数】........................................................................................................................1
【考点二 判断是否构成直角三角形】....................................................................................................................3
【考点三 勾股定理与无理数问题】........................................................................................................................5
【考点四 已知两点坐标求两点距离】....................................................................................................................7
【考点五 勾股定理与面积问题】............................................................................................................................9
【考点六 勾股定理与网格问题】..........................................................................................................................12
【考点七 勾股定理与折叠问题】..........................................................................................................................15
【考点八 验证勾股定理问题】..............................................................................................................................21
【考点九 勾股定理的应用问题】..........................................................................................................................26
【考点十 利用勾股定理求最短路径问题】..........................................................................................................35
【考点一 判断是否是一组勾股数】
例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，勾股数是（ ）
A．13，14，15 B．1，1，
C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17
【答案】D
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整
数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
【详解】解：A、 ，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、 不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、 不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
D、 ，是勾股数，该选项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理
的应用是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，
∴不是勾股数，故此选项符合题意；
、∵ ，
∴是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵ ，
∴是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵ ，
∴是勾股数，故此选项不符合题意；
故选： ．
2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足勾股定理的三个正整数是勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义判断作答即可．
【详解】解：A中 ，不是勾股数，故不符合要求；
B中 ，不是勾股数，故不符合要求；
C中 ，是勾股数，故符合要求；
D中 ，不是勾股数，故不符合要求；
故选：C．
3．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）下列各组数据中是勾股数的是( )
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查勾股数，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数．据此进行解
题即可．
【详解】解：A、由题可知，三个数都不是正整数，故不符合题意；
B、由题可知，数 不是正整数，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故选：D．
【考点二 判断是否构成直角三角形】例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c．下列条件
不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】D
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．
判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】A、 ，
，
，
，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
B、设 ，则 ， ，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
C、 ，
，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
D、 ， ， ，
，
不是直角三角形，
故此选项错误，符合题意．
故选D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．8，12，13
【答案】C
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理计算，即可判断答案．
【详解】A、因为 ，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以A选项错误，不符合题意；
B、因为 ，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以B选项错误，不符合题意；
C、因为 ，所以这三条线段能构成直角三角形，所以C选项正确，符合题意；
D、因为 ，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以D选项错误，不符合题意．
故选C．
2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）以下列长度为边的三角形，能判断为直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．2，3，4 C． ， ， D． ， ，3
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小
两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【详解】解：A、 ，能构成直角三角形，符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，不符合题意；
，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选： A.
3．（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的 ，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题
的关键．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、 ， ，
∴最大角为 ，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设 分别为 ，
，，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、 ，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、 ，
，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
【考点三 勾股定理与无理数问题】
例题：（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图， ， 于点C， 连接 ， 以点O为
圆心， 长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查的是勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得 的长是解题的关键．先根据
勾股定理求出正方形的对角线长，进而可求出A点表示的数．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
，
∴ ，
，
点 表示的数是 ．
故选B．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，点 ， 在数轴上所表示的数分别为0，3， 于点 ，
，以点 为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点 ，若点 所表示的数为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】在 中，应用勾股定理，求出 ，根据作图即可求出 的长度，即可求解，本题
考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是：应用勾股定理，求出 的长度．
【详解】解： 点 ， 在数轴上所表示的数分别为0，3，
，
在 中， ，
由作图可知， ，
的值为 ，
故选： ．
2．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上的点 表示的数是 ，点 表示的数是1， 于
点 ，且 ，以点 为圆心， 为半径画弧交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】此题考查了勾股定理与无理数，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾
股定理求得线段 的长，即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
∴点D表示的数为 ，
故选C．
3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上找出表示3的点A，则 ，过点A作直线
垂直OA，在 上取点B，使 ，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与无理数
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算 即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
故选：D.
【考点四 已知两点坐标求两点距离】
例题：（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案．
【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
．
故选：D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】C
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：点 到原点的距离为 ．
故选：C
2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)， ，以点 为
圆心， 长为半径画弧，交 轴的正半轴于 点，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．求出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ．
故选：A
3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，点 是平面坐标系中一点，则点 到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了图形与坐标，以及勾股定理，先根据图中信息得出点P的坐标为 ，再结合勾
股定理列式进行作答即可．
【详解】解：依题意，图中信息得出点P的坐标为 ，
∴ ，
∴点 到原点的距离是 ，故选：B．
【考点五 勾股定理与面积问题】
例题：（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其
中两个正方形的面积，则A的面积为 ．
【答案】64
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据
两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的直角边和斜边，根据勾股定理可以计
算直角边，即正方形A的边长.
【详解】解：因为以两个边长的正方形面积为100和36，则边长为 和 ，
所以直角边的平方 ，
∴A的面积为64，
故答案为：64．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图， 是 的高，分别以线段 为边向外作正
方形．若其中3个正方形的面积如图所示，则以 为边的正方形的面积为 ．
【答案】2
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查勾股定理．利用勾股定理解题即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：
，
∴ ，故答案为：2．
2．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的
四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为 ， ， ， ．若 ， ，则 ．
【答案】86
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到 ， ， ，，再由勾
股定理推出 ，据此可得答案．
【详解】解：如图，连接 ．
由题意，得 ， ， ， ．
在 中，由勾股定理得 ．
在 中，由勾股定理得 ．
．
，
故答案为： ．
3．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 ， ，
的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 __________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】（1）设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，用 ， ， 分别表示正方形、圆、等边三角形的面
积，根据 ，求解 之间的关系，进而可得结果；②根据 ，
， ，可得 ；
（2）由题意知， ， ， ， ， ，代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，
则图2中， ，
∵ ，
∴ ，故图2符合题意；
图3中， ， ， ，∵ ，
∴ ，故图3符合题意；
图4中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知 ， ， ，
∴ ；
（2）解：由题意知， ， ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
【考点六 勾股定理与网格问题】
例题：（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点
都在格点上，以 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，求 的长 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得 ，在
中，根据勾股定理可得 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意， ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·天津河西·期末）如图，网格中的小正方形边长均为1， 的三个顶点均在格点上，
则 的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，根据题意利用勾股定理即可得；掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵网格中的小正方形边长均为1， 的三个顶点均在格点上，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在 的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格
点（网格线的交点）上，则边 上的高为 ．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题
【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求 的面积，再根据勾股定理可求出 的长，
进而根据面积公式即可求得 边上的高的长．
【详解】解：由题意可得 ，
又 ，
边上的高为 ，故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形 的面积 ________；
(2)四边形 的周长 ________；
(3) 与 有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)12
(2)
(3)相等，且垂直
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题、勾股定理逆定理的实际应用、网格中多边形面积
比较
【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可；
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）先根据勾股定理的逆定理确定 是直角三角形，可得答案．
【详解】（1）四边形 的面积 ；
故答案为：12；
（2）四边形 的周长为
；
故答案为： ；
（3）相等，且垂直．
理由：如图所示，连接 ．
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，∴ ，
所以 ，且 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则
图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键．
【考点七 勾股定理与折叠问题】
例题：（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片 沿对角线BD折叠，折叠后，边
的对应边 交AD于 ．
(1)求证： 长方形各内角均为 ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）由折叠的性质知， ， ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，
即可得证；
（2）勾股定理求得 ，由（ ）知 ，根据 得出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：由折叠的性质知， ， ．四边形 是长方形，
∴ ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： 四边形 是长方形，
， ，
，
由（ ）知 ，
，
，
，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张
长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在 中， ， ， ，如图①，将直角边 沿直线 折叠，使它落
在斜边 上，点C与点E重合，请求出 的长；
操作二：如图②，在长方形 中， ， ，在 边上取一点P，将 沿直线 折叠，
点C恰好与 边上的点E重合，求 的长．
【答案】操作一∶ ；操作二： 的长为 ．
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题
【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理
列方程．
(1)求出 ， ，设 ，可得∶ ，即可解得答案
∶(2)求出 ， 设 ，可得 ，即可解得 的长．
【详解】操作一：在 中， ， ， ，
，
由翻折可得， ， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ；
操作二：在长方形 中， ， ，
根据折叠的性质得， ，
在 中， ，
根据勾股定理可得， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
的长为 ．
2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在 中， ，进行如下操作：
(1)如图1，将 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点 与 重合，折痕为 ，若 ， ，
求 的长；
(2)如图2，将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，若 ， ，求
的长．【答案】(1)
(2)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用．
（1）由折叠的性质可得 ，然后设 ， ，然后根据勾股定理即可求出 ．
（2）由勾股定理求出 ，由折叠的性质可得： ，进而求出 ，设 ，则 ，
，然后根据勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得： ，
∴在 中，
设 ，则 ，
即
解得： ，
即 ．
（2）在 ，
∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
则 ，
解
解得： ，
即 ．
3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1 ；(2 ；(3) 的长为 或10
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题
【分析】（1）求出 ，再由折叠的性质得 ，然后由勾股定理求出 的长即
可；
（2）由长方形的性质得 ， ， ，再证 ，得 ，设
，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点 在长方形内部时，由折叠的性质得 ， ，再由勾股定理得
，设 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点 在长方形外部时，折叠的性质得 ， ，同①得 ，设 ，则
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1） ， ，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ；
（2） 四边形 是长方形，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
（3）解： 四边形 是长方形，
， ，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交AD于点 ，
则 ，
分两种情况：
①如图 ，当点 在长方形内部时，
点 在线段 的垂直平分线 上，
， ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
②如图 ，当点 在长方形外部时，由折叠的性质得： ， ，
同①得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为10；
5
综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为 或10．
2
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段
垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理
是解题的关键，属于中考常考题型．
【考点八 验证勾股定理问题】
例题：（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思
想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一
个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．
【详解】解：① ， ，∴ ，
整理得 ，
故①满足题意；
②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；
③ 或 ，
∴ ，
故③符合题意；
④ 或 ，
∴ ，
∴ ，
故④满足题意；
故选：D
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用
来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案．
【详解】∵ ，
∴ .
所以图1，3符合题意；
∵图形的面积表示为： ， ，
∴ ，
所以图2符合题意．
图4不能验证勾股定理．所以符合题意的有3个．
故选：C．
2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，
这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理 ．
(2)如图2，在 中， 是 边上的高， ，求 的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54， ，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)3
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式
表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到 ，根据等面积法列式求解即可得到 ；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
； ； ；
，即 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴由勾股定理可得 ，
是 边上的高，
由等面积法可得 ，
， ，
∴ ；（3）解：由已知可得： ，即 ，
，
小正方形的边长为 ．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股
定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形
都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： .
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知： 中， ， ， ， .
求证： .
证明：由图可知 ，
， ______，
正方形 边长为______，
，
即 ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E
（2）求证： ， ；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1） ， （2）见解析 （3）见解析 （4）【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图 所示图形,然后用两种方法
表示正方形 的面积，即可解题；
（2）依据题意,通过证明 即可判断得解；
（3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形 和
，再列式变形即可得解；
（4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108，可得
又设 故 又在 中, 则，求出 后可列式
计算得解.
【详解】(1)证明：由图可知 ，
， ，
正方形 边长为 ，
，
即 ．
故答案为： ， ；
（2）证明: ∵ ,
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
又 , ,
∴ .
∴ ；
(3)证明： 由题意，第一种方法：
，
第二种方法：，
，
，
；
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108,
，
设 则 ，
在 中,
，
将 代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为： ．
【考点九 勾股定理的应用问题】
例题：（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子 长5米，荡到最高点D时秋干
离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段 的长是4米，求秋千的起始位置距离地
面的高度（线段 的长）．【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．作 于点 ，在 中，利用勾股定理求得 的长，
据此求解即可．
【详解】解：作 于点 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米， 米， 米，
在 中， 米，
∴ 米，
∴ 米，
答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，一个梯子 长25米，顶端A靠在墙 上（墙与地面垂直），
这时梯子下端B与墙角C距离为7米．
(1)求梯子顶端A与地面的距离 的长；
(2)若梯子的顶端A下滑到E，使 ，求梯子的下端B滑动的距离 的长．
【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离 的长为24米(2)梯子的下端B滑动的距离 的长为8米
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
（1）直接利用勾股定理得出 的长；
（2）利用勾股定理得出 的长进而得出答案．
【详解】（1）由勾股定理可得： 24（米），
答：梯子顶端A与地面的距离 的长为24米；
（2）∵梯子的顶端A下滑到E，使 ，
∴ （米），
∴ 15（米），
则 （米），
答：梯子的下端B滑动的距离 的长为8米．
2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影
响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路
线，A是某个大型农场，且 ．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析；
(2)
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】（1）作 ， 中，根据勾股定理，求出 的长，进而求得 的长，即可求解，
（2）假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ，根据勾股定理求出
的长，即可，
此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进
行计算是解题的关键．【详解】（1）解：会受到台风的影响.
理由：如图，过点A作 ，垂足为D，
在 中， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答：农场A会受到台风的影响，
（2）解：如图，
假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ， ，由勾股定理，
可得
∵台风的速度是 ，
∴受台风影响的时间为 ，
答：台风影响该农场持续时间为 ．
3．（23-24八年级下·山东德州·期中）吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点
处， 为附近的一条街道，已知点 与直线 上两点 、 的距离分别为 和 ， ，
若吊车周围 以内会受噪声影响．(1)求 的度数；
(2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)会受到影响，会影响位于吊车垂直位置左右 街道上的居民，理由见解析
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）过点 作 于点 ，根据等面积法求出 ，结合题意可得街道上的居民会受到噪声
的影响，当 ， 时，此范围内的居民会受影响．由勾股定理得
，推出 ，即可求解．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
是直角三角形，
；
（2）街道上的居民会受到噪声的影响，
理由如下：如图，过点 作 于点 ，
由（1）得 ，
，
，
解得： ，
吊车周围 以内会受到噪声的影响，
街道上的居民会受到噪声的影响．
当 ， 时，此范围内的居民会受影响．
，，
即会影响位于吊车垂直位置左右 街道上的居民，即 范围内的居民会受影响．（说法合理即可）
4．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长
，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为 的岸上，开始时绳子 的长为 ．（假设
绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳， 后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少 ？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
【答案】(1)
(2)
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据题意得到 ，再利用勾股定理求出 ，即可解题；
（2）利用勾股定理求出 ，根据题意得到 ，进而得到 ，再利用勾股定理算出 ，即可解
题．
【详解】（1）解：由题知， ， ， ，
工作人员以 的速度收绳， 后船移动到点D的位置，
，
，
此时游轮距离岸边还有 ；
（2）解：由题知， ， ， ，
，游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到E点，
，
，
，
∴ ，
工作人员手中的绳子被收上来 ．
5．（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，
且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工
过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路
长．
【答案】(1)
(2)需要，
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过 作 ，因为 ，由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，通过三角
形的面积转化，即可求解；
（2）以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点E、F，连接 ， ，由等腰三 ，比较
与 的大小即可判断，由勾股定理得 ，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出
适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
， ， ，
如图，过 作 ，
，
，
是直角三角形，且 ，，
，
解得： ，
答：山地C距离公路的垂直距离为 ；
（2）解：公路 有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点E、F，连接 ， ，
则 ，
，
，
由（1）可知， ，
，
有危险需要暂时封锁，
在 中，
，
，
即需要封锁的公路长为 ．
6．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，
出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇
生长在 的中点O处，高出水面的部分 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面
平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度 ；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现
代符号语言可以表示为：若已知水池宽 ， 芦苇高出水面的部分 ，则水池的深度
可以通过公式 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】(1)12尺
(2)见解析
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为 尺，在 中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度 ，则得芦苇高度为 ，由题意有： ；由勾股定
理即可得证．
【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为 尺，
由题意有： 尺；
为 中点，且 丈 尺，
(尺)；
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ；
即 尺；
答：水池的深度 为12尺；
（2）证明：水池深度 ，则芦苇高度为 ，
由题意有： ；
为 中点，且 ，
；
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
整理得： ；
表明刘徽解法是正确的．
【考点十 利用勾股定理求最短路径问题】
例题：（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方体 ， ， ， ，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到 点，求它走的最短路径是多少？
【答案】
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好
的题目，注意：要分类讨论．连接 ，求出 的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求
出每种情况时 长，再找出最短的即可．
【详解】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点A爬到点 处，在侧面展开图上，
则在 中， ， ， ，
由勾股定理知： ，
若小虫在正面和侧面上沿直线从点A爬到点 处，在侧面展开图上，
则在 中， ， ， ，
由勾股定理知： ，
如图同法可得： ，
∵ ，
∴小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点A爬到点 处，长度为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm
的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路径，依据是 ．
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯
的宽 ，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点 处出发，翻越木块后到达点
处需要走的最短路程．
【答案】（1）图形见解析；两点之间，线段最短.
（2）
【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理：
（1）根据两点之间，线段最短连接即可；
（2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛
毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）解：
依据：两点之间，线段最短.
（2）解：
根据题意得：展开图中的 ， .
在 中，由勾股定理得：，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 .
2．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分
别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距
1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家．
(1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说
明作图方法或步骤；
(2)求出小智走过的最短路程．
【答案】(1)见解析
(2)小智走过的最短路程为1.7千米
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行判断、最短路径问题
【分析】（1）根据两点之间线段最短即轴对称的性质作图；
（2）根据勾股定理求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）如图：
步骤：①作A关于 的对称点 ，
②连接 交 于点 ，
点 即为所求；
（2）过 作 交其延长线于 ，则四边形 为矩形，∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ （千米），
即小智走过的最短路程为1.7千米．
3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得： ；
故答案为：25；（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
， ，
由勾股定理得： ；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
由题意得： ，
，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
