专题19计数原理与二项式定理（3知识点+4重难点+7方法技巧+4易错易混）（原卷版）_02高考数学_2025年新高考资料_一轮复习_上好课2025年高考数学一轮复习知识清单3246850

专题 19 计数原理与二项式定理 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第 1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方 法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如 果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事 的方法数时，使用分步计数原理． 知识点2 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从 个不同元素中取出 个元素排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一 个排列．从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素 的排列数，用符号 表示．（2）排列数的公式： ． 特例：当 时， ；规定： ． （3）排列数的性质：① ；② ；③ ． 2、组合与组合数 （1）定义：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一 个组合．从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素 的组合数，用符号 表示． （2）组合数公式及其推导 求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ； 第二步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ； 根据分步计数原理，得到 ； 因此 ． 这里 ， ，且 ，这个公式叫做组合数公式．因为 ，所以组合数公式还可表 示为： ．特例： ． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是 按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式 常用于具体数字计算， 常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：① ；② ． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在 于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是 在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排 列”．知识点3 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理： ， （2）通项公式： ，表示展开式的第 项：， （3）二项式系数：系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ① (ab)n C n 0anC n 1an1b(1)rC n ranrbr(1)nC n nbn （nN* ） ② (1x)n 1C n 1xC n 2x2C n rxrxn 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； ②如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大． （3）系数的最大项 求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ， 设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ， 变形式 ． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ， 则 ， 从而得到： ． （3）若 ，则 ①常数项：令 ，得 ． ②各项系数和：令 ，得 ．重难点01 分组分配问题的解题思路 分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较 热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小 明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选 看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ） A．12 B．24 C．28 D．36 【典例2】（24-25高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最 佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他 们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种. 【典例3】（24-25高三上·重庆·开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛 于2024 年7月 日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了 接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教 师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（ ）种 A．108 B．114 C．150 D．240 【典例4】（24-25高三上·江西·月考）现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个 城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选 法种数为（ ） A．420 B．660 C．720 D．1200 重难点02 涂色问题的解法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种 数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分 类计数原理求出不同涂色方法种数. 【典例1】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成 五个部 分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不 同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【典例2】（23-24高三上·天津·月考）①一组数据 的第三四分位数为8； ②若随机变量 ，且 ，则 ； ③具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本的中心 ，则 ； ④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种 颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 （1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展 开分别求解． （2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. （3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【典例1】（23-24高三下·江西·模拟预测） 的展开式中 的系数为 ．【典例2】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测） 的展开式的常数项为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·广东广州·模拟预测）若 的展开式中， 项的 系数为−8，则 的最大值为 . 重难点04 二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A，A，…，A ，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 1 2 n＋1 【典例1】（23-24高三上·四川雅安·零模） 的展开式中，系数最小的项是（ ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【典例2】（23-24高三上·全江苏·期末）已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 一、求解排列应用问题的六种常用方法 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； 3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； 4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； 5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、间接法：正难则反、等价转化的方法 【典例1】（24-25高三上·福建泉州·月考）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起 出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【典例3】（24-25高三上·广东肇庆·月考）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包 的概率为 . 【典例4】（24-25高三上·江苏无锡·月考）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火 遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互 不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 二、组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作， 若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 【典例2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取 3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（ ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【典例3】（24-25高三上·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿， 如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这 颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 三、二项展开式中的特定项求解 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特 定项的关键点如下： （1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式T ＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项． r＋1 （2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． （3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 【典例1】（24-25高三上·江苏·模拟预测）二项式 中展开式中 项的系数为 【典例2】（23-24高三下·黑龙江大庆·三模）在 的展开式中，含 项的系数是 . 四、三项展开式中某些特定项的系数的求法 （1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．（2）两次利用二项式定理的通项公式求解． （3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要 得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 【典例1】（23-24高三下·湖南衡阳·一模） 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河南·三模） 的展开式中， 的系数为 ．（用数字作答） 五、二项式系数的和与各项的系数和问题 （1）系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和 题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． （2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n. 【典例1】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）（多选）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）若 ，则 . 六、二项式系数最大与最小 二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； （2）如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大．【典例1】（23-24高三下·湖北·模拟预测）若 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数 最大的项，则其展开式中 的系数为（ ） A．8 B．28 C．70 D．252 【典例2】（23-24高三下·浙江温州·三模）已知 ， 和 的展开式中二项式系数的最 大值分别为 和 ，则（ ） A． B． C． D． 的大小关系与 有关 七、有关整除或求余的问题 利用二项式定理解决整除问题时要进行合理的变形，使被除数展开后的每一项都有除数的因式，要注意变 形的技巧． 【典例1】（24-25高三上·河南焦作·开学考试） 被10除的余数为 . 【典例2】（23-24高三下·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则 天后是（ ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误 点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一 个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一 种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分 成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同 的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理. 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听 其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【典例2】（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的 卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．易错点2 数字排列中“0”的位置不明 点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。 【典例1】（23-24高三下·四川雅安·三模）从 五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个 数，则该数为偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·安徽·月考）从 中任意选1个数字，从 中任意选2个数字，得到没 有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为 . 易错点3 忽略二项式中的负号 点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b的系数为-1，展开求解释不要忽略。 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测） 展开式中含 项的系数为（ ） A．420 B． C．560 D． 【典例2】（23-24高三下·四川德阳·模拟预测） 的展开式中，常数项为（ ） A．60 B． C．120 D． 易错点4 混淆二项式系数与系数 点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是 ， 其值只与 有关，与 无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项； 但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性 具体讨论而定. 【典例1】（23-24高三上·重庆渝中·月考）（多选）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是 （ ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1【典例2】（23-24高三下·江西九江·三模）（多选）已知二项式 ，则（ ） A．展开式中 的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第5项 C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项