文档内容
午练答案精析
训练 1 集合与常用逻辑用语
1．C 2.B 3.A 4.B 5.AC 6.AD
7．充分不必要
8．[－1，＋∞)
解析 ∵B⊆A，
∴当B＝∅时，2m－1>m＋1，
解得m>2，符合题意；
当B≠ ∅时，
解得－1≤m≤2，
综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞)．
9．解 (1)当m＝6时，
A＝{x|－110，
即m∈(10，＋∞)．
10．解 (1)B＝{x|x2≤1}
＝{x|－1≤x≤1}，
当a＝－1时，
A＝{x|－30⇒<⇒<，故A不正确；
由a－b>0⇒a2>b2>0⇒ln a2>ln b2，故B正确；
因为a0，故B正确；
所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误；
不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等
式的解集为{x|x≠－1}，故D错误．]
7．(－2,4) 8.[－2，－1)
9．解 (1)由x2－4x－12≤0，
解得－2≤x≤6，
所以集合A＝{x|－2≤x≤6}
＝[－2,6]，
因为m>0，由x2－2x＋1－m2≤0，
解得1－m≤x≤1＋m，
所以集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}＝[1－m,1＋m]．
(2)选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则有AB，
于是得或解得m>5或m≥5，因此有m≥5，
所以实数m的取值范围是[5，＋∞)．
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，则有BA，
于是得或
解得00，即x2－x－6>0，
令x2－x－6＝0，解得x＝－2，x＝3,
1 2
所以不等式的解集为{x|x>3或x<－2}．
(2)当a＝0时，不等式为－x－2>0，解集为{x|x<－2}；
当a≠0时，
不等式为(x＋2)(ax－1)>0,
令(x＋2)(ax－1)＝0，
解得x＝－2，x＝，
1 2
当a>0时，不等式的解集为
.
当－0时，
不等式的解集为；
当－>，
可得－1，
即(3x)2－·3x－1>0，
解得3x>2或3x<－(舍去)，
∴不等式的解集为(log 2，＋∞)．
3
(2)由f(x)≤4得3x＋m·3－x≤4，
即3x＋≤4，
当x∈[－1,2]时，令3x＝t，t∈，原不等式等价于t＋≤4对∀t∈恒成立，
即m≤－t2＋4t对∀t∈恒成立，
令g(t)＝－t2＋4t，t∈，
∵g(t)在上单调递增，在[2,9]上单调递减，
∴g(t) ＝g(9)＝－45，
min
∴m≤－45，故m的取值范围是(－∞，－45]．
10．解 (1)因为f(x)是定义在[－4,4]上的奇函数，当x∈[－4,0]时，f(x)＝＋，
所以f(0)＝＋＝0，
解得a＝－1，
所以x∈[－4,0]时，f(x)＝－，
当x∈[0,4]时，－x∈[－4,0]，
所以f(－x)＝－＝4x－3x，
又f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝4x－3x，
f(x)＝3x－4x，
即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)＝3x－4x.
(2)因为当x∈[－2，－1]时，f(x)＝－，
所以f(x)≤－可化为－≤－，
整理得m≥＋＝x＋2·x，
令g(x)＝x＋2·x，根据指数函数单调性可得，y＝x与y＝x都是减函数，
所以g(x)也是减函数，
g(x) ＝g(－1)＝－1＋2·－1＝5，
min
所以m≥5，
故实数m的取值范围是[5，＋∞)．
训练 7 函数与方程
1．B 2.D 3.A 4.B 5.BD 6.ABD
7. 8.(0,16)
9．解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－10)的单调递减区间为(0，]，单调递增区间为[，＋∞)．
(2)f(x)＝
＝x＋1＋－6，x∈[0,2]，
设t＝x＋1，则y＝t＋－6，t∈[1,3]，
由已知性质得，当1≤t≤2，
即0≤x≤1时，f(x)单调递减，
当2≤t≤3，即1≤x≤2时，f(x)单调递增，
故f(x)的单调递减区间为[0,1]，单调递增区间为[1,2]，
由f(0)＝－1，f(1)＝－2，
f(2)＝－，得f(x)的值域为[－2，－1]．
10．解 (1)取x＝x＝1得到f(1)＋f(1)＝f(1)，得到f(1)＝0，
1 2
取x＝x＝－1得到f(－1)＋f(－1)＝f(1)＝0，得到f(－1)＝0，
1 2
取x＝－1得到f(x)＋f(－1)＝f(－x)，即f(x)＝f(－x)，故函数y＝f(x)为偶函数．
2 1 1 1 1
(2)设x>x>0，
2 1
则f(x)－f(x)＝f －f(x)＝f ＋f(x)－f(x)
2 1 1 1 1
＝f ，
>1，故f <0，即f(x)－f(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
2 1
因为函数f(x)为偶函数，故函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
f(x－3)≥0，故－1≤x－3≤1，
且x－3≠0，解得x∈[2,3)∪(3,4]．
(3)f(2x2－3x＋3)≤f(x2－2x＋2)＋f(a)＝f(ax2－2ax＋2a)，
根据(2)知，|2x2－3x＋3|≥|ax2－2ax＋2a|，因为2x2－3x＋3>0，x2－2x＋2>0恒成立，
故≥|a|，
因为＝2＋，
当x＝1时，＝2，
当x>1时，2＋>2，
当x<1时，
2＋＝2－≥2－＝，
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，又x≠0，
故2＋>.
综上所述，|a|≤，
解得－≤a≤，
又a≠0，故a∈∪.
训练 9 导数的概念与运算、导数与函数的单调性
1．C 2.B 3.C 4.C 5.BCD
6．ABD
7．(－∞，－e]
8．－sin 2x(答案不唯一)
9．解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝＋.
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.
(2)由于f′(x)＝.
当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，
有f′(x)>0在定义域上恒成立，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
当a<0时，由f′(x)＝0，
得x＝－∈(0，＋∞)．
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a<0时，
函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
10．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，
则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x) ＝h()＝2e，
min
则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，
故a的取值范围是[－，]．
训练 10 导数与函数的极值、最值
1．C 2.A 3.B 4.C 5.ABC
6．AB 7.－π 8.
9．(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝1－.
(2)证明 令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－
＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当00
当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，
当x＝1时，F(x)＝0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
10．解 (1)f′(x)＝2x－＝(x>0)，
故当a≤0时，f′(x)≥0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)>0，得x>，
所以函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，
令f′(x)<0，得00时，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减．
(2)设F(x)＝g(x)－f(x)
＝2ln x－x＋2－2ln 2，
则F′(x)＝－1，令F′(x)＝0，解得x＝2，
当x∈(0,2)时，F′(x)>0，
所以F(x)在(0,2)上单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(2，＋∞)上单调递减，
故F(x)的最大值为F(2)＝0，所以g(x)－f(x)有且只有一个零点．
训练 11 导数的综合问题
1．A 2.D 3.C 4.D 5.CD 6.ACD
7．(－∞，2] 8.e3
9．解 (1)当a＝2时，f(x)＝2ex－－1，
∴f′(x)＝2ex－，
∴f′(0)＝2－1＝1.
又f(0)＝2－1＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x，
即x－y＋1＝0.
(2)问题等价于关于x的方程
a＝有唯一的解时，求a的值．
令g(x)＝，
则g′(x)＝，
令h(x)＝1－2x－ex，
则h′(x)＝－2－ex<0，
∴h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
又h(0)＝0，
∴当x∈(－∞，0)时，h(x)>0，
即g′(x)>0，
∴g(x)在(－∞，0)上单调递增，
当x∈(0，＋∞)时，h(x)<0，
即g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(x)的极大值为g(0)＝1，
∴当x∈(－∞，0]时，g(x)∈(－∞，1]，
当x∈(0，＋∞)时，g(x)∈(0,1)，
又a>0，∴当方程a＝有唯一的解时，a＝1，
综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1.
10．解 (1)因为f′(x)＝－asin x＋bex，
所以解得(2)因为f(x)＝cos x－ex，x∈，
所以f′(x)＝－sin x－ex，设g(x)＝－sin x－ex，
g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)．
当x∈时，cos x≥0，ex>0，
所以g′(x)<0，
当x∈时，－1≤cos x≤1，ex>1，
所以g′(x)<0.
所以，当x∈时，g′(x)<0，
g(x)即f′(x)单调递减．
因为f′(0)＝－1<0，f′＝－ ，
因为 >e>2，所以 < ，
所以f′>0.
所以∃x∈，使得f′(x)＝－sin x－ ＝0，即 ＝－sin x.
0 0 0 0
所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
0
所以f(x) ＝f(x)＝cos x－ ＝cos x＋sin x＝sin.
max 0 0 0 0
因为x∈，所以x＋∈，
0 0
所以sin∈，所以f(x)∈(0,1)．
0
由题意知，c≥f(x)，所以整数c的最小值为1.
0
训练 12 同角三角函数关系式与诱导公式
1．B 2.C 3.B 4.A 5.AC
6．ABC [由题意，函数f(x)＝cos，可得f(x)的最小正周期为T＝＝2π，所以A正确；
当x＝时，
可得f ＝cos＝cos 3π＝－1，
所以x＝是函数f(x)的其中一条对称轴，所以B正确；
由f(x)＝cos，
可得f(x＋π)＝cos＝－cos，
令f(x＋π)＝0，即cos＝0，解得x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝，即x＝是函数f(x＋π)的一个零点，所以C正确；
由x∈，
可得x＋∈，
当x＋∈，
即x∈时，
函数f(x)单调递减；
当x＋∈，
即x∈时，函数f(x)单调递增，所以D不正确．]
7．－ 8.－
9．解 因为sin α＝>0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋
＝tan α＋
＝＋＝.
当α是第一象限角时，
cos α＝＝，
原式＝＝；
当α是第二象限角时，
cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
10．解 (1)由sin x＋cos x＝，
等式两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
所以(sin x－cos x)2
＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x<0，
又sin x＋cos x>0，
所以cos x>0，sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
(2)
＝
＝＝＝－.
训练 13 三角恒等变换
1．C 2.A 3.B 4.C 5.ACD
6．AD [对于A，f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
f ＝2sin＝2，其图象关于直线x＝对称，故A正确；
对于B，f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，
f ＝2sin＝0，其图象不关于直线x＝对称，故B错误；
对于C，
f(x)＝cos x－sin x＝2cos，
f ＝2cos＝0，其图象不关于直线x＝对称，故C错误；
对于D，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
f ＝2sin＝2，其图象关于直线x＝对称，故D正确．]
7．－ 8.
9．解 (1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，
所以cos α＝－＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－<α－β<.
又由sin(α－β)＝－，
得cos(α－β)＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
10．解 (1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
|a－b|＝
＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.
(2)因为0<α<，－<β<0，所以0<α－β<π，
因为cos(α－β)＝，
且sin β＝－，所以sin(α－β)＝，cos β＝，
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.
训练 14 三角函数的图象与性质
1．C 2.A 3.B 4.A 5.BC
6．AD [f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
选项A，由x∈知，2x∈，x＋∈，
又函数y＝sin x在上单调递增，
所以f(x)与g(x)均在上单调递增，故A正确；
选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，故B错误；
选项C，令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，
1 1 1
所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，
1
令x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，
2 2 2 2
所以g(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z，
2 2
所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，故C错误；
选项D，因为f(x) ＝，g(x) ＝，
max max
而当x＝时，f(x) ＝与g(x) ＝可同时成立，
max max
所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋，故D正确．]
7．2 8.
9．解 (1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，
∴f ＝sin＝sin＝1.
(2)g(x)＝f ＝sin＝sin，
当x∈时，
2x＋∈，
∴sin∈，
即－≤g(x)≤1，
又c0，
则cos B＝＝≠，故D错误．]
7．4 8.
9．解 (1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝，
由正弦定理可得
sin∠ABC＝＝＝.
(2)由三角形面积公式可得
＝＝4，
则S ＝S
△ACD △ABC
＝×＝.
10．解 (1)选①：因为2asin B＝btan A，
所以2sin Asin B＝sin B，
即cos A＝，
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
选②：因为b＝acos C＋csin A，
所以sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，
因为sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Csin A＝cos Asin C，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，
所以sin A＝cos A，即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
选③：因为a2＋c2－b2＝(2c2－2bc)cos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
所以(2c2－2bc)cos A＝2accos B，
即2ccos A－2bcos A＝2acos B，
所以2sin Ccos A＝2sin Acos B＋2sin Bcos A＝2sin(A＋B)＝2sin C，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)选①：由(1)得A＝，a＝2，
所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，
所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
所以S ＝bcsin A＝bc≤3，
△ABC
所以△ABC面积的最大值为3.
选②：由(1)得A＝，a＝2，
所以2bccos A＝b2＋c2－a2，
即bc＋12＝b2＋c2，
所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，
即(2－)bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
所以bc≤12(2＋)，
所以S ＝bcsin A
△ABC
＝bc≤3(2＋)＝6＋3 ，
所以△ABC面积的最大值为6＋3.
选③：由(1)得A＝，a＝2，
所以2bccos A＝b2＋c2－a2，
即bc＋12＝b2＋c2，
所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，
即(2－)bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，所以bc≤6(2＋)，
所以S ＝bcsin A
△ABC
＝bc≤×6(2＋)＝3＋3，
所以△ABC面积的最大值为3＋3.
训练 16 三角函数与解三角形的综合问题
1．B 2.D 3.A 4.D 5.BC
6．AD [在△ABC中，由正弦定理可将式子c－b＝2bcos A化为sin C－sin B＝2sin Bcos
A，
把sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B代入整理得，
sin(A－B)＝sin B，
解得A－B＝B或A－B＋B＝π，即A＝2B或A＝π(舍去)．所以A＝2B.故选项A正确；
因为△ABC为锐角三角形，A＝2B，所以C＝π－3B.由
解得B∈，故选项B错误；
＝＝＝2cos B，
因为B∈，
所以cos B∈，
2cos B∈，
即的取值范围是(，)．故选项C错误；
－＋2sin A＝＋2sin A＝＋2sin A.
因为B∈，
所以A＝2B∈，
sin A∈ .
令t＝sin A，t∈，
则f(t)＝2t＋.
由对勾函数的性质知，
函数f(t)＝2t＋在上单调递增．
又f ＝，f(1)＝3，
所以f(t)∈.
即－＋2sin A的取值范围为.故选项D正确．]
7．①④⇒②③(答案不唯一) 8.
9．解 (1)在锐角△ABC中，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)，
由正弦定理得sin A＝2sin B·sin Ccos C＋2sin C(sin A－sin B·cos C)＝2sin Asin C，而sin
A>0，
所以sin C＝.
(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，
sin∠ADC＝sin＝×(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝＝，
即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝，
所以CD＝，AC＝.
10．解 (1)因为tan α＝，所以sin α＝，cos α＝.
又∠BAE＝45°，∠DAE＝α，所以∠BAD＝45°－α.
连接AB，过点D作DT⊥AB，垂足为T，如图所示．
则AB＝2AT＝2ADcos(45°－α)＝2×60×(cos 45°cos α＋sin 45°sin α)＝120××＝180.在Rt△ABE中，因为∠BAE＝45°，
所以BE＝AB＝180，
即塔楼到地面的高度BE是180米．
(2)过P作PM⊥BE，垂足为M，过D作DG⊥AE，垂足为G，如图所示．
因为PF＝x，所以AF＝2x，
因为P在AD上，DG＝ADsin α＝60×＝60，所以x∈[0,60]．
所以tan∠BPM＝＝，
tan∠CPM＝＝.
所以tan θ＝tan(∠CPM－∠BPM)＝＝
＝，x∈[0,60]．
令t＝180－2x，则t∈[60,180]，
x＝.
所以tan θ＝＝
＝≤＝＝，
当且仅当t＝，即t＝84∈[60,180]时取等号．
此时，x＝＝90－42，因此，当x＝90－42时，视角θ最大，无人机拍摄到天线BC的图象最
清晰．
训练 17 平面向量线性运算、平面向量基本定理
1．B 2.D 3.B 4.A 5.BD
6．ABC [对于A，∵BD＝λBC，
∴AD－AB＝λAC－λAB，即AD＝(1－λ)AB＋λAC，∴当λ＝时，AD＝AC＋AB，故A正确；
对于B，由AB·BD＝AB·(λBC)＝4×5λ×cos＝－2可得λ＝，故B正确；
对于C，当λ＝1时，BD＝BC，D与C重合，△ABD的面积最大，故C正确；
对于D，当λ＝时，AD＝AB＋BD＝AB＋BC，
∴AD·BC＝·BC＝AB·BC＋BC·BC
＝4×5×＋×52＝15－10≠0，故D错误．]
7．2 8.
9．(1)证明 由已知得BD＝CD－CB＝(2e－e)－(e＋3e)＝e－4e，
1 2 1 2 1 2
∵AB＝2e－8e，
1 2
∴AB＝2BD.
又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)解 由(1)可知BD＝e－4e，
1 2
∵BF＝3e－ke，且B，D，F三点共线，
1 2
∴BF＝λBD(λ∈R)，即3e－ke＝λe－4λe，
1 2 1 2
即解得k＝12.
10．(1)解 由题意得
EF＝AF－AE＝AD－AB
＝－a＋b，
EG＝EB＋BG＝AB＋BC
＝a＋b.
(2)证明 由(1)得EF·EG＝·＝－a2＋b2＝－×2＋b2＝0，
所以EF⊥EG.
训练 18 平面向量的数量积
1．C 2.D 3.A 4.D 5.ACD
6．BC [由题意可得|EM|＝|NF|＝1.
对于A，可得PM＝PE＋EM＝PE＋EF＝PE＋(PF－PE)＝PE＋PF，故A错误；
对于B，由EM＝NF，可得PM－PE＝PF－PN，整理得PE＋PF＝PM＋PN，故B正确；
对 于 C ， 由 题 意 可 得 0°<∠MPN<∠EPF ＝ 90° ， EP⊥PF ， 则 PM·PN ＝ |PM||PN|
cos∠MPN>0，PE·PF＝0，∴PM·PN>PE·PF，故C正确；
对于D，PF－PE＝EF，PN－PM＝MN，但向量不能比较大小，故D错误．]7. 8. －2
9．解 (1)由已知得AB＝OB－OA＝(1,3)－(0,1)＝(1,2)，
AC＝OC－OA＝(k,4)－(0,1)＝(k,3)，
∵AB⊥AC，
∴AB·AC＝0，k＋6＝0，
∴k＝－6.
(2)∵k＝－6，
∴AC＝(－6,3)，
设向量AB＋AC与AC的夹角为θ，
∵AB＋AC＝(1,2)＋(－6,3)
＝(－5,5)，AC＝(－6,3)，
∴(AB＋AC)·AC＝(－5)×(－6)＋5×3＝45，
|AB＋AC|＝＝5，
|AC|＝＝3，
cos θ＝
＝＝＝.
10．证明 (1)如图，
因为OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，
所以OB·(OA－OC)＝0⇒OB·CA＝0，
同理OA·BC＝0，OC·AB＝0.
所以O为△ABC的垂心．
(2)因为四边形DOEC的对角互补，
所以∠AOB＝π－C，
所以OA·OB＝|OA||OB|cos(π－C)
＝－|OA||OB|cos C.
同理，OB·OC＝－|OB||OC|cos A，
OC·OA＝－|OC||OA|cos B，
所以|OA||OB|cos C＝|OB||OC|cos A
＝|OC||OA|cos B，所以
＝
＝，
∴|OA|∶|OB|∶|OC|＝cos A∶cos B∶cos C.
又S ＝|OB||OC|sin(π－A)＝|OB||OC|sin A，
A
S ＝|OA||OC|sin(π－B)＝|OA||OC|sin B，
B
S ＝|OB||OA|sin(π－C)＝|OB||OA|sin C，
C
∴S ∶S ∶S ＝∶∶＝∶∶＝tan A∶tan B∶tan C.
A B C
由奔驰定理得tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
训练 19 复 数
1．D 2.D 3.C 4.C 5.BC
6．ABD [因为eiθ＝cos θ＋isin θ，
所以 ＝cos ＋isin ＝i，故A正确；
＝cos ＋isin ＝＋i，
| |＝＝1，故B正确；
3＝2×＝×＝－1，故C错误；
＝
＝cos ，故D正确．]
7.
8．1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)
9．解 (1)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
∴
解得－20，∴a＝1.
1 1
当n≥2时，2a＝2(S－S )＝a＋a－a －a，
n n n－1 n n－1
∴(a－a)－(a＋a )＝0，
n n－1
∴(a＋a )(a－a )－(a＋a )＝0，
n n－1 n n－1 n n－1
∴(a＋a )(a－a －1)＝0，
n n－1 n n－1
∵a＋a >0，∴a－a ＝1，
n n－1 n n－1
∴{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，
n
∴a＝n(n∈N*)．
n
10．解 (1)由n2－5n＋4<0，
解得1－3.
方法二 ∵{a}是递增数列，
n
则a >a，
n＋1 n
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，
∴k>－2n－1，n∈N*恒成立，
∴k>(－2n－1) ＝－3，
max
∴k的取值范围为(－3，＋∞)．训练 21 等差数列与等比数列
1．C 2.C 3.D 4.D 5.ACD
6．ABD [因为＝＝＝3(n≥2)，
所以数列{a －a}为公比为3的等比数列，故A正确；
n＋1 n
因为(a －3a)－(a－3a )＝a －4a＋3a ＝0，即a －3a＝a－3a (n≥2)，
n＋1 n n n－1 n＋1 n n－1 n＋1 n n n－1
所以数列{a －3a}为常数列，即公差为0的等差数列，故B正确；
n＋1 n
由以上分析可得a －a＝1×3n－1，且a －3a＝－1，
n＋1 n n＋1 n
解得a＝，故C错误；
n
S＝a＋a＋…＋a
n 1 2 n
＝＋＋…＋
＝×(30＋31＋…＋3n－1)＋
＝×＋＝＋，故D正确．]
7．2n(符合kn(k>0)的形式即可)
8．9 3
9．(1)证明 ∵a＝a ＋1，n≥2，
n n－1
∴a－2＝(a －2)，
n n－1
∴b＝b ，n≥2，
n n－1
又b＝a－2＝－1，
1 1
∴{b}是首项为－1，公比为的等比数列．
n
(2)解 b＝a－2＝－1，
1 1
b＝(－1)×n－1，
n
∴a＝b＋2＝2－，n∈N*.
n n
10．解 (1)条件①，因为S ，S ，S 成等比数列，则S＝SS ，即(2a ＋d)2＝a(4a ＋6d)，因
1 2 4 1 4 1 1 1
为d≠0，可得d＝2a.
1
条件②，S＝5a＋10d＝50，
5 1
可得a＋2d＝10.
1
条件③，S＝3(a＋2)，可得6a＋15d＝3(a＋5d＋2)，可得a＝2.
6 6 1 1 1
若选①②，则有
可得
则a＝a＋(n－1)d＝4n－2；
n 1
若选①③，则d＝2a＝4，
1
则a＝a＋(n－1)d＝4n－2；
n 1
若选②③，则a＋2d＝2＋2d＝10，可得d＝4，
1所以a＝a＋(n－1)d＝4n－2.
n 1
(2)b－b ＝2a＝8n－4(n≥2)，且b－a＝1，则b＝3，
n n－1 n 1 1 1
所以当n≥2时，b＝b＋(b－b)＋(b－b)＋…＋(b－b )
n 1 2 1 3 2 n n－1
＝3＋12＋20＋…＋(8n－4)
＝3＋＝4n2－1，
b＝3也满足b＝4n2－1，故对任意的n∈N*，b＝4n2－1，
1 n n
则＝
＝，
所以
T＝
n
＝＝.
训练 22 数列中的综合问题
1．D 2.D 3.C 4.A 5.AD
6．BCD [记“提丢斯数列”为数列{a}，则当n≥3时，a＝＝，
n n
当n＝2时，a＝0.7，符合该式，
2
当n＝1时，a＝0.4不符合该式，
1
故a＝
n
故A错误；
a ＝，故B正确；
99
“提丢斯数列”的前31项和为＋×＋×30＝＋，故 C正确；令≤20，即2n－2≤，得n＝
2,3,4,5,6,7,8，又a<20，故不超过20的有8项，故D正确．]
1
7．1 8.5
9．解 (1)由题意，当n＝1时，S＋2＝a＋2＝2a，解得a＝2，
1 1 1 1
当n＝2时，S＋2＝2a，
2 2
即a＋a＋2＝2a，解得a＝4，
1 2 2 2
当n≥2时，由S＋2＝2a，
n n
可得S ＋2＝2a ，
n－1 n－1
两式相减，可得a＝2a－2a ，
n n n－1
整理，得a＝2a ，
n n－1
∴数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，
n
∴a＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
n(2)由(1)可得，a＝2n，a ＝2n＋1，
n n＋1
在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，
n n＋1 n
则有a －a＝(n＋1)d，
n＋1 n n
∴d＝＝，
n
∴＝，
∴T＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
n
T＝＋＋＋…＋＋，
n
两式相减，
可得T＝＋＋＋…＋－
n
＝1＋－
＝－，∴T＝3－.
n
10．解 (1)当n为奇数时，a－a ＝2(n≥3)，
n n－2
因此数列{a}的奇数项依次构成以a＝1为首项，2为公差的等差数列，
n 1
所以a＝1＋2＝n；
n
当n为偶数时，a＝3a (n≥3)，
n n－2
即＝3，
因此数列{a}的偶数项依次构成以a＝2为首项，3为公比的等比数列，所以a＝2· ；
n 2 n
故a＝
n
S ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )
2m－1 1 3 2m－1 2 4 2m－2
＝＋＝3m－1＋m2－1.
(2)由a a ＝a ，
m m＋1 m＋2
①若m＝2k(k∈N*)，
则a a ＝a ，
2k 2k＋1 2k＋2
所以2k＋1＝3，即k＝1，所以m＝2，
②若m＝2k－1(k∈N*)，
即a a ＝a ，
2k－1 2k 2k＋1
所以(2k－1)·2·3k－1＝2k＋1，
即2·3k－1＝1＋，
因为2·3k－1为正整数，
所以 为正整数，即2k－1＝1，即k＝1，
但此时2×30＝3不成立，
综上，m＝2.训练 23 空间图形的表面积、体积
1．C 2.A 3.A 4.A 5.AD
6．ACD [如图，在正六棱台ABCDEF－ABC DEF 中，
1 1 1 1 1 1
因为AB＝2 cm，AB＝6 cm，AA＝5 cm，
1 1 1
所以侧面的梯形ABBA 的高即正六棱台斜高为＝(cm)，
1 1
所以梯形ABBA 的面积为
1 1
S＝×(2＋6)×＝4 (cm2)，
故正六棱台的侧面积为
6S＝6×4＝24(cm2)，故B错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为
S＝6××2×2×sin 60°＝6(cm2)，故A正确；
1
同理下底面积为
S＝6××6×6×sin 60°＝54(cm2)，
2
所以该正六棱台的表面积是
6S＋S＋S＝(60＋24)cm2，故C正确；
1 2
正六棱台的高为OO ＝＝3(cm)，故D正确．]
1
7．100π 8.20 2
9．解 (1)过C作平行于平面ABC 的截面ABC，分别交AA，BB 于点A，B.
1 1 1 2 2 1 1 2 2
由直三棱柱性质及∠ABC ＝90°，可知BC⊥平面ABBA，
1 1 1 2 2 2
则该空间图形的体积
V＝＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.
(2)在△ABC中，
AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝2.
则S ＝×2×＝.
△ABC
10．(1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
所以BE⊥AC.
因为BD∩BE＝B，BD ⊂平面BED，BE ⊂平面BED，
所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，
所以在Rt△AEC中，
可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝x.
由已知得，V ＝×AC×GD×BE＝x3＝，
三棱锥E－ACD
故x＝2.
所以AB＝BD＝BC＝2，BE＝，
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3.
在△AED中，由余弦定理得，
cos∠AED＝＝，
所以sin∠AED＝.
即S ＝·AE·ED·sin∠AED＝，又△ECD的面积与△AED的面积相等．
△AED
故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.训练 24 空间位置关系
1．D 2.C 3.C 4.B 5.BC
6．ABC [对于A，在三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
BB∥CC ，CC ⊂平面 ACC A，BB⊄平面ACC A，所以BB∥平面 ACC A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又CC ∩C D＝C ，所以 C D 与 BB 是异面直线，故A正确；
1 1 1 1 1
对于B，因为AA 垂直于底面ABC，BD⊂平面ABC，所以AA⊥BD，
1 1
又因为△ABC为正三角形，且D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又AC∩AA＝A，AC，AA⊂平面ACC A，
1 1 1 1
所以BD⊥平面ACC A，
1 1
又AC ⊂平面ACC A，所以BD⊥AC ，故B正确；
1 1 1 1 1 1
对于C，因为 BD⊥平面 ACC A ，BD⊂平面BDC ，所以平面BDC ⊥平面 ACC A ，故C
1 1 1 1 1 1
正确；
对于D，因为 AB∩平面 BDC ＝B，所以AB与平面BDC 不平行，
1 1
又 AB∥AB，所以AB 与平面BDC 不平行，故D错误．]
1 1 1 1 1
7．2 8.
9．(1)证明 如图，连接BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，
∴BM∥CD.
又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD.
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD.
又MN⊄平面PCD，
PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
(2)解 在(1)中已证BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BM⊂平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.
又AD＝6，∠BAD＝60°，
∴BM＝3.
在△PAD中，
∵PA＝PD，PA⊥PD，
∴PA＝PD＝AD＝3.
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴S ＝S
△PMN △PAD
＝××(3)2＝，
∴V ＝V ＝S ·BM＝××3＝.
P－BMN B－PMN △PMN
∴三棱锥P－BMN的体积为.
10．(1)证明 因为△ABD是等边三角形，AE＝ED，
所以AD⊥BE，
因为平面BFE⊥平面ABD，且交线为BE，AD⊂平面ABD，
所以AD⊥平面BEF，
因为BF⊂平面BEF，
所以AD⊥BF.
(2)解 因为∠BDC＝30°，∠BCD＝90°，BD＝2，
所以CD＝，
cos∠CAD＝＝，
在Rt△AEF中，
cos∠CAD＝＝，
又AE＝1，所以AF＝，CF＝，
所以＝，
所以点F到平面ABE的距离为点C到平面ABE的距离的，
所以V ＝×V ＝V ，
F－ABE C－ABD A－BCD
所以V ＝V
BCDEF A－BCD＝×S ×AO
△BCD
＝××＝.
训练 25 空间向量及其应用
1．C 2.A 3.A 4.B 5.BCD
6．ACD [如图，
对于A，根据正方体的性质可知，
MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，
所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD ＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的
1
圆，故A正确；
对于 B，在 Rt△MDN 中，DN＝＝＝2，取 MD 的中点 E，因为 P 为 MN 的中点，所以
PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD 垂直的
1
平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；
对于C，因为BB⊥平面ABCD，所以BB⊥NB，所以点N到直线BB 的距离为NB，所以点
1 1 1
N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以
B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D(0,0,4)，设N(x，y，0)，
1
则AB＝(0,4,0)，
D1N＝(x，y，－4)，
因为DN与AB所成的角为，
1
所以|cos〈AB，D1N〉|＝cos，
所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．]
7．－3 8.
9．解 (1)连接OC，因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB，
由题意知AO⊥平面ABC，
1
又AA＝2，OA＝AB＝1，
1
所以AO＝，∠AAO＝60°，
1 1
以点O为原点，OA，OC，OA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角
1
坐标系，
则A(0,0，)，A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0，，0)，
1
由AB＝A1B1得B(－2,0，)，
1
同理得C (－1，，)，
1
设BD＝tBB1，t∈[0,1]，
得D(－1－t，0，t)，
又AC1＝(－2，，)，
A1D＝(－1－t，0，t－)，
由AC1·A1D＝0，
得－2(－1－t)＋(t－)＝0，
得t＝，
又BB＝2，∴BD＝，
1
所以存在点D且BD＝满足条件．
(2)设平面BCC B 的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
BC＝(1，，0)，CC1＝(－1,0，)，
则有
可取n＝(，－1,1)，
又BA1＝(1,0，)，
所以点A 到平面BCC B 的距离为
1 1 1
＝＝，
所以所求距离为.
10．(1)证明 因为平面 CDD C ⊥平面 ABCD，且平面 CDD C ∩平面 ABCD＝DC，
1 1 1 1
AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CDD C ，
1 1又DD⊂平面CDD C ，
1 1 1
所以AD⊥DD，则∠DDC是二面角D－AD－C的平面角，故∠DDC＝120°.
1 1 1 1
连接DE(图略)，因为E为棱C D 的中点，
1 1
则DE⊥C D，
1 1
又C D∥CD，从而DE⊥CD.
1 1
又AD⊥CD，DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面AED，
所以CD⊥平面AED，
又AE⊂平面AED，因此CD⊥AE.
(2)解 方法一 如图，连接DE，连接AC交BD于点O，连接CE交DF于点G，连接OG.
设AB＝2，
则DE＝＝，
所以CE＝AE＝＝.
因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AEC，平面AEC∩平面BDF＝OG，
所以AE∥OG，因为O为AC的中点，
所以G为CE的中点，
故OG＝AE＝.
且直线OG与DF所成的角等于直线AE与DF所成的角．
在Rt△EDC中，DG＝CE＝，
因为OD＝，
所以cos∠OGD＝＝.
因此直线AE与DF所成角的余弦值为.
方法二 如图，连接DE，CE，取DC中点为G，连接EG交DF于点H，则EG＝DD ＝2.
1
连接AG交BD于点I，连接HI，
设AB＝2，则DE＝＝，
所以CE＝AE＝＝.
因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AGE，平面AGE∩平面BDF＝IH，
所以AE∥IH.HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角．
在正方形ABCD中，GI＝AG，DI＝DB＝，
所以GH＝EG，
故HI＝AE＝.
在△DHG中，GH＝EG＝，GD＝1，∠EGD＝60°，
由余弦定理得DH＝＝.
在△DHI中，
cos∠DHI＝＝.
因此直线AE与DF所成角的余弦值为.
方法三 连接DE，由(1)知DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DE为x轴、y轴、
z轴正方向，|DA|为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
由(1)知DE＝，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0，)，C (0,1，)．
1
则CC ＝(0，－1，)，DC＝(0,2,0)，
1
AE＝(－2,0，)，DB＝(2,2,0)．
设CF＝tCC1＝(0，－t，t)(0≤t≤1)，
则DF＝DC＋CF＝(0,2－t，t)．
因为AE∥平面BDF，所以存在唯一的λ，μ∈R，
使得AE＝λDB＋μDF＝λ(2,2,0)＋μ(0,2－t，t)＝(2λ，2λ＋2μ－μt，μt)＝(－2,0，)，
故2λ＝－2,2λ＋2μ－μt＝0，μt＝，
解得t＝，从而DF＝.
所以直线AE与DF所成角的余弦值为
|cos〈AE，DF〉|＝＝＝.
训练 26 立体几何中的综合问题
1．A 2.B 3.B 4.A 5.ACD
6．ACD [对于A，∵∠ABC＝90°，∠AD′C＝90°，
∴AC中点即为四面体D′－ABC的外接球的球心，AC为球的直径，
∴外接球半径R＝，
∴四面体D′－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝4π()2＝8π，故选项A正确；对于B，当平面AD′C⊥平面ABC时，四面体D′－ABC的体积最大，此时高为，
∴(V ) ＝××2×2×＝，故选项B错误；
D′－ABC max
对于C，设正方形ABCD的对角线AC与BD交于O，
由题意知，翻折后当BD′的最小值为时，△OD′B为边长为的等边三角形，
此时∠D′OB＝，所以点D的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆心角为的圆弧，
所以点D的运动轨迹的长度为×＝，故选项C正确；
对于D，结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，
底面圆为以O为圆心OD＝为半径的圆锥的侧面积的，
即所求曲面的面积为πrl＝π××2＝，故选项D正确．]
7．AC ⊥BC (或∠AC B＝90°，答案不唯一)
1 1 1 1 1 1 1
8. 14π
9．(1)证明 如图，连接AC，
∵在等腰梯形ABCD中，2AB＝2BC＝CD，E为CD的中点，
∴四边形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，
折叠后，FE＝DE，∵FE＝EC＝BC，FB＝BC，
∴FE＝FB，
设AC∩BE＝O，则O是BE的中点，连接FO，则BE⊥FO，
又FO∩AC＝O，∴BE⊥平面AFC.
(2)解 取AE的中点M，连接FM，BM，易得△ADE为等边三角形，
则△AEF为等边三角形，
∴FM⊥AE，
∵∠ABC＝120°，则△ABE为等边三角形，
∴BM⊥AE，
设AB＝1，则FM＝BM＝，则BF＝BC＝，
满足FM2＋BM2＝BF2，
∴FM⊥BM，
∴以M为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则F，A，B，E，
设G(x，y，z)，
∵FG＝λAB，
即＝λ，
则可得G，
则BG＝，
BE＝，
BF＝，
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1
则
令y＝，则x＝－3，z＝，
1 1 1
即n＝，
设直线BG与平面BEF所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，BG〉|＝＝，
解得λ＝－1(舍去)或λ＝.
∴当λ＝时，直线BG与平面BEF所成角的正弦值为.
10．(1)证明 因为四边形ABCD为正方形，
所以AB⊥AD，
又PD⊥AB，AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥AB，
又AD⊥AB，所以∠PAD为二面角P－AB－C的平面角，即∠PAD＝30°，
又平面PAD∥平面QBC，AB∥CD，
所以CD⊥平面QBC，
因为QC⊂平面QBC，所以QC⊥CD，
又CB⊥CD，所以∠QCB为二面角Q－CD－A的平面角，
即∠QCB＝30°，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P，Q，
所以PC＝，
AQ＝，
即PC＝AQ，所以PC∥AQ，
因为PC⊄平面QAB，AQ⊂平面QAB，
所以PC∥平面QAB，
又AB∥CD，CD⊄平面QAB，AB⊂平面QAB，
所以CD∥平面QAB，
因为PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
所以平面PCD∥平面QAB.
(2)解 由点S在AP上，设点S(0,3m，m)，其中0或k<－.
假设存在点Q，使得OQ＝OA＋OB.
因为A，B在圆上，
且OQ＝OA＋OB，
同时|OA|＝|OB|，
由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分，
所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝OQ＝1.
即＝1，
解得k2＝8，则k＝±2，经验证满足条件．
所以存在点Q，使得OQ＝OA＋OB，此时直线l的斜率为±2.
训练 29 椭 圆
1．C 2.D 3.A 4.C 5.ABC
6．BCD [由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C外，
则＋>1，解得b<，
所以椭圆C的离心率e＝＝>，
即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；
当e＝时，c＝，
b＝＝1，
所以QF 的取值范围是
1
[a－c，a＋c]，
即[2－，2＋]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，
F(－c，0)，F(c，0)，
1 2
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得QF1·QF2＝0，故C正确；
(QF＋QF)＝2＋＋≥2＋2＝4，
1 2当且仅当QF＝QF＝2时，等号成立，
1 2
又QF＋QF＝4，
1 2
所以＋≥1，故D正确．]
7.＋＝1(答案不唯一)
8．x＝±
9．解 (1)依题意知
∴a＝10，c＝6.∴b＝8.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)∵∠FPF＝60°，
1 2
∴FF＝PF＋PF－2PF·PF·cos 60°，
1 1 2
即PF＋PF－PF·PF＝144.
1 2
∴(PF＋PF)2－3PF·PF＝144.
1 2 1 2
又PF＋PF＝20，
1 2
∴PF·PF＝.
1 2
∴ ＝PF·PF·sin 60°
1 2
＝××＝.
10．解 (1)由椭圆的定义可得2a＝AF＋AF＝＋＝4，解得a＝2.
1 2
又b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0)．
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则P′(x，－y)．
1 1
由消去x可得
(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，
∵Δ＝16(m2－12)>0，
∴m2>12，
∴y＋y＝－，yy＝，
1 2 1 2
∵k ＝＝，
P′Q
∴ 直线P′Q的方程为y＋y＝(x－x)．
1 1
令y＝0，可得x＝＋4＝＋4＝1，
∴D(1,0)，
∴S ＝|S －S |
△DPQ △BDQ △BDP
＝BD|y－y|
1 2＝
＝，
令t＝，t∈(0，＋∞)，
则S ＝＝≤，
△DPQ
当且仅当t＝4，即m＝±2时等号成立，
∴△DPQ面积的最大值为.
训练 30 双曲线与抛物线
1．C 2.B 3.A 4.D 5.ABD
6．ABD [对于A选项，当m＝－3时，曲线C：－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
渐近线方程为y＝±x，故渐近线的倾斜角分别为，，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，
故A选项正确；
对于B选项，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所
以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B选项正确；
对于C选项，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2
＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，)，则cos∠FMF ＝＝＝－<0，故∠FMF 为
1 2 1 2
钝角，所以曲线C上存在点P，使得∠FPF＝，故C选项错误；
1 2
对于D选项，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2
＝6，P为C上一个动点，则△PFF 面积的最大值为×2×＝3，故D选项正确．]
1 2
7. 8.6
9．解 (1)由题意可得解得所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
因为弦PQ的中点坐标为A(8,3)，所以x＋x＝16，y＋y＝6，
1 2 1 2
将点P(x，y)，Q(x，y)代入双曲线－＝1可得
1 1 2 2
两式相减可得＝，
即＝，
所以＝，
所以直线l的斜率为k＝＝＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－8)，即3x－2y－18＝0.
10．(1)证明 由题意设直线AB的方程为y＝kx＋4，
联立
得x2－8kx－32＝0，
因为Δ＝(－8k)2－4×(－32)>0，所以设A(x，y)，B(x，y)，则xx＝－32，
1 1 2 2 1 2
设直线PA，PB 的斜率分别为k，k，
1 2
对y＝求导得y′＝，所以k＝，k＝，
1 2
所以kk＝·＝＝＝－2(定值)．
1 2
(2)解 由(1)可得直线PA的方程为y－＝(x－x)，①
1
直线PB的方程为y－＝(x－x)，②
2
联立①②，得点P的坐标为，
由(1)得x＋x＝8k，xx＝－32，
1 2 1 2
所以P(4k，－4)．
于是AB＝8，
点P到直线AB的距离d＝，
所以S ＝16(k2＋2)，
△PAB
当k2＝0，即k＝0时，△PAB的面积取得最小值32.
训练 31 圆锥曲线的综合问题
1．C 2.A 3.A 4.D 5.AC
6．BCD [对于A，在△PAA 中，根据三角形两边之差小于第三边，
1 2
得|PA－PA|0)，
设P(x，y)(y≠0)，
0 0 0
则x－y＝a2，则x－a2＝y，
故 ＝·＝＝1，故C正确；对于D，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
且∠APA＝3∠PAA，
1 2 1 2
设∠PAA＝θ，∠APA＝3θ，
1 2 1 2
则∠PAx＝4θ，
2
根据C的结论 ＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故θ＋4θ＝，θ＝，故D正确．]
7．2 8.
9．(1)解 由双曲线C的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线C的方程为x2－y2＝λ，
由题意可得λ＝()2－12＝2，因此，双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 设点E(x，y)，F(x，y)且x>x>0，
1 1 2 2 1 2
tan∠EAF＝tan(∠EAB－∠FAB)
＝＝
＝，
由已知可得x－y＝2，
则(x－)(x＋)＝y，
1 1
则＝，
同理可得＝，
tan∠EBF＝tan(∠xBF－∠xBE)＝＝
＝
＝
＝tan∠EAF，
易知∠EAF，∠EBF∈(0，π)，故∠EAF＝∠EBF.
10．(1)解 ∵e＝，AB＝，
∴a2＝4c2，a2＋b2＝7，
又a2＝b2＋c2，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①证明 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，
由消去y得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
又A(－2,0)，
由题知k ·k ＝·＝－，
AP AQ
则(x＋2)(x＋2)＋4yy＝0，且x，x≠－2，
1 2 1 2 1 2
则x·x ＋2(x ＋x)＋4＋4(kx ＋m)(kx ＋m)＝(1＋4k2)xx ＋(2＋4km)(x ＋x)＋4m2＋4＝＋(2＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4km)·＋4m2＋4＝0，
则m2－km－2k2＝0，
∴(m－2k)(m＋k)＝0，
∴m＝2k或m＝－k.
当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1)．
此时直线PQ过定点(1,0)．
当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)，
P，Q的坐标分别为，.
满足k ·k ＝－.
AP AQ
综上，直线PQ过定点(1,0)．
②解 不妨设直线PQ过定点(1,0)为F.则△APQ的面积S＝×AF×|y－y|＝|y－y|，
1 2 1 2
设直线PQ的方程为x＝my＋1，联立椭圆的方程＋＝1，消去x得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y＋y＝－，
1 2
yy＝－，
1 2
∴S＝|y－y|
1 2
＝
＝
＝18.
令t＝m2＋1(t≥1)，
则S＝18
＝18，
∵t≥1，∴9t＋＋6≥16(当且仅当t＝1即m＝0时取等号)，
∴S≤，
即△APQ面积的最大值为.训练 32 统 计
1．C 2.C 3.B 4.D 5.AD
6．BCD [对于A选项，7月份的零售总额比6月份的少，A选项错误；
对于B选项，由表格中数据可知，2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大，B选
项正确；
对于C选项，由表格中数据可知，2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大，C选
项正确；
对于D选项，第4季度的月消费品零售总额在(38 000，41 000)内，而第2季度的月消费品
零售总额在(28 000，34 000)内，前者数据更集中，方差更小，D选项正确．]
7．35 27 8.10
9．解 (1)由样本的频率直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是
(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75
＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
10．解 (1)由频率直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，
解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为 20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋
50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2列联表为
电子阅读 纸质阅读 合计
中青年 90 20 110
中老年 60 30 90
合计 150 50 200提出假设H：阅读方式与年龄无关．
0
由表中数据，得χ2＝≈6.061，
因为当H 成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，
0
所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．
训练 33 计数原理
1．D 2.C 3.C 4.A 5.ABC
6．ABD [A项，如图1所示，
从延平门到安化门，最近的路线是从图1中点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以
共有C＝15(条)，故A正确；
B项，甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因为两人的
选择互不影响，所以两人进城共有9种不同的情况，两人从相同城门进城有3种情况，所以
两人从同一城门进城的概率为，故B正确；
C项，如图2所示，
用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同，则有A
＝24(种)染色方法，若1与4颜色相同，则有A＝24(种)染色方法，若2与3颜色相同，则有
A＝24(种)染色方法，若1与4颜色相同且2与3颜色相同，则有A＝12(种)染色方法，综上，
共有84种染色方法，故C错误；
D项，若将街道看成直线，则在矩形ABCD区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任
取两条，即可围出一个矩形，所以共有CC＝150(个)不同的矩形，故D正确．]
7．－8 8.240
9．解 (1)把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有AA＝720(种)．
(2)A在正中间，所以A的排法只有1种．
因为B，C，D互不相邻，
所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧．
若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有 CACA＝108(种)，
若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有 CACA＝
108(种)．
故所求的不同排法有
108＋108＝216(种)．
10．解 (1)由题意可得2n－1＋120＝22n－1，故(2n－16)(2n＋15)＝0，故2n＝16，解得n＝4.
(1＋x)2n＝(1＋x)8，展开式中二项式系数最大的项为T＝Cx4＝70x4.
5
(2)n＝4，
其展开式的第r＋1项为
T ＝C()4－rr＝Cx2－r，
r＋1
令2－r＝0，得r＝2.
∴常数项p＝C＝6，
令x＝1，可得展开式中所有项系数的和为q＝24＝16，
∴p＋q＝22.
训练 34 随机事件的概率与古典概型
1．B 2.A 3.D 4.D 5.BCD
6．ABD [对于A，甲同学仅随机选一个选项，有A，B，C，D四种情况，能得2分的有C
或D，有2种，所以能得2分的概率是＝，故选项A正确；
对于B，乙同学仅随机选两个选项，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的
情况为CD，只有1种情况，所以能得5分的概率是，故选项B正确；
对于C，丙同学随机至少选择一个选项，
选一个选项，有A，B，C，D共4种情况；
选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；
选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，
所以共有4＋6＋4＝14(种)情况，
能得分的有C，D，CD共3种情况，所以能得分的概率是，故选项C错误；
对于D，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有 AB，AC，AD，BC，BD，CD共6
种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，所以共有6＋4＝10(种)情况，能得分
的有CD共1种情况，所以能得分的概率是，故选项D正确．]
7. 8.
9．解 (1)由题意得10×a＋(0.020＋0.030＋0.025＋0.020)×10＝1，解得a＝0.005.设该组数据的中位数是x，
则10×(0.005＋0.020)＋(x－70)×0.030＝0.5，
经计算，得x≈78.33，故该组数据的中位数约为78.33.
(2)第1组人数为100×10×0.005＝5，则男生3人，女生2人．
将男生记为a，b，c，女生记为A，B.从这5人中随机抽取2人的情况有(a，b)，(a，c)，
(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种；
被抽到的2人均为男生的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种．
故被抽到的2人均为男生的概率P＝.
10．解 (1)由直方图知，人均月收入在[9,11)的住户共有50×0.06×2＝6(户)，其中有3户
赞成，3户不赞成．
设事件A为“所抽取的两户中至少有一户赞成楼市限购令”，则由古典概型概率计算公式
可知P(A)＝＝.
(2)依题意可得，2×2列联表如下：
非高收入户 高收入户 合计
赞成 25 10 35
不赞成 5 10 15
合计 30 20 50
提出假设H：“收入的高低”与“赞成楼市限购令”无关．
0
根据2×2列联表中的数据可得，
χ2＝＝
≈6.349<6.635，
所以没有99%的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．
训练 35 随机变量及其概率分布
1．D 2.C 3.B 4.C 5.ACD
6．AC [选项A,5次都没投中的概率为5＝.所以游戏者闯关成功的概率为1－＝，故A正确．
选项B，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的情况有：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种．
共有CC＋CC＋CC＋C＝1 155(种)情况．而CC＝1 820，
所以其中至少有一名女生的概率为≠，故B不正确．
选项C，由P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，
则a＝1，解得a＝，所以P(X＝2)＝×＝，故C正确．
选项D，由随机变量η～N(2，σ2)，
则P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，
所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正确．]
7．0.4 8.1.47%
9．解 若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
10 ． 解 (1) ＝ 45×0.008×10 ＋ 55×0.02×10 ＋ 65×0.032×10 ＋ 75×0.02×10 ＋
85×0.012×10＋95×0.008×10＝68.2.
(2)成绩在[80,100]的人数为×10×50＝10.
(3)∵P(μ－2σ0.683，
P(μ－2σ
