文档内容
南京市2023届高三年级学情调研
数学 2022.09
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．设集合 ， ，则A∩B= （ ）
A={x|x2+x−6<0} B={x|x+1>0}
A.(—3，—1) B. (—1，2) C.(2，＋∞) D.(—3，＋∞)
[答案]B
[解析]A=(−3,2),B=(−1,+∞),所以A∩B=(−1,2)，故选B
2. 已知复数z=(2+ⅈ)ⅈ，其中ⅈ为叙述单位，则zz的值为 （ ）
A. √3 B. √5 C. 3 D. 5
[答案]D
3. 已知随机变量 ，则 的值约为 （ ）
X~N(4,22) P(80,(φ)<π)
连续三次到达同一位置的时间分别为t ，t ，t (0b>0) F ,F
a2 b2 1 2
且PF ⊥F F ，若AB//PF ，则椭圆的离心率为（ ）
2 1 2 1
√5 1 √3 √2
A. B. C. D.
5 2 3 2
[答案] A
[解析] ( b2 )，所以 b2 b，则 ，所以 √5，故选A。
P c, K= = b=2c ⅈ=
a 2ac a 5
7. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周
上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为 （ ）
25 25 5
A. π B. π C. π D. 5π
16 4 2
[答案] B
[解析] 设外接球半径为R，地面圆心为Q，外接球球心为O，则 ，所以
OA2=OQ2+1,r2=1+(2−r) 2
5 25π
r= ,s=4πr2= ；故选B。
4 4
8. 已知函数 ，任意 ，满足 ，且 ，则
f (x) x,y∈R f (x+ y)f (x−y)=f2(x)−f2(y) f (1)=2,f (2)=0
f (1)+f (2)+⋯+f (90)的值为 （ ）A. −2 B. 0 C. 2 D. 4
[答案] C
[解析]
令 ，则 ，令 ，则 ，所以
y=2 f (x+2)f (x−2)=f2(x)−f2(2)=f2(x) x=2,y=1 f (3)f (1)=f2(2)−f2
(1)
1
f (3)=−2。 令 x= y= ， 则 f (1)f (0)=0， 所 以 f (0)=0,f (2n)=0， 所 以 原 式 =
2
f (1)+f (3)+f (s−)+⋯+f (89)=2；故选C。
二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.
9. 已知l,m是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列选项中，l⊥m的充分条件有（ ）
A. α⊥β, l⊥α，m//β， B. α//β, l//α，m⊥β
C. α⊥β, l⊥α，m⊥β D. α⊥β, l//α，m//β
[答案] BC
[解析]
A：错误；
B：m是β的一个法向量，而α//β，所以m是α的一个法向量，又因为l//α，所以l⊥m，B正确；
C：l是α的一个法向量，m是β的一个法向量，又因为α⊥β，所以l⊥m；C正确；
D：错误；
故选BC。
10. 已知a>b>0，则 （ ）
1 1 1 1
A. > B. a− >b−
b a b a
C. D.
a3−b3>2(a2b−ab2) √a+1−√b+1>√a−√b
[答案] AC
[解析]
A：正确；
1 1 1 1
B: a− >b− ⇒a+ >b+ 无法判断；所以B错误；
b a a b
C： ，所以得到 ，所以C正
a3−b3>2(a2b−ab2)⇒(a−b)(a2+ab+b2)>2ab(a−b) a2+b2−ab>0
确；
1 1
D. √a+1−√b+1>√a−√b⇒√a+1−√a>√b+1−√b，所以 > ，所以D错
√a+1+√a √b+1+√b误；
故选AC。
11. 已知直线l:x+1=0，点P(1,0)，圆心为M的动圆经过点P，且与直线l相切，则 （ ）
A. 点M的轨迹为抛物线
B. 圆M面积最小值为4π
C. 当圆M被y轴截得的弦长为2√5时，圆M的半径为3；
M0 2√3
D. 存在点M，使得 = ，其中O为坐标原点
MP 3
[答案] ACD
[解析]
A：由题意可知，M到点P与直线l的距离相等，且点P不在直线l上，所以A正确；
B：当M为原点时，圆M的面积最小值为π，所以B错误；
C：M的轨迹方程为 ，弦长= ，所以 ，C正确；
y2=4x 2√r2−x2=2√γ2−(r−1) 2=2√2r−1=2√5 r=3
D： M02 = x + 2 y 2 = x2+4x = 4，所以 x2−4x+4=0 ，所以x=2; 所以D正确；
M p2 (x+1) 2 (x+1) 2 3
故选ACD。
12. 已知函数 ，则 （ ）
f (x)=3x−2x,x∈R
A. 在 上单调递增 B. 存在 ，使得函数 f (x)为奇函数
f (x) (0,+∞) a∈R y=
ax
C. 函数g(x)=f (x)+x有且仅有2个零点 D. 任意x∈R，f (x)>−1
[答案] ABD
[解析]
A： f (x)=2x [ (3) x −1 ]，所以A正确；
2
B：令 ，则 (√6) x ( 2 ) x ，显然为奇函数，B正确
a=√6 y= −
2 √6
C：x=0时，g(x)=0，x>0时，g(x)>0，x<0时，g(x)<0，所以g(x)只有1个零点，C错误；
D： 时， ； 时， ； 时， ；D正确；
x>0 f (x)>0 x=0 f (x)=0 x<0 f (x)>−2x>−1
故选ABD
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. (
1−
1 )
(1+x)
6的展开式中
x3
的系数为__________
x2
[答案] 14
[解析]
T=C3−C5=14
6 6
y2
14. 双曲线x2− =1右焦点为F，点P, Q在双曲线上，且关于原点对称. 若PF⊥QF, 则△PQF的面积为
4
______________.
[答案] 4
[解析]
易知： ， ， ， ，所以 ，所
F=(√5,0) pQ=2OF=2√5 |PF−QF|=2 PF2+QF2=PQ2=20 pF⋅QF=8
1
以S= PF⋅QF=4
2
15. 如图是构造无理数的一种方法: 线段OA =1; 第一步，以线段OA 为直角边作直角三角形OA A ，其中
1 1 1 2
A A =1; 第二步，以OA 为直角边作直角三角形OA A ，其中A A =1; 第三步，以OA 为直角边作直角三
1 2 2 2 3 2 3 3
角形OA A ， 其中A A =1; ...，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如OA , OA , ... 则
3 4 3 4 2 3
____________.
⃗OA ⋅⃗OA =
2 4
√6
[答案] 2−
3
[解析]
√6 √3 √3 1
易知：cos∠A OA = ，sin∠A OA = ，cos∠A OA = ，sin∠A OA = ，所以
2 3 3 2 3 3 3 4 2 3 4 2
√2 √3 √6
cos∠A OA = − ，所以⃗OA ⋅⃗OA =2−
2 4 2 6 2 4 3
16. 若 函 数 f (x)=2x−sinx−a在 (−π,π)上 存 在 唯 一 的 零 点 x ， 函 数
1且 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 为
g(x)=x2+cosx−ax+a在(−π,π)上存在唯一的零点x ， x 0 f (x) f (−π)<00 g(−π)=π2−1+a(π+1)≤0 g(π)=π2−1+a(π−1)>0 a≤1−π
aϵ(−2π,1+π]
四、解答题:本大题共6小题，共70分.请在答题-卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明，证明
过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
在平面四边形 ABCD 中，∠ABD=45°，AB=6，AD=3√2，对角线 AC 与 BD 交于点 E，且 AE=EC,
DE=2BE.
(1)求BD的长;
(2)求cos∠ADC的值.
3
[答案] 3√2；−
5
[解析]
（1）△ABD中，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcos∠ABD，解得BD=3√2；
（2）可知：BD2+AD2=AB2，所以∠ADB=90°；又DE=2BE，所以DE=2√2
△AED中，AE2=AD2+DE2=26，所以AE=√26
ED 2 2 3
所以cos∠AED= = ，所以cos∠DEC=− ，所以sin∠DEC= ；
AE √13 √13 √13
3
△CED中，由余弦定理可得CD=5√2，再由正弦定理得：sin∠EDC=
5
3
所以cos∠ADC=−sin∠DEC=−
5
18. (本小题满分12分)
已知数列 中， ，且数列 为等差数列，n∈N*.
{a } a =6,a =12,a =20 {a −a }
n 1 2 3 n+1 n(1) 求数列 的通项公式;
{a }
n
(2) 设数列{1 }的前n项和为 ，证明: 1
S S <
a n n 2
n
[答案] n2+3n+2；见解析
[解析]
(1) ，所以 时， ，
a −a =6，a −a =8 n≥2 a −a =6+2(n−2)=2n+2
2 1 3 2 n n−1
所以
a =a +(a −a )+⋯+(aarctan2)+(a −a )=n2+3n+2=(n+2)(n+1)
n 1 2 1 n n−1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2） = − ，所以S = − + − +⋯+ − = − <
a n+1 n+2 n 2 3 3 4 n→1 n+2 2 n+2 2
n
19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD, M为PC中点.
(1)求证: PA//平面MBD;
(2)若AB=AD=PA=2， ∠BAD=120°，求二面角B -AM- D的正弦值.
2√6
[答案] 见解析；
7
[解析]
（1）连接BD交AC于点O，连接OM，可知O为AC中点，M为PC中点，所以OM//PA，所以PA//平
面MBD
（2）建立如图坐标系
所以： ，
B(√3,0,0),C(0,1,0),D(−√3,0,0) A(0,−1,0),M(0,0,1)
所以 ， ， ， ，则面MBA的法向量
⃗BA=(−√3,−1,0) ⃗BM=(−√3,0,1) ⃗DA=(√3,−1,0) ⃗DM=(√3,0,1)，面MDA的法向量 ，
⃗m=(1,−√3,√3) ⃗n=(1,√3,−√3)
5 2√6
所以cos⟨⃗m,⃗n⟩=− ，所以sin⟨⃗m,⃗n⟩=
7 7
20. (本小题满分12分)
某高校男、女学生人数基本相当,为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试
的男、女各50名学生的成绩，情况如下表:
合格 不合格
男生 35 15
女生 45 5
(1)是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关?
(2)从这50名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望;
(3)将抽取的这100 名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率。若学生首
次考试不合格，则经过一段时间的努力， 第二次参加考试合格的概率会增加0.1. 现从该校学生中任意抽
取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率.
附： n(aⅈ−bc) 2
k2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
7
[答案] 没有把握； ；0.9604
5
21. (本小题满分12分)
已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A, B两点. 当l经过点F
时，点A恰好为线段PF中点.
(1)求p的值;
(2)是否存在定点T, 使得⃗TA⋅⃗TB为常数? 若存在，求出点T的坐标及该常数; 若不存在，说明理由.
[答案] ；
√2 T(√2,4), 18
[解析]（1） (P ) ，所以 (P )，因为A在抛物线上，所以可以解得
F ,0 ,P(0,2) A ,1 P=√2
2 4
（2）设 ，可知直线l斜率存在；设l： ，
T(m,n) y=kx+2 A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
联 立 方 程 得 ： {y2=2√2x， 所 以 ， 所 以
k2x2+(4k−2√2)x+4=0
y=kx+2
−4k+2√2 4
x +x = ,x,x = ，
1 2 k2 2 k2
又 ：
[4m+2√2(2−n)]+4−2√2m
⃗TA⋅⃗TB=(x −m)(x −m)+(y −n)(y −n)=(k2+1)x,x +[k(2−n)−m](x,+x )+m2+(2−n) 2= +4+4(n−2)+m2+(2−n) 2
1 2 1 2 2 2 kz
令 ，解之得： ，即 ，此时
4m+2√2(2−n)=0,4−2√2m=0 m=√2,n=4 T(√2,4) ⃗TA⋅⃗TB=18
22. ( 本小题满分12 分)
已知函数
f (x)=ⅈax−x(a∈R)
(1)若a>0，求函数f (x)的单调区间;
1
(2)若任意x≥0，f (x)≥1+ ax2, 求a的取值范围.
2
[答案] 单调递减区间( lna)，单调递增区间( lna )；
−∞,− − ,+∞ a∈[1,+∞)
a a
[解析]
lna
（1）f'(x)=aⅈax−1，令f'(x)=0，x=−
a
当 lna， ， lna， ，所以单调递减区间( lna)，单调递增区间
x<− f'(x)<0 x>− f'(x)>0 −∞,−
a a a
( lna )
− ,+∞
a
（2）当 时， ，则 ，所以不合题意；
a=0 f (x)=ⅈax−x=1−x≥1 x≤0当 a<0 时， x∈ ( 0,− 2)， f (x)=ⅈax−x<1+ 1 ax2 ，所以不合题意；
a 2
当 a>0 时， f (x)≥1+ 1 ax2⇔ⅈx− 1 x≥1+ 1 x2⇔ⅈx−1− 1( x+ 1 x2) ≥0
2 a 2a a 2
令
g(x)=ⅈx−1−
1(
x+
1 x2)，则
g' =ⅈx−
1
(1+x)
，
g'' =ⅈx−
1
a 2 (x) a (x) a
1
当a≥1时，x≥0时，g''(x)>0，g' 在(0,+∞)上单调递增；所以g'(x)≥g' =1− ≥0，所以
(x) (0) a
所以
g(x)在(0,+∞)上单调递增； g(x)≥g =0
(0)
当 时 ， ， 则 , 所 以 在 上 单 调 递 减 ，
0
