北京西城区2023年高三上学期期末数学试题及答案_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考

北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2023.1 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知全集U {2,1,0,1,2,3}，集合A{xZ|x2 ≤2}，则(cid:2) A U （A）{1,0,1} （B）{2,2,3} （C）{2,1,2} （D）{2,0,3} （2）设复数z3i，则复数iz在复平面内对应的点的坐标是 （A）(1,3) （B）(1,3) （C）(3,1) （D）(3,1) （3）已知函数 f(x)lg|x|，则 f(x) （A）是奇函数，且在(0,)上是增函数 （B）是奇函数，且在(0,)上是减函数 （C）是偶函数，且在(0,)上是增函数 （D）是偶函数，且在(0,)上是减函数 （4）已知双曲线C:3x2 y2 3，则C的焦点到其渐近线的距离为 （A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1页（共6页）（5）设 x,yR，且0x y1，则 （A）x2  y2 （B）tanxtany 1 （C）4x 2y （D）x  y(2y) x 1 （6）在△ABC中，若c4，ba1，cosC ，则△ABC的面积是 4 3 （A）1 （B） 4 3 15 （C） 15 （D） 4 （7）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于 200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指 10t290, 0≤t≤12, 数y随时间t变化的趋势由函数y 描述，则该天适宜开展 56 t 24, 12t≤24 户外活动的时长至多为 （A）5小时 （B）6小时 （C）7小时 （D）8小时 （8）设 , 均为锐角，则“ 2 ”是“sin( )sin ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）在△ABC 中，AC BC 1, C 90(cid:2)．P为AB边上的动点， 则  P  B  P  C  的取值 范围是 1 1 （A）[ ,1] （B）[ ,1] 4 8 1 1 （C）[ , 2] （D）[ , 2] 4 8 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2页（共6页）（10）如图，正方形ABCD和正方形CDEF 所在的平面互相垂直． 是正方形ABCD及 1 其内部的点构成的集合， 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合．设AB1， 2 给出下列三个结论： ① M ,N ，使MN 2； 1 2 ② M ,N ，使EM BN ； 1 2 ③ M ,N ，使EM 与BN 所成的角为60(cid:2)． 1 2 其中所有正确结论的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学 第3页（共6页）第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 1 （11）(x3  )4的展开式中常数项为_______．（用数字作答） x （12）已知抛物线y2 4x的焦点为F ，准线为l．则以点F 为圆心，且与直线l相切的圆 的方程是_______． （13）已知{a }是等差数列，a 5，且a 2, a 4, a 6成等比数列，则a _______； n 1 2 3 4 6 {a }的前n项和S ________． n n  xa, x≤1, （14）设函数 f(x) 若a2，则 f(x)的单调递增区间是_______；若 a(x2)2 1,x1. f(x)的值域为(,)，则a的取值范围是________． （15）人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有 Kx 学者提出了“Logistic model”： f(t) 0 r (t≥0) ，其中K,r ,x 均为  0t 0 0 x (x K)e K 0 0 正常数，且K  x ，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论： 0 ① f(0)x ； 0 ② f(t)在[0,)上是增函数； ③ t[0,)， f(t)K ． 其中所有正确结论的序号是_______． 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学 第4页（共6页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） x x 已知函数 f(x)2sinx(cos2 sin2 ) 3cos2x． 2 2 （Ⅰ）求 f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若x(0,π)，且 f(x)1，求x的取值范围． （17）（本小题14分） 如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD，四边形ADEF为平行四边形． （Ⅰ）求证：CE//平面ABF ； （Ⅱ）若AB平面ADEF，AF  AD，AF  ADCD1， AB2，求： （ⅰ）直线AB与平面BCF所成角的正弦值； （ⅱ）点D到平面BCF的距离． （18）（本小题13分） 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5 月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 （Ⅰ）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月 该车型月度零售销量平均值的概率； （Ⅱ）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上 个月份增加的月份个数记为X ，求X 的分布列和数学期望EX ； （Ⅲ）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为s2，同期各月轿车与 1 对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为s2，写出s2与s2的大小 2 1 2 关系．（结论不要求证明） 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学 第5页（共6页）（19）（本小题15分） y2 x2 2 如图，已知椭圆E:  1 (ab0)的一个焦点为F(0,1)，离心率为 ． a2 b2 1 2 （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点F 作斜率为k的直线交椭圆E于两点A, B，AB的中点为M．设O为原点，射线 1 OM 交椭圆E于点C．当△ABC与△ABO的面积相等时，求k的值． （20）（本小题15分） 已知函数 f(x)alnxxex e，其中aR ． （Ⅰ）当a0时，求曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，判断 f(x)的零点个数，并加以证明； （Ⅲ）当a0时，证明：存在实数m，使 f(x)≥m恒成立． （21）（本小题15分） 已知A :a ,a ,(cid:2),a (n≥4)为有穷数列．若对任意的i{0,1,(cid:2),n1}，都有|a a |≤1 n 1 2 n i1 i （规定a a ），则称A 具有性质P． 0 n n 设T {(i, j)||a a |≤1, 2≤ ji≤n2(i, j1,2,(cid:2),n)}． n i j （Ⅰ）判断数列A :1,0.1,1.2,0.5，A :1,2,2.5,1.5,2是否具有性质P？若具有性质P，写 4 5 出对应的集合T ； n （Ⅱ）若A 具有性质P，证明：T ； 4 4 （Ⅲ）给定正整数n，对所有具有性质P的数列A ，求T 中元素个数的最小值． n n 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学 第6页（共6页）北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 2023.1 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）A （ 3 ）C （ 4 ）B （ 5 ）D （ 6 ）D （ 7 ）C （ 8 ）C （ 9 ）B （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）4 （12）(x1)2 y2 4 （13）5 n2 6n （14）(1,2] (0,2] （15）① ②③（选① ②③得5分；只选出其中1个得2分；只选出其中2个得3分） 注：（13）（14）题第一空3分，第二空2分；其中（14）题第一空答(1,2)也正确。 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） x x 解：（Ⅰ） f(x)2sinx(cos2 sin2 ) 3cos2x 2 2 2sinxcosx 3cos2x ………2分 sin2x 3cos2x ………4分 π 2sin(2x )． ………6分 3 所以 f(x)的最小正周期为π． ………7分 π π 5π （Ⅱ）因为0xπ ，所以 2x  ． ………8分 3 3 3 π 1 因为 f(x)1，所以sin(2x ) ． ………9分 3 2 π π 7π 所以 2x  ． ………11分 6 3 6 π 3π π 3π 解得 x ，所以x的取值范围是( , )． ………13分 12 4 12 4 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第1页（共6页）（17）（共14分） 解：（Ⅰ）如图，在射线AB上取点P，使APDC． ………1分 由题设，得AP//DC，所以四边形APCD为平行四边形． 所以PC//AD且PC  AD． ………2分 又四边形ADEF为平行四边形， 所以AD//EF 且ADEF． 所以PC//EF且PC EF ． ………3分 所以四边形PCEF为平行四边形， 所以PF//CE． ………4分 因为CE 平面ABF，PF 平面ABF， 所以CE//平面ABF． ………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为AB平面ADEF，所以AB AD, AB AF ． 又ADAF，所以AB, AD, AF两两相互垂直． ………6分 如图建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)．    所以BC (1,1,0)，BF (2,0,1)， AB (2,0,0)． ………7分   m  B  C  0, x y0, 设平面BCF的法向量为m(x,y,z)，则 即   m  B  F  0, 2xz0. 令x1，则y1，z2．于是m(1,1,2)． ………9分 设直线AB与平面BCF所成角为，则   |m AB| 6 sin|cosm,AB|  ． ………11分  6 |m|| AB| 6 所以直线AB与平面BCF所成角的正弦值为 ． 6 （ⅱ）因为AB//CD， 6 所以直线CD与平面BCF所成角的正弦值为 ． ………12分 6 6 所以点D到平面BCF的距离为d CDsin ． ………14分 6 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第2页（共6页）（18）（共13分） 解：（Ⅰ）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为 1 x (0.80.20.20.30.40.4)0.38． 6 故MPV月度零售销量超过x的月份为12月，4月，5月． ………2分 所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过x的 3 概率为 0.5． ………4分 6 （Ⅱ）从2022年1月至2022年5月， SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有 2个：3月和5月． 所以X 的所有可能取值为0,1,2． ………5分 C3 1 C1C2 3 C2C1 3 P(X 0) 3  ，P(X 1) 2 3  ，P(X 2) 2 3  ．……8分 C3 10 C3 5 C3 10 5 5 5 所以X 的分布列为 X 0 1 2 1 3 3 P 10 5 10 1 3 6 6 故X 的数学期望EX 0 1 2  ． ………10分 10 5 10 5 （Ⅲ）s2 s2． ………13分 1 2 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第3页（共6页）（19）（共15分） c1,   c 2 解：（Ⅰ）由题设，  , ………3分 a 2  a2 b2 c2. 解得a 2,b1． ………4分 y2 所以椭圆E的方程为 x2 1． ………5分 2 （Ⅱ）直线AB的方程为ykx1． ykx1, 由 得(k2 2)x2 2kx10． ………7分 2x2  y2 2 设A(x,y ), B(x ,y )， 1 1 2 2 2k 4 则x x  ，y  y k(x x )2 ． ………9分 1 2 k2 2 1 2 1 2 k2 2 因为△ABC与△ABO的面积相等，所以点C和点O到直线AB的距离相等． 所以M为线段OC 的中点，即四边形OACB为平行四边形． ………11分 设C(x ,y )，则OCOAOB． ………12分 0 0 2k 4 所以x x x  ，y  y  y  ． 0 1 2 k2 2 0 1 2 k2 2 将上述两式代入2x2 y2 2， 0 0 8k2 16 得  2． ………14分 (k2 2)2 (k2 2)2 解得k  2． ………15分 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第4页（共6页）（20）（共15分） 解：（Ⅰ）当a0时， f(x)xex e， 所以 f(x)(1x)ex． ………2分 所以 f(1)0， f(1)2e． 所以曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y2ex2e． ………4分 （Ⅱ） f(x)有且只有一个零点，证明如下： ………5分 a f(x)的定义域为(0, )，且 f(x)(1x)ex  ． ………6分 x a 因为a0，所以 f(x)(1x)ex  0． x 所以函数 f(x)在(0, )上单调递增． ………8分 因为 f(1)0， 所以 f(x)有且只有一个零点x1． ………9分 a x(1x)ex a （Ⅲ）当a0时， f(x)(1x)ex   ． x x 设g(x)x(1x)ex a，则g(x)(x2 3x1)ex 0． 所以函数g(x)在(0, )上单调递增． ………10分 因为g(0)a0，g(a)a[1(1a)ea]0， 所以存在x (0, a)，使得g(x )0． ………12分 0 0 f(x)与 f(x)在区间(0, )上的情况如下： x (0,x ) x (x ,) 0 0 0 f(x)  0  f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以x(0,)， f(x)≥ f(x )． ………14分 0 取m≤ f(x )，则对于任意的x(0,)，都有 f(x)≥m成立． ………15分 0 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第5页（共6页）（21）（共15分） 解：（Ⅰ）数列A 不具有性质P，数列A 具有性质P． ………2分 4 5 T {(1,4),(2,4),(2,5),(3,5)}． ………4分 5 （Ⅱ）“T ”等价于“证明(1,3)与(2,4)两元素中至少有一个在T 中”． 4 4 假设(1,3)与(2,4)两元素都不在T 中， 4 则有|a a |1，且|a a |1． ………5分 3 1 4 2 不妨设a ≤a ． 1 2 若a a ，则由a a (a a )(a a)，得1≤a a 1， 2 3 3 1 3 2 2 1 3 1 这与|a a |1矛盾． 从而有a ≤a ． ………7分 3 1 2 3 同理a ≤a ，从而有a ≤a ≤a ≤a ． 3 4 1 2 3 4 所以|a a ||a a |(a a )(a a)≥a a 1． 0 1 4 1 4 2 2 1 4 2 这与A 具有性质P矛盾． 4 所以假设不成立，即T ． ………9分 4 （Ⅲ）设a min{a,a , ,a }(2≤k≤n1)，规定k 1时，a a ；k n时，a a ． k 1 2 n k1 n k+1 1 则a ,a [a ,a 1]，所以|a a |≤1． k1 k1 k k k1 k1 考虑数列B :a ,a ,a 和C :a ,a , ,a ,a , ,a ， 3 k1 k k1 n1 1 2 k1 k1 n 由题设知，他们均具有性质P． ………11分 设T 中元素个数的最小值为d ，所以d ≥d 1． n n n n1 所以d ≥d 1≥d 2≥ ≥d n4． n n1 n2 4 由（Ⅱ）知 d ≥1，从而d ≥n3． ………13分 4 n 3 当n2m1时，令a i(i1,2, ,m)，a m i (i1,2, ,m1)； i mi 2 1 当n2m时，令a i(i1,2, ,m)，a m i (i1,2, ,m)， i mi 2 此时均有d n3． n 所以T 中元素个数的最小值为n3． ………15分 n 北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第6页（共6页）