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高三数学 参考答案 第 1 页（共 8 页）
北京市朝阳区2022 2023 学年度第一学期期末质量检测
高三数学 参考答案
2023.1
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共40 分）
（1）B
（2）A
（3）C
（4）D
（5）D
（6）A
（7）B
（8）C
（9）C
（10）B
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分）
（ 11 ）24
（12）5
n
−
10
（13）3
4
（14）
1
4
y = −
4
（15）②③④
三、解答题（共6 小题，共85 分）
（16）（本小题13 分）
解：（Ⅰ）因为sin
3 cos
c
B
b
C
=
，
所以sin
sin
3sin
cos
C
B
B
C
=
．
又因为
(0,π)
B
，所以sin
0
B
．
所以tan
3
C =
．
又因为
(0, )
C
，
所以
π
3
C
=
．
（Ⅱ）因为
6
a
b
+
=
，
π
3
C
=
，
由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
，得
2
2
π
(
)
2
2
cos
36
3
3
c
a
b
ab
ab
ab
=
+
−
−
=
−
．
因为
2
(
)
9
2
a
b
ab
+
=
≤
，当且仅当
3
a
b
=
=
时等号成立，
所以
2
9
c ≥
，解得
3
c ≥
．
所以c 的最小值为3．
高三数学 参考答案 第 2 页（共 8 页）
（17）（本小题13 分）
解：（Ⅰ）设事件
1A 为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．
根据题中数据，高三（1）班共训练10 次，跳绳个数超过120 个的共5 次．
所以
1
(
)
P A 估计为5
1
10
2
=
．
（Ⅱ）设事件
kA 为“高三（k ）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，
1,2,3,4
k =
．
根据题中数据，
2
(
)
P A
估计为2
1
4
2
=
，
3
(
)
P A
估计为2
1
4
2
=
，
4
(
)
P A
估计为4
2
6
3
=
．
根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0 ,1, 2 , 3, 4 ，且
1
2
3
4
1
2
3
4
(
0)
(
)
(
) (
) (
) (
)
P X
P A A A A
P A P A P A P A
=
=
=
；
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
(
1)
(
)
(
)
(
)
(
)
P X
P A A A A
P A A A A
P A A A A
P A A A A
=
=
+
+
+
1
2
3
4
1
2
3
4
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
P A P A P A P A
P A P A P A P A
=
+
1
2
3
4
1
2
3
4
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
P A P A P A P A
P A P A P A P A
+
+
；
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
(
3)
(
)
(
)
(
)
(
)
P X
P A A A A
P A A A A
P A A A A
P A A A A
=
=
+
+
+
1
2
3
4
1
2
3
4
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
P A P A P A P A
P A P A P A P A
=
+
1
2
3
4
1
2
3
4
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
P A P A P A P A
P A P A P A P A
+
+
；
1
2
3
4
1
2
3
4
(
4)
(
)
(
) (
) (
) (
)
P X
P A A A A
P A P A P A P A
=
=
=
；
(
2)
1
(
0)
(
1)
(
3)
(
4)
P X
P X
P X
P X
P X
=
= −
=
−
=
−
=
−
=
．
所以，
(
0)
P X =
估计为1
24 ；
(
1)
P X =
估计为5
24 ；
(
3)
P X =
估计为7
24 ；
(
4)
P X =
估计为1
12 ；
(
2)
P X =
估计为3
8 ．
所以EX 估计为
1
5
3
7
1
5
18
21
8
13
0
1
2
3
4
24
24
8
24
12
24
6
+
+
+
+
+
+
+
=
=
．
（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大．
高三数学 参考答案 第 3 页（共 8 页）
（18）（本小题14 分）
解：（Ⅰ）取PA 的中点K ,连接KF , KB .
因为K , F 分别是PA , PD的中点,
所以
//
KF AD 且
1
2
KF
AD
=
.
又
//
BE AD 且
1
2
BE
AD
=
，
所以
//
KF BE 且KF
BE
=
.
故四边形BEFK 为平行四边形.
所以
//
EF BK .
又因为EF 平面PAB ，BK 平面PAB ，
所以
//
EF
平面PAB .
（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OP ,OE .
在
PAD
△
中，因为PA
PD
=
，所以PO
AD
⊥
.
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
且平面PAD
平面ABCD
AD
=
，
所以PO ⊥平面ABCD .
故OP
OA
⊥
,OP
OE
⊥
.
又在正方形ABCD 中，OE
OA
⊥
,
所以OA , OE ,OP 两两垂直.
如图建立空间直角坐标O
xyz
−
，
设
(0,0,2 )(
0)
P
t
t
，
则
(0,0,0)
O
,
(2,4,0)
B
,
( 2,0,0)
D −
,
(0,4,0)
E
,
( 1,0, )
F
t
−
.
所以
(2,0,0)
EB =
，
( 1, 4, )
EF
t
= −−
，
(2,0,2 )
DP
t
=
.
设平面BEF 的法向量为
0
0
0
(
,
,
)
x
y
z
=
n
，则
0,
0,
EB
EF
=
=
n
n
即
0
0
0
0
2
0,
4
0.
x
x
y
tz
=
−
−
+
=
令
0y
t
= ，则
0
0
x =
,
0
4
z =
．于是
(0, ,4)
t
=
n
．
又因为平面ABE 的一个法向量为
(0,0,1)
=
m
，
高三数学 参考答案 第 4 页（共 8 页）
所以
2
4
cos
,
|
||
|
16
t
=
=
+
m n
m n
m
n
．
选择条件①：PD
EF
⊥
．
则
0
EF DP
=
，即
2
2
2
0
t
−+
=
．
又
0
t
，所以
1
t = ．
此时
4 17
cos
,
17
=
m n
．
由题知二面角F
BE
A
−
−
为锐角，所以其余弦值为4 17
17
．
选择条件②：
2
3
PD
EF
=
．
则
2
2
2
2
2
3 2
2
2
1
4
t
t
+
=
−
+ −
+
（）
（
）（
）
，得
2
1
t = ．
此时
4 17
cos
,
17
=
m n
．
由题知二面角F
BE
A
−
−
为锐角，所以其余弦值为4 17
17
．
（19）（本小题15 分）
解：（Ⅰ）因为
AOP
△
面积的最大值为1
2 ab ，所以1
1
2 ab = ．
又因为
2
a =
，
2
2
2
c
a
b
=
−
，所以
1
b = ，
3
c =
．
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，离心率为
3
2 ．
（Ⅱ）① 当直线PH 的斜率不存在时，直线PH 的方程为
1
x = −．显然
APQ
△
∽
AEF
△
．
因为|
|
3
PQ =
，所以
2
2 3
|
|
|
|
2
3
3
EF
PQ
=
=
．不合题意．
②当直线PH 的斜率存在时，设直线PH 的方程为
(
1)
y
k x
=
+
．
由
2
2
(
1),
4
4
y
k x
x
y
=
+
+
=
得
2
2
2
2
(1
4
)
8
(4
4)
0
k
x
k x
k
+
+
+
−
=
．
显然
0
．
高三数学 参考答案 第 5 页（共 8 页）
设
1
1
(
,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，且
1
2
x ，则
2
1
2
2
8
1
4
k
x
x
k
+
= −+
，
2
1
2
2
4
4
1
4
k
x x
k
−
=
+
．
直线AP 的方程为
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
=
−
−
．
令
0
x =
，得点E 的纵坐标
1
1
2
2
E
y
y
x
−
=
−
，则
1
1
2
(0,
)
2
y
E
x
−
−
．
直线AQ 的方程为
2
2
(
2)
2
y
y
x
x
=
−
−
．
同理可得
2
2
2
(0,
)
2
y
F
x
−
−
．
所以
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
(
2)
(
2)
|
| |
| 2|
|
2
2
(
2)(
2)
y
y
y
x
y x
EF
x
x
x
x
−
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
2
1
1
2
1
2
(
1)(
2)
(
1)(
2)
2 |
|
(
2)(
2)
k x
x
k x
x
x
x
+
−
−
+
−
=
−
−
1
2
1
2
1
2
6 |
| |
| 2
2(
)
4
x
x
k
x x
x
x
−
=
=
−
+
+
．
所以
1
2
1
2
1
2
3|
| |
| |
2(
)
4 |
k
x
x
x x
x
x
−
=
−
+
+
．
即
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
(
)
4
2(
)
4
k
x
x
x x
x x
x
x
+
−
=
−
+
+
．
可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
4
4
4
4
8
3|
|
(
)
4
|
2
4|
1
4
1
4
1
4
1
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
．
化简得
2
2
2
2
4 3
1
36
3|
|
1
4
1
4
k
k
k
k
k
+
=
+
+
． 解得
6
6
k =
．
所以直线PH 的方程为
6
1
0
x
y
−
+ =
或
6
1
0
x
y
+
+ =
．
（20）（本小题15 分）
解：（Ⅰ）
( )
f x 的定义域为(0,
)
+．
由
ln
( )
x
f x
ax
=
得
2
1
ln
( )
x
f
x
ax
−
=
．
令
( )
0
f
x
=
得
e
x = ．
因为
0
a
，所以当
(0,e)
x
时，
( )
0
f
x
；当
(e,
)
x
+时，
( )
0
f
x
．
所以
( )
f x 的单调递增区间为(0,e) ，单调递减区间为(e,
)
+．
高三数学 参考答案 第 6 页（共 8 页）
（Ⅱ）由
0
a
，依题意，
2
ln
0
x
ax
x
−
+
≤在
(0,
)
x
+上恒成立．
设
2
( )
ln
g x
x
ax
x
=
−
+
，
则
2
1
2
1
( )
2
1
ax
x
g x
ax
x
x
−
+
+
=
−
+ =
．
令
( )
0
g x
=
，得
1
1
1
8
0
4
a
x
a
−
+
=
（舍），
2
1
1
8
0
4
a
x
a
+
+
=
．
当
2
(0,
)
x
x
时，
( )
0
g x
，所以( )
g x 在
2
(0,
)
x
上单调递增；
当
2
(
,
)
x
x
+时，
( )
0
g x
，所以( )
g x 在
2
(
,
)
x +上单调递减．
故
2
max
2
2
2
2
( )
(
)
ln
g x
g x
x
ax
x
=
=
−
+
．
又由
2
(
)
0
g x
=
得
2
2
2
1
2
x
ax
+
=
．
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
ln
ln
2
2
x
x
g x
x
x
x
+
−
=
−
+
=
+
．
依题意需
max
( )
0
g x
≤，即
2
2
1
ln
0
2
x
x
−
+
≤．
设
1
( )
ln
2
t
h t
t
−
=
+
，则易知( )
h t 在(0,
)
+为增函数．
又(1)
0
h
=
，
所以对任意的
(0,1]
t
，有( )
0
h t ≤；对任意的
(1,
)
t
+，有( )
0
h t
．
所以
2
0
1
x
≤，即
1
1
8
0
1
4
a
a
+
+
≤，解得
1
a ≥．
所以a 的取值范围为[1,
)
+．
（Ⅲ）由
2
1
1
2
1
2
ln
ln
0 (
)
x
x
x
x
x
x
+
=
得
1
2
1
2
ln
ln
0
x
x
x
x
+
=
，且
1
1
x ,
2
1
x ．
由（Ⅱ）知，当
1
a = 时，ln
1
x
x
x
−
≤
，当且仅当
1
x = 时取等号．
所以
1
1
1
ln
1
x
x
x
−，
2
2
2
ln
1
x
x
x
−．
两式相加得
1
2
2
1
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
+
+
−
，即
1
2
2
0
x
x
+
−
．
故
1
2
2
x
x
+
．
高三数学 参考答案 第 7 页（共 8 页）
（21）（本小题15 分）
解：（Ⅰ）
5
5
a =
，
6
6
a =
，
7
7
a =
，
8
8
a =
．
（Ⅱ）对任意
4
n
，存在
{1, 2,
,
1}
i
n −
，使得
n
i
n i
a
a
a −
=
+
．
若
4
i
或
4
n
i
−
，
则
ia 或
n i
a −又可以写成数列中某两项的和，如
1
2
1
2
(
)
i
i
i
a
a
a
i
i
i
=
+
+
=
．
依此类推，存在
1
2
,
,
,
{1, 2, 3, 4}
k
j
j
j
，使得
1
2
k
n
j
j
j
a
a
a
a
=
+
+
+
，
其中
1
2
k
j
j
j
n
+
+
+
=
．
所以存在
1
2
3
4
,
,
,
p
p
p
p N ，使得
1 1
2
2
3
3
4
4
na
p a
p a
p a
p a
=
+
+
+
，
且
1
2
3
4
2
3
4
p
p
p
p
n
+
+
+
=
．
设
4
4
a
t
= ，则当
4
n ≤
时，
na
nt
≤
．
当
4
n
时，
1 1
2
2
3
3
4
4
1
2
3
4
2
3
4
na
p a
p a
p a
p a
p t
p
t
p
t
p
t
=
+
+
+
+
+
+
≤
1
2
3
4
(
2
3
4
)
p
p
p
p
t
nt
=
+
+
+
=
．
所以，对任意n
N ，均有
na
nt
≤
，即
4
4
na
a
n
≤
．
（Ⅲ）令
n
n
b
nt
a
=
−
，其中
4
4
a
t =
．由（Ⅱ）知
0
nb ≥
，
4
0
b =
.
由
4(
1)
4
4(
1)
4
[
4(
1)]
[(
4 )
]
i
k
i
k
i
k
i
k
b
b
i
k
t
a
i
k t
a
+
+
+
+
+
+
−
=
+
+
−
−
+
−
4(
1)
4
4
4
4(
1)
4
(
)
0
i
k
i
k
i
k
i
k
t
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
=
−
+
=
+
−
≤，
得
4
4(
1)
i
k
i
k
b
b
+
+
+
≥
．
所以，当
1, 2, 3, 4
i =
时，
4
8
0
i
i
i
b
b
b
+
+
≥
≥
≥
≥
.
由（Ⅱ）知
1
2
3
4
1 1
2
2
3
3
4
4
(
2
3
4
)
(
)
nb
p
p
p
p
t
p a
p a
p a
p a
=
+
+
+
−
+
+
+
1
1
2
2
3
3
4
4
(
)
(2
)
(3
)
(4
)
p t
a
p
t
a
p
t
a
p
t
a
=
−
+
−
+
−
+
−
1 1
2
2
3 3
4
4
p b
p b
p b
p b
=
+
+
+
.
高三数学 参考答案 第 8 页（共 8 页）
若
1
2
3
4
0
b
b
b
b
=
=
=
=
，则
0
nb =
．此时
na
nt
=
，当
4
n
时，
4
4
n
n
a
a
a −
=
+
.
若
1
2
3
,
,
b
b
b 不全为0 ，
设
1
2
3
max{
,
,
}
M
b b
b
=
，m 为
1
2
3
,
,
b
b
b 中最小的正数，则
nb
M
≤
．
当某个
0
ib
时，必有
i
M
p
m
≤
．否则
i
M
p
m
，则
n
i
i
M
b
p b
m
M
m
=
≥
.
设不超过M
m 的最大整数为
0
N ，
则
1 1
2
2
3 3
4
4
p b
p b
p b
p b
+
+
+
能表示的不同值的个数不超过
4
0
(
1)
N +
．
所以，对每一个
1, 2, 3, 4
i =
，
4
8
,
,
,
i
i
i
b b
b
+
+
只能取有限多个值.
所以存在
0k
N ，当
0 ,
p
k
p
N
≥
时，
4
i
p
b +
为常数．
令
0
4
4
N
k
=
+
，则当n
N
时，
4
n
n
b
b
+ =
，即
4
(
4)
n
n
n
t
a
nt
a
+
+
−
=
−
．
故
4
4
n
n
a
a
a −
=
+
．
