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通州区 2022—2023 学年高三年级摸底考试
数学试卷
2023年1月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 等差数列 中， ， ，则 的通项为（ ）
A. B. C. D.
的
3. 抛物线 焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量 ， 满足 ， ，则 等于（ ）
A. B. 13 C. D. 29
5. 设 为正整数， 的展开式中存在常数项，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 中，若 ， ， ，则 等于（ ）
在
A. B. C. D.7. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知半径为1 的圆经过点 ，则其圆心到直线 距离的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 要制作一个容积为 的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别
为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 设点 是曲线 上任意一点，则点 到原点距离的最大值、最小值分别为（
）
A. 最大值 ，最小值 B. 最大值 ，最小值1
C. 最大值2，最小值 D. 最大值2，最小值1
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 的共轭复数 ______.
12. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________.
13. 已知函数 ，若函数 存在最大值，则 的取值范围为______.
的
14. 齐王与田忌赛马，田忌 上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下
等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已
知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______.
15. 已知数列 的前 项和为 ， 为数列 的前 项积，满足 ，
给出下列四个结论：
① ；② ；③ 为等差数列；④ .
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移
个单位，得到函数 的图象，求函数 的单调递增区间.
17. 如图，在四棱雉 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证: 平面 ；
（2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角的余弦值.
条件①： ；
条件②： .注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 为了解 两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得 A平台问卷
100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3
分、1分，数据统计如下：
好评 中评 差评
A平台 75 20 5
B平台 64 8 8
假设用频率估计概率，且买家对 平台的满意度评价相互独立.
（1）估计买家对A平台的评价不是差评的概率；
（2）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4
人中恰有2人给出好评的概率；
（3）根据上述数据，你若购物，选择 哪个平台？说明理由.
19. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上不同于 的一点，直线 ， 与直线 分别交于点 .试判断以 为
直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）当函数 存在极小值时，求证：函数 的极小值一定小于0.
21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，我们就 称 为 的 倍 数 ， 称 为 的 约 数 . 设 正 整 数 共 有 个 正 约 数 ， 即 为
.
（1）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（2）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
（3）记 ，求证： .通州区 2022—2023 学年高三年级摸底考试
数学试卷
2023年1月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】【答案】 ##
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②. ##0.5
【15题答案】
【答案】①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1） .
（2） ， .
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）选择A平台，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）以 为直径的圆过定点 ， .【20题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【21题答案】
【答案】（1）8. （2） .
（3）证明见解析.
